Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
MMA-R1_1P-072
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
MAJ
ROK 2007
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
stron
(zadania 1 – 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie
używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok
każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
Za rozwiązanie
Zamaluj
pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
wszystkich zadań
można otrzymać
zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
łącznie
Ż
50 punktów
yczymy powodzenia!
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
KOD
PESEL ZDAJĄCEGO
ZDAJĄCEGO
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (5 pkt)
Dana jest funkcja f ( x) = x −1 − x + 2 dla x ∈ R .
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x ∈ (−∞, 2
− ) .
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f ( x) = m nie ma rozwiązania.
a) Niech
x ∈(−∞, 2
− ) , wtedy:
x −1 < 0 , czyli x −1 = −( x − ) 1 oraz
x + 2 < 0 , czyli x + 2 = −( x + 2) .
Zatem dla x ∈(−∞, 2
− ) otrzymuję:
f ( x) = −( x − )
1 − (−( x + 2)) = − x +1+ x + 2 = 3.
Funkcja f dla x ∈(−∞, 2
− ) jest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest
zbiór { }
3 .
b) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję f zapisuję w następującej postaci:
⎧
3
dla x ∈(−∞,−2)
⎪
f ( x) = ⎨
2
− x −1 dla x∈ 2
− , )
1
⎪
3
−
dla x ∈ 1,∞
⎪
)
⎩
Egzamin maturalny z matematyki
3
Poziom rozszerzony
Szkicuję wykres funkcji f.
y
3
-2
1
x
-1
-3
Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale ( 2,
− )
1 (co widać na
sporządzonym wykresie).
Miejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale:
−
1
2 x −1 = 0 , stąd x = −
.
0
2
c) Równanie f ( x) = m nie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu y = m nie przecina wykresu funkcji f, czyli dla m < 3
− lub m > 3 .
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 2. ( 5 pkt)
Rozwiąż nierówność: log ( 2
x −1 + log
5 − x > log
3 x +1 .
1
)
1 (
)
1 ( (
))
3
3
3
Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej:
2
x −1 > 0 ∧ 5 − x > 0 ∧ x + 1 > 0 .
Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej:
x
–1 0 1
5
Dziedziną danej nierówności jest przedział (1,5) .
Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną: log ⎡⎣( 2
x −1 5 − x ⎤ > log
3 x + 1
1
)(
)
1 (
(
))
⎦
.
3
3
1
Funkcja logarytmiczna przy podstawie jest malejąca, więc po opuszczeniu 3
logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną: ( 2 x − )1(5− x)<3( x + )1.
Przedstawiam ją w postaci iloczynowej:
( x − )
1 ( x + )
1 (5 − x) < 3( x + )
1
( x − )
1 ( x + )
1 (5 − x) − 3( x + )
1 < 0
( x + )1⎡⎣( x − )1(5− x)−3⎤ < 0
⎦
( x + )( 2
1 − x + 6 x − 8) < 0
−( x + )
1 ( x − 2)( x − 4) < 0
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów ( 1
− , 2) ∪ (4, ∞) .
Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: (1 , 2) ∪ (4 , 5) .
Egzamin maturalny z matematyki
5
Poziom rozszerzony
Zadanie 3. ( 5 pkt)
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień 2
półkuli. Objętość stożka stanowi
objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
3
lądownika.
Sporządzam pomocniczy rysunek:
h
r
Zapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością: h = r + 1.
Objętość V kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli: 1
2
1
2
1
2
3
V = π r ⋅ h + π r =
2
π r ⋅( r + )
3
1 +
π r stąd
3
2
V = π r + π r .
3
3
3
3
3
Zależność między objętością V stożka i objętością V kapsuły wynikającą S
z treści zadania ma postać:
2
V = V , stąd
S
3
1
2 ⎛
1
⎞
2
π r ⋅( r + )
3
2
1 =
π r + π r
⎜
⎟
3
3 ⎝
3
⎠
1
2
1
2
π r ( r )
2
1
π ⎛
⎞
+ =
r
r +
⎜
⎟
3
3
⎝
3 ⎠
⎛
1 ⎞
r + 1 = 2 r +
⎜
⎟
⎝
3 ⎠
1
r =
.
3
2π
Obliczam objętości V kapsuły lądownika:
3
V =
m .
27
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 4. ( 3 pkt)
3
Dany jest trójkąt o bokach długości 1,
, 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw
2
najkrótszego boku tego trójkąta.
Wykonuję rysunek pomocniczy, na którym zaznaczam poszukiwany kąt: 3
1
2
α
2
Wykorzystuję twierdzenie cosinusów do zapisania równania: 2
( )2 ⎛ 3 ⎞
3
2
1
=
+ 2 − 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ cos
⎜ ⎟
α i obliczam wartość cosinusa kąta α :
⎝ 2 ⎠
2
7
cosα =
.
8
Wartość funkcji sinus kąta α wyznaczam z tożsamości trygonometrycznej 2
2
sin α + cos α = 1.
2
7
15
2
sin α
⎛ ⎞
+
=1
⎜ ⎟
,
2
sin α =
.
⎝ 8 ⎠
64
Kąt α jest kątem ostrym, więc sinα
15
=
.
8
Egzamin maturalny z matematyki
7
Poziom rozszerzony
Zadanie 5. ( 7 pkt)
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli 2
y = − x + 6 x . Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi O x. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Aby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli: y = − x + x = −( x − )2
2
6
3
+ 9 , więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (3,9) .
Wykonuję rysunek ilustrujący treść zadania:
y
C
9
A 600
B
600
x
0
3
6
Trójkąt ABC jest równoboczny, więc kąt BAC ma miarę 60D . Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i C jest więc równy tg 60D = 3 .
Wyznaczam równanie prostej AC:
prosta y = 3 x + b przechodzi przez punkt C = (3,9) , więc współczynnik b jest równy b = 3
− 3 + 9 .
Prosta AC ma równanie: y = 3 x − 3 3 + 9 .
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Aby wyznaczyć współrzędne punktu A rozwiązuję układ równań:
⎧⎪ y = 3 x − 3 3 + 9
⎨
2
⎪⎩ y = − x + 6 x
Po dokonaniu podstawienia
2
y = − x + 6 x otrzymuję równanie
2
3 x − 3 3 + 9 = − x + 6 x , które po uporządkowaniu przyjmuje postać: 2
x + x ( 3 − 6) + 9 − 3 3 = 0.
Rozwiązaniem równania są liczby: x = 3 , x = 3 − 3 .
1
2
Współrzędne punktów przecięcia prostej AC z parabolą 2
y = − x + 6 x są więc
następujące: (3 − 3,6) oraz (3,9) .
Punkt (3,9) jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt A ma współrzędne (3− 3,6).
Współrzędne punktu B wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli 2
y = − x + 6 x jest prosta x = 3 . Punkt B jest więc obrazem punktu A w symetrii
względem tej prostej, czyli B = (3 + 3,6) .
Egzamin maturalny z matematyki
9
Poziom rozszerzony
Zadanie 6. ( 4 pkt)
Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P ( A) i P ( B) . Wykaż, że jeżeli P ( A) = 0,85 i P ( B) = 0, 75 , to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność P ( A B) ≥ 0,8.
Ponieważ P ( A ∪ B) ≤1 z własności prawdopodobieństwa, więc 1 ≥ P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) .
Stąd po przekształceniu otrzymuję:
P ( A ∩ B) ≥ P( A) + P( B) −1
P ( A ∩ B) ≥ 0,85 + 0,75 −1
P ( A ∩ B) ≥ 0,6
Korzystam z definicji prawdopodobieństwa warunkowego:
∩
P ( A B) P( A
B)
0,6
=
≥
i otrzymuję P ( A B) ≥ 0,8 .
P ( B)
0,75
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 7. ( 7 pkt)
⎧ mx − y = 2
Dany jest układ równań: ⎨
⎩ x + my = m .
Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb ( x, y) , która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x + y dla m ∈ 2, 4 .
⎧ mx − y = 2
Rozwiązaniem układu równań ⎨
dla każdego m ∈ R jest para liczb
⎩ x + my = m
⎧
3 m
x =
⎪
2
⎪
m + 1
⎨
2
m − 2
⎪ y =
.
2
⎪⎩
m + 1
m + 3 m − 2
Sumę x + y zapisuję w postaci funkcji f ( m) 2
=
, m ∈ R .
2
m + 1
Aby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną 2
3
− m + 6 m + 3
funkcji f: f ′( m) =
(
, m ∈ R .
m + )2
2
1
Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f:
f ′( m)= 0 gdy
2
3
− m + 6 m + 3 = 0 .
Rozwiązaniami równania są liczby: m = 1 − 2 , m = 1 + 2 , przy czym 1
2
m ∉ 2, 4 .
1
Badam znak pochodnej w przedziale 2, 4 :
Ponieważ f ′( m) > 0 dla m ∈(2, 1+ 2 ) , więc funkcja f jest rosnąca w przedziale 2, 1 + 2 ) . Ponieważ f ′( m) < 0 dla m∈(1+ 2, 4), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (1+ 2, 4 .
Stąd wnioskuję, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców przedziału 2, 4 .
Egzamin maturalny z matematyki
11
Poziom rozszerzony
Obliczam wartość funkcji f na końcach przedziału: f ( ) 8
2 =
oraz f ( )
26
4 =
5
17
i porównuję otrzymane liczby.
Najmniejszą wartością sumy x + y jest f ( ) 26
4 =
.
17
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 8. (3 pkt)
2
sin x − sin x
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) =
dla x ∈ (0, π ) ∪ (π , 2π ) .
sin x
a) Naszkicuj wykres funkcji f .
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Korzystam z definicji wartości bezwzględnej i zapisuję wzór funkcji f 2
⎧ sin x − sin x dla sin x > 0
⎪⎪
sin x
w postaci: f ( x) = ⎨
2
sin x
⎪
+ sin x dla sin x < 0
⎪⎩
sin x
⎧
x −
x >
f ( x)
sin
1 dla sin
0
= ⎨
sin
⎩
x + 1 dla sin x < 0 .
Szkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest następujący:
y
1
x
π
2π
-1
Na podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji:
f ( x) = 0 dla x takich, że sin x −1 = 0 lub sin x +1 = 0 , π
3π
czyli dla x =
, oraz x =
.
2
2
Egzamin maturalny z matematyki
13
Poziom rozszerzony
Zadanie 9. ( 3 pkt)
Przedstaw wielomian W ( x)
4
3
2
= x − 2 x − 3 x + 4 x −1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
Dany wielomian W ( x)
4
3
2
= x − 2 x − 3 x + 4 x −1 przedstawiam w takiej postaci, aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia:
W ( x)
4
3
2
2
= x − 2 x + x − 4 x + 4 x −1.
Grupuję wyrazy i przedstawiam wyrażenie w postaci różnicy kwadratów dwóch 2
2
wyrażeń: W ( x) = ( 2
x − x) − (2 x − )
1 .
Wykorzystuję wzory skróconego mnożenia do rozkładu wielomianu na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego:
W ( x) = ( x − x)2 − ( x − )2
2
= ( 2
x − x + x − ) ⋅ ( 2
2
1
2
1
x − x − 2 x + )
1 =
= ( 2
x + x − ) ⋅ ( 2
1
x − 3 x + )
1 .
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 10. ( 4 pkt)
π 3
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi
.
8
Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
Sporządzam rysunek pomocniczy i wprowadzam następujące oznaczenia: a – długość boku rombu, r – promień koła wpisanego w romb, P – pole koła K
wpisanego w romb, P – pole rombu, α – kąt ostry rombu.
R
D
C
r
a
α
A
B
E
Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami
2
P = π r , 2
P = a ⋅ r .
K
R
2
P
π r
π 3
r
3
Z warunków zadania wynika proporcja: K =
=
, stąd
=
.
P
a ⋅ 2 r
8
2 a
8
R
3
Z otrzymanej równości wyznaczam promień okręgu: r = a ⋅
.
4
DE
2 r
Z trójkąta prostokątnego AED wyznaczam sinus kąta α : sinα =
=
AD
a
3
2 ⋅ a
3
4
sinα =
=
.
a
2
Zatem 60
= D
α
.
Egzamin maturalny z matematyki
15
Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (4 pkt)
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ( a wyraża się wzorem n )
S = n 2
2
+ n dla n ≥ 1.
n
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: a + a + a + ... + a
.
2
4
6
100
S
b) Oblicz lim
n
.
2
n→∞ 3 n − 2
a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu ( a , korzystając z własności sum n )
częściowych ciągów: a = S − S
n
n
n 1
−
a = n + n − ( n − )2
2
2
2
1 − n + 1 = 4 n −1.
n
Wyznaczam wartość wyrazu a = 7 i różnicy ciągu ( a , a , ..., a
), 8
r = .
2
2
4
100
Obliczam sumę 50
n =
początkowych wyrazów ciągu o numerach
2 ⋅ 7 + (50 − )
1 ⋅ 8
parzystych: S =
⋅50 =10150 .
50
2
S
b) Obliczam granicę ciągu
n
:
2
3 n − 2
2
S
2 n + n
2
lim
n
= lim
=
2
2
n→∞ 3 n − 2
−
.
n→∞ 3 n
2
3
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
BRUDNOPIS