PROSTE METODY WYODRĘBNIANIA
TRENDU
Janusz Wywiał, Katedra Statystyki, UE Katowice
Oznaczamy szereg czasowy za pomocą ciągu: y1, …,yt ,..., yn
yt = f (t) + et
Wyznaczanie trendu liniowego za pomocą metody najmniejszych kwadratów
ZałóŜmy, Ŝe funkcja trendu jest liniowa, a zatem:
f(t) = at + b
1
Parametry a i b moŜna wyznaczyć za pomocą znanej metody najmniejszych kwadratów. W
naszym przypadku sprowadza się ona do
∧ ∧
wyznaczenia takich wartości a i b parametrów a i b aby osiągnęła wartość minimalną funkcji kryterium:
n
ψ (a, b) = ∑(y − at − b)2
t
t=1
n
n
∑ (t − t) (y − y)
∑ (t − t) y
t
t
∧
t =1
t =1
a =
=
n
n
∑ (t − t)2
∑ (t − t)2
t =1
t =1
∧
∧
b = y − a t
2
n
n
1
1
t =
∑ t, y = ∑ yt
n
n
t =1
t =1
Stopień dokładności dopasowania trendu liniowego do szeregu czasowego ocenia się za pomocą pierwiastka z wariancji resztowej, którą określa wzór:
∧
n
2
1
∧
S2 =
∑ et
n − 2
t 1
=
gdzie:
3
∧
∧
e = y − y$ a t − b
t
t
t
gdzie:
∧
∧
$y = a t − b
t
∧
Wartość s wskazuje o ile średnio rzecz biorąc wartości empiryczne yt badanej cechy odchylają
∧
się od odpowiadających im wartości trendu y t .
Stopień zgodności funkcji trendu z szeregiem czasowym ocenia się równieŜ za pomocą współczynnika zbieŜności, który ma postać: n
∧
2
∑et
ϕ2
t 1
=
=
n
2
∑(y
)
t − y
t 1
=
4
0 ≤ ϕ2 ≤ 1
Je
=
śli dla kaŜdego t=1,...,n $
y
y
t
t , to ϕ2=0.
∧
Jeśli a = 0 , to ϕ2=1. Liczba ϕ2 100 % wskazuje jaki procent zmian badanej cechy w czasie jest wyjaśniony za pomocą funkcji trendu.
Na podstawie otrzymanego trendu moŜna stawiać prognozy poprzez jego ekstrapolację.
Stawiamy prognozę wartości badanej cechy na okres T = n + h.
∧
∧
y
= a T + b
Tp
Prognoza yT moŜe się odchylać od rzeczywistej p
wartości prognozowanej yT. Błąd prognozy oznaczamy przez UT = yT - y T .
p
Przy pewnych
5
dodatkowych załoŜeniach moŜna wykazać, Ŝe oczekiwany (przeciętny) błąd prognozy jest
∧
większy od odchylenia standardowego reszt s .
Funkcje trendu:
f1(t) = at2 + bt + c
trend paraboliczny
f2(t) = at3 + bt2 + ct + d trend kubiczny
f3(t) = atb
trend potęgowy
f4(t) = aebt
trend wykładniczy
f5(t) = a + b ln t
trend logarytmiczny
6
f (x =
6
)
1 + exp (b − ct) trend logistyczny
Wyznaczanie trendu metodą średnich
ruchomych zcentrowanych
Szereg czasowy oznaczamy ciągiem:
y1, y2, ...., yn
7
ruchoma
o
nieparzystej
liczbie
składników k:
t +(k − )
1 /
1
2
y (k) =
∑
y
t
k
i
i= t −(k − )
1 /2
Średnia
ruchoma
o
parzystej
liczbie
składników:
t+ k −2
1
y ( k
y
y +
y
t
= 1
1
)
t k 1+
− +
∑
i
t +k−1
2 k
k
2k
i= t− k +2
Jeśli k=3, to:
yt
y ( )
3
t
y1=2
-
8
1
1
2=6
( y + y + y ) = (2 + 6 + 10) = 6
3 1
2
3
3
y
1
3=10
( y + y + y ) = 8
3
2
3
4
y
1
1
4=8
( y + y + y ) =
1
( 0 + 8 + ?) = ?
3
3
4
5
3
.......
.......................
Gdy k=2, to:
yt
y (2)
t
y1=2
-
y
1 1
1
1 2
10
2=6
(
y + y + y ) = (
6
+ + ) = 6
2 2 1
2
2 3
2 2
2
y
1 1
1
3=10
(
y + y + y ) = 5
,
8
2 2 2
3
2 4
9
1 1
1
4=8
(
y + y + y ) = ?
2 2 3
4
2 5
....... ............................
Jeśli k = 4, to mamy
yt
y (4)
t
y1
-
y2
-
y3
1 ( 1 y1 + y2 + y3 + y4 + 1 y5) 4
2
2
y4
1 ( 1 y2 + y3 + y4 + y5 + 1 y6) 4
2
2
.... ...........................................
Prognoza wartości cechy yr dla T = n + 1
wyznacza się następująco:
10
1
y (k) =
∑
y
T
k
t
t=n−k+1
Gdy k = 1, to:
y ( )
1 = y
T
n
11