2010/2011
Semestr II
Kolokwium bę dzie się składało z 4 zadań . Każ de zadanie za 5 punktów. Czas trwania maksymalnie 60 minut.
Poniż ej przykładowe zadania z kolokwiów z poprzednich lat.
Zakres materiału:
1. Funkcje wielu zmiennych (dziedziny, pochodne czą stkowe, ekstrema, wartość najwię ksza i najmniejsza, róż niczka zupełna)
2. Funkcje uwikłane (pochodne, ekstrema) 3. Całki podwójne (całki iterowane, współrzę dne biegunowe, zastosowania)
Funkcje wielu zmiennych
2
2
u
∂
u
∂
1 ∂ u
2
2
Zadanie a). Sprawdzić czy funkcja u( x, y) = x y spełnia równanie:
+
+
= ( x + y) .
2
x
∂
y
∂
4 x
∂
x
2
2
arcsin
b). Wyznaczyć dziedzinę funkcji z( x, y) = ln(4 − x − y ) +
. Wykonać odpowiedni rysunek.
2
x + 1
u
∂
2
∂ u
xy
Zadanie Obliczyć pochodne pochodne cząstkowe i
gdy funkcja u( x, y) = e sin x . Wyznaczyć
x
∂
2
y
∂
u
∂
u
∂
xy
xy
xy
dziedzinę funkcji u( x, y). Odp :
= ye sin x + e cos x ,
= xe sin x ,
x
∂
y
∂
2
∂ u = x 2 exy sin x D
∈
u {
2
( x, y)
R
:
}
,
y 2
∂
2
Zadanie Zbadać czy funkcja f ( x, y) = arctgx − y x spełnia równanie różniczkowe : 2
2
f
∂
f
∂
∂ f
∂ f
2
2
−
+ y
− y
=
.
2
x
∂
y
∂
y
∂
x
∂ y
∂
1
2
+ x
1 2
2
1
Zadanie Sprawdzić czy funkcja f ( x, y) =
x + xy +
ma w punktach P ( ,
0 )
2 , P
)
0
,
1
(
i P
,
1
( 2) ekstrema,
2
x
1
2
3
jeśli tak to określić ich rodzaj. Odp: Punkt P nie należy do dziedziny funkcji, P nie spełnia warunku 1
3
koniecznego istnienia ekstremum, natomiast w punkcie P jest minimum f
)
0
,
1
(
= 5
,
1 .
2
min
2
Zadanie Obliczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f ( x, y) = 2 x( xy − 4) − y( x − 4) na zbiorze B = {( x, y) 0
: ≤ x ≤ ,
4 0
≤ y ≤ }
4 .
3
2
Zadanie Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia: ln( 0
,
1
)
5 3 ( 9
,
0
)
5
+ 0
,
7 2.
Funkcje uwikłane
xy
− xy
Zadanie: Wyznaczyć y' ' dla funkcji uwikłanej danej równaniem: 1 + xy − ln( e
+ e ) = 0.
2
2
Zadanie: Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej danej równaniem: x + y − xy − 2 x + 4 y = 0 .
Zadanie Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y = 6 − x, x = , 1 x = ,
8 oraz yx = 5 . Odp: 26 + 5ln 8
D = {( x, y)
2
∈ R : 2
2
2
≤ x + y ≤ ,
4 y ≤ }
Zadanie Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru 0 .
2π
2
Odp: ∫∫ dxdy = ∫ dϕ ∫ rdr = π .
D
π
2
Zadanie Za pomocą całki podwójnej przedstawić wzór na objętość bryły ograniczonej powierzchniami: π
ϕ
2
9 cos
z = ,
6 z − 2
2
2
= − x + y , 2
x − 9
2
x = − y . Odp. ∫ ϕ
d
∫ r(4 + r) dr
−π
0
2
Zadanie Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole części powierzchni 3 xy − z −1 = 0 leżącej nad obszarem 2
określonym nierównościami: 9
2
≤ x + y ≤ 49 i y ≤ .
x Odp:
π
7
4
∫ dr ∫ r 1+ 2
3 r dr = ... = π
3
(
1
( 4 )
8
−
3
(2 )
8
.
9
3
− 3π
4
2
2
Zadanie Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole części powierzchni o równaniu: z + 5 = x + y leżącej między 2
2
2
2
powierzchniami o równaniach: x + y = 5 i x + y = 25 , oraz spełniającej warunek: y > 0. Odp.
π ( 1013 − 213 ) .
12