WYKŁAD 6

PROSTE METODY WYODRĘBNIANIA

TRENDU

Janusz Wywiał, Katedra Statystyki, UE Katowice

Oznaczamy szereg czasowy za pomocą ciągu: y1, …,yt ,..., yn

yt = f (t) + et

Wyznaczanie trendu liniowego za pomocą metody najmniejszych kwadratów

Załóżmy, że funkcja trendu jest liniowa, a zatem:

f(t) = at + b

1

Parametry a i b można wyznaczyć za pomocą znanej metody najmniejszych kwadratów. W

naszym przypadku sprowadza się ona do

∧ ∧

wyznaczenia takich wartości a i b parametrów a i b aby osiągnęła wartość minimalną funkcji kryterium:

n

ψ (a, b) = ∑(y − at − b)2

t

t=1

n

n

∑ (t − t) (y − y)

∑ (t − t) y

t

t

∧

t =1

t =1

a =

=

n

n

∑ (t − t)2

∑ (t − t)2

t =1

t =1

∧

∧

b = y − a t

2

gdzie:

n

n

1

1

t =

∑ t, y = ∑ yt

n

n

t =1

t =1

Stopień dokładności dopasowania trendu liniowego do szeregu czasowego ocenia się za pomocą pierwiastka z wariancji resztowej, którą określa wzór:

∧

n

2

1

∧

S2 =

∑ et

n − 2

t 1

=

gdzie:

3

∧

∧

∧

e = y − y$ a t − b

t

t

t

gdzie:

∧

∧

$y = a t − b

t

∧

Wartość s wskazuje o ile średnio rzecz biorąc wartości empiryczne yt badanej cechy odchylają

∧

się od odpowiadających im wartości trendu y t .

Stopień zgodności funkcji trendu z szeregiem czasowym ocenia się również za pomocą współczynnika zbieżności, który ma postać: n

∧

2

∑et

ϕ2

t 1

=

=

n

2

∑(y

)

t − y

t 1

=

4

0 ≤ ϕ2 ≤ 1

Je

=

śli dla każdego t=1,...,n $

y

y

t

t , to ϕ2=0.

∧

Jeśli a = 0 , to ϕ2=1. Liczba ϕ2 100 % wskazuje jaki procent zmian badanej cechy w czasie jest wyjaśniony za pomocą funkcji trendu.

Na podstawie otrzymanego trendu można stawiać prognozy poprzez jego ekstrapolację.

Stawiamy prognozę wartości badanej cechy na okres T = n + h.

∧

∧

y

= a T + b

Tp

Prognoza yT może się odchylać od rzeczywistej p

wartości prognozowanej yT. Błąd prognozy oznaczamy przez UT = yT - y T .

p

Przy pewnych

5

dodatkowych założeniach można wykazać, że oczekiwany (przeciętny) błąd prognozy jest

∧

większy od odchylenia standardowego reszt s .

Funkcje trendu:

f1(t) = at2 + bt + c

trend paraboliczny

f2(t) = at3 + bt2 + ct + d trend kubiczny

f3(t) = atb

trend potęgowy

f4(t) = aebt

trend wykładniczy

f5(t) = a + b ln t

trend logarytmiczny

6

a

f (x =

6

)

1 + exp (b − ct) trend logistyczny

Wyznaczanie trendu metodą średnich

ruchomych zcentrowanych

Szereg czasowy oznaczamy ciągiem:

y1, y2, ...., yn

7

Średnia

ruchoma

o

nieparzystej

liczbie

składników k:

t +(k − )

1 /

1

2

y (k) =

∑

y

t

k

i

i= t −(k − )

1 /2

Średnia

ruchoma

o

parzystej

liczbie

składników:

t+ k −2

1

y ( k

y

y +

y

t

= 1

1

)

t k 1+

− +

∑

i

t +k−1

2 k

k

2k

i= t− k +2

Jeśli k=3, to:

yt

y ( )

3

t

y1=2

-

8

y

1

1

2=6

( y + y + y ) = (2 + 6 + 10) = 6

3 1

2

3

3

y

1

3=10

( y + y + y ) = 8

3

2

3

4

y

1

1

4=8

( y + y + y ) =

1

( 0 + 8 + ?) = ?

3

3

4

5

3

.......

.......................

Gdy k=2, to:

yt

y (2)

t

y1=2

-

y

1 1

1

1 2

10

2=6

(

y + y + y ) = (

6

+ + ) = 6

2 2 1

2

2 3

2 2

2

y

1 1

1

3=10

(

y + y + y ) = 5

,

8

2 2 2

3

2 4

9

y

1 1

1

4=8

(

y + y + y ) = ?

2 2 3

4

2 5

....... ............................

Jeśli k = 4, to mamy

yt

y (4)

t

y1

-

y2

-

y3

1 ( 1 y1 + y2 + y3 + y4 + 1 y5) 4

2

2

y4

1 ( 1 y2 + y3 + y4 + y5 + 1 y6) 4

2

2

.... ...........................................

Prognoza wartości cechy yr dla T = n + 1

wyznacza się następująco:

10

n

1

y (k) =

∑

y

T

k

t

t=n−k+1

Gdy k = 1, to:

y ( )

1 = y

T

n

11