Parametry rozkładu zmiennej losowej

— wartość oczekiwana (wartość przeciętna, wartość średnia, nadzieja matematyczna)

— wariancja

— odchylenie standardowe

— mediana

— moda

Wartość oczekiwana

— Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej X

typu skokowego o rozkładzie pi = P (X = xi), gdzie i ∈ {1, 2, . . . }, nazywamy liczbę X

EX =

xipi,

i=1

∞

X

X

przy założeniu, że suma

xipi jest skończona albo szereg nieskończony

|xi|pi jest zbieżny.

i=1

i=1

Wartość oczekiwana

— Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f nazywamy liczbę

+∞

Z

EX =

xf (x)dx,

−∞

+∞

Z

przy założeniu, że całka

|x|f (x)dx jest zbieżna.

−∞

Podstawowe własności wartości oczekiwanej

— E(aX + b) = aEX + b, gdzie a, b ∈ R

— jeżeli X i Y są dowolnymi zmiennymi losowymi, dla których istnieją wartości oczekiwane EX oraz EY , to E(X +

Y ) = EX + EY

— jeżeli istnieje E|X|, to prawdziwa jest nierówność |EX| 6 E|X|

— wartość oczekiwana jest miarą położenia, parametrem pozycyjnym: wskazuje punkt środkowy rozkładu, tzn. punkt, wokół którego grupują się wartości zmiennej losowej

— interpretacja fizyczna: wartość oczekiwaną można utożsamiać z pojęciem środka ciężkości, jeśli prawdopodobieństwa zinterpretujemy jako masy

Uwaga. Jak wynika z definicji, wartość oczekiwana dla niektórych zmiennych losowych nie istnieje (odpowiedni szereg lub odpowiednia całka nie są zbieżne).

Wariancja

— Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę D2(X) = E(X − EX)2.

— Jeżeli X jest zmienną losową typu skokowego o rozkładzie pi = P (X = xi), i ∈ {1, 2, . . . }, i wartości oczekiwanej EX = m, to X

D2(X) =

(xi − m)2pi.

i

1

— Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f i wartości oczekiwanej EX =

m, to

+∞

Z

D2(X) =

(x − m)2f (x)dx.

−∞

Podstawowe własności wariancji

— D2(X) = E(X2) − (EX)2

— D2(aX + b) = a2D2(X), gdzie a, b ∈ R

— D2(X) > 0 dla dowolnej zmiennej losowej X

— wariancja jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej Odchylenie standardowe

— Odchyleniem standardowym nazywamy liczbę p

D(X) =

D2(X).

— Podstawowe własności odchylenia standardowego:

— D(aX + b) = |a|D(X), gdzie a, b ∈ R

— D(X) > 0 dla dowolnej zmiennej losowej X

— odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej Wartości EX oraz D2(X) dla podstawowych rozkładów skokowych

— Rozkład jednopunktowy:

EX = a, D2(X) = 0.

— Rozkład zero-jedynkowy:

EX = p, D2(X) = pq.

— Rozkład Bernoulliego:

EX = np, D2(X) = npq.

— Rozkład Poissona z parametrem λ:

EX = λ, D2(X) = λ.

Wartości EX oraz D2(X) dla podstawowych rozkładów ciągłych

— Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi: a + b

(b − a)2

EX =

, D2(X) =

.

2

12

— Rozkład normalny N (m, σ):

EX = m, D2(X) = σ2.

— Rozkład wykładniczy z parametrem λ:

EX = λ, D2(X) = λ2.

Mediana

— Medianą zmiennej losowej X nazywamy liczbę M e spełniającą warunki: 1

1

P (X 6 M e) >

oraz P (X > M e) > .

2

2

— W przypadku zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f powyższe nierówności redukują się do jednego z dwóch równań:

M e

+∞

Z

1

Z

1

f (x)dx =

lub

f (x)dx =

.

2

2

−∞

M e

— Mediana jest parametrem, który nie zawsze jest wyznaczony w sposób jednoznaczny.

Czasami zdarza się nawet, że mediana jest dowolną liczbą z pewnego przedziału domkniętego.

2

Moda

— Modą M o (dominantą) zmiennej losowej X nazywamy:

— w przypadku zmiennej losowej typu skokowego - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo;

— w przypadku zmiennej losowej typu ciągłego - wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje maksimum lokalne.

— Moda jest więc wartością, która należy do zbioru wartości zmiennej losowej. Istnieją rozkłady jednomodalne (jest tylko jedna moda), wielomodalne (więcej niż jedna moda) oraz takie, dla których moda nie istnieje.

— Mediana i moda to, podobnie jak wartość oczekiwana, parametry charakteryzujące położenie zbioru wartości zmiennej losowej. Są to tzw. wskaźniki położenia lub inaczej charakterystyki pozycyjne.

3