W rozdziale tym, o ile nie b ¾
edzie zaznaczone inaczej, zak÷
adać b ¾
edziemy, ·
ze świadczenie
p÷
atne jest w chwili śmierci, zaś intensywność oprocentowania jest sta÷¾
a, podobnie jak
odpowiadaj ¾
ace jej równowa·
zne stopy oprocentowania i dyskontowa i oraz d.
Zadanie 1
Wykazać, ·
ze Ax =
, je·
zeli
(x) =
> 0 dla x > 0.
+
Zadanie 2
Niech
(x) = 1 dla x > 0.
1+x
1
R
a. Ca÷
kuj ¾
ac przez cz ¾
eści wykazać, ·
ze Ax = 1
e t 1+x dt.
1+x+t
0
b. Korzystaj ¾
ac z wyniku w a. wykazać, ·
ze dAx < 0 dla x > 0.
dx
Zadanie 3
Wykazać, ·
ze dAx =
v IA .
di
x
Zadanie 4
Wykazać, ·
ze wzory na wariancj ¾
e wartości obecnej n-letniego ubezpieczenia na ·
zycie i do·
zycie
2
wyp÷
acaj ¾
acego świadczenie w wysokości 1 dane wzorami V ar (Z) =2 A A
oraz
x:nj
x:nj
V ar (Z3) = V ar (Z1) + V ar (Z2) + 2Cov (Z1; Z2) s ¾
a równowa·
zne, gdzie
(
(
(
vT
T
n
0
T
n
vT
T
n
Z1 =
, Z2 =
, Z1 =
.
0
t > n
vn
t > n
vn
t > n
Zadanie 5
Niech Z1 oraz Z2 b ¾
ed ¾
a zmiennymi losowymi zde…niowanymi w zadaniu 4.
a. Wykazać, ·
ze limCov (Z1; Z2) = lim Cov (Z1; Z2) = 0.
n!0
n!1
b.
Wyprowadzić wzór zapisany w postaci uwik÷
anej określaj ¾
acy okres czasu dla
ubezpieczenia na ·
zycie i do·
zycie, dla którego Cov (Z1; Z2) jest minimalizowana.
c. Wyprowadzić wzór na minimum w przypadku b.
d. Uprościć wzory w b. i c. w przypadku, gdy intensywność wymierania jest sta÷
a równa .
Zadanie 6
Za÷
ó·
zmy, ·
ze wymieralność opisana jest poprzez funkcj ¾
e lx = 100
x dla 0
x
100 oraz
intensywność oprocentowania wynosi
= 0; 05:
1
a. Oblicz A
.
40:25j
b. Wyznacz aktuarialn ¾
a wartość obecn ¾
a 25-letniego ubezpieczenia na ·
zycie ze świadczeniem
wyp÷
acanym w chwili t równym bt = e0;05, je·
zeli osoba ubezpieczana jest w wieku 40 lat.
1
Przyjmuj ¾
ac funkcj ¾
e prze·
zywalności de Moivre’a z ! = 100 oraz i = 0; 10 oblicz 1
a. A
.
30:10j
b. Wariancj ¾
e wartości obecnej w momencie wystawienia polisy dla ubezpieczenia z a.
Zadanie 8
Je·
zeli t =
0;2
oraz l
1+0;05t
x = 100
x dla 0
x
100, oblicz
a.
Aktuarialn ¾
a
wartość
obecn ¾
a
oraz
wariancj ¾
e
wartości
obecnej świadczenia
w bezterminowym ubezpieczeniu na ·
zycie dla osoby w wieku x.
b. IA .
x
Zadanie 9
Wykazać, ·
ze Ax jest funkcj ¾
a generuj ¾
ac ¾
a momenty zmiennej losowej T , b ¾
ed ¾
acej przysz÷
ym
czasem trwania ·
zycia x-latka, obliczon ¾
a w punkcie
.
Zadanie 10
Wiedz ¾
ac, ·
ze bt = t,
(t) =
oraz
x
t =
dla t > 0, wyprowadzić wzory na
a. IA
= E b
x
T vT .
b. V ar bT vT .
Zadanie 11
Zmienna losowa Z jest wartości ¾
a obecn ¾
a bezterminowego ubezpieczenia na ·
zycie
wyp÷
acaj ¾
acym 1 w chwili śmierci x. Je·
zeli
= 0; 05 oraz
(t) = 0; 01:
x
a. Wyznacz wzór na g ¾
estość rozk÷
adu zmiennej losowej Z.
b. Narysuj wykres g ¾
estości zmiennej losowej Z.
c. Oblicz Ax = E [Z] oraz V ar (Z).
Zadanie 12
Zmienna losowa Z jest wartości ¾
a obecn ¾
a n-letniego ubezpieczenia na ·
zycie i do·
zycie.
Wyznaczyć wzór na dystrybuant ¾
e zmiennej losowej Z w terminach dystrybuanty zmiennej losowej T .
Zadanie 13
Niech dana b ¾
edzie zmienna losowa Z z zadania 12. Je·
zeli
= 0; 05,
(t) = 0; 01 oraz
x
n = 20:
a. Wyznaczyć dystrybuant ¾
e zmiennej losowej Z.
b. Narysować wykres dystrybuanty zmiennej losowej Z.
c. Oblicz A
= E [Z] za pomoc ¾
a dystrybuanty zmiennej losowej Z.
x:nj
2
Je·
zeli lx = 100
x, 0
x
100 oraz i = 0; 05, oblicz
a. A
.
40:25j
b. (IA) .
40
Zadanie 15
Wykazać, ·
ze A
= A1
+ vm
dla m < n oraz zinterpretuj wynik s÷
ownie.
x:nj
x:mj
mpxAx+m:n mj
Zadanie 16
Je·
zeli Ax = 0; 25, Ax+20 = 0; 40 oraz A
= 0; 55, oblicz
x:20j
a. A 1 .
x:20j
b. A1
.
x:20j
Zadanie 17
a.
Opisz wysokość świadczenia w ubezpieczeniu, którego aktuarialna wartość obecna oznaczana jest symbolem (IA)
.
x:mj
b. Wyznacz aktuarialn ¾
a wartość obecn ¾
a dla ubezpieczenia z a. przy u·
zyciu symboli danych
w tabelach 4.2.1 oraz 4.3.1.
Zadanie 18
W przyk÷
adzie 4.3.2 niech Ek oznacza oczekiwan ¾
a wielkość funduszu k lat po
zawarciu umowy, zaraz po dokonaniu wyp÷
aty świadczeń pośmiertnych.
Zak÷
adamy, ·
ze
E0 = 100 1000A30 = 10248; 35.
a. Poczynaj ¾
ac od wzoru Ax = vqx + vAx+1px wyprowadź wzór rekurencyjny Ek = 1; 06Ek 1
100000k 1jq30.
b. Korzystaj ¾
ac ze wzoru rekurencyjnego z a. sprawdź, ·
ze E5 = 12762; 58.
Zadanie 19
Rozwa·
zmy oś czasu z przedzia÷
ami o d÷
ugości 1 , gdzie jednostk ¾
a skali jest rok. Niech
m
bezterminowe ubezpieczenie na ·
zycie wyp÷
aca świadczenie w wysokości 1 na koniec m-tego okresu, w którym nast ¾
api÷
a śmierć. Niech k oznacza liczb ¾
e ca÷
kowicie prze·
zytych lat, zaś
j b ¾
edzie liczb ¾
a ca÷
kowicie prze·
zytych m-tych cz ¾
eści roku, w którym nast ¾
api÷
a śmierć.
a. Jaka jest funkcja wartości obecnej dla tego ubezpieczenia?
1
R
1
b. Wyznacz wzór analogiczny do Ax =
vt tpx
(t) dt + vp
+ vp
x
xAx+1 = Ax:1j
xAx+1 dla
0
aktuarialnej wartości obecnej A(m)
x
dla tego ubezpieczenia.
c. Wyka·
z algebraicznie, ·
ze przy za÷
o·
zeniu jednostajnego rozk÷
adu zgonów w ci ¾
agu roku
A(m)
x
= i A
i(m)
x.
3
Wykazać, ·
ze przy za÷
o·
zeniu sta÷
ej intensywności wymierania w ci ¾
agu roku
1
P
Ax =
vk+1 kpx
(k) i+qx+k , gdzie
(k) =
ln p
x
+
x
x+k.
x(k)
k=0
Zadanie 21
1
R
a. Wykazać, ·
ze wzór Ax = E [Z] =
vt tpx
(t) dt mo
x
·
ze być zapisany jako
0
1
R
Ax =
1
vy yp0 (y) dy dla x
0.
xp0vx x
b. Ró·
zniczkuj ¾
ac wzór w a. wykazać, ·
ze dAx = [ (x) + ] A
dx
x
(x), x
0.
1
dA
1
c. Wykazać w ten sam sposób, ·
ze
x:nj = [ (x) + ] A
+
(x + n) A 1
(x), x
0.
dx
x:nj
xnj
Zadanie 22
Rozwi ¾
azać równanie ró·
zniczkowe d A
dx
x =
(x) + Ax [ + (x)] = Ax
(x) 1
Ax
w nast ¾
epuj ¾
acy sposób:
(
)
x
R
a. U·
zyj czynnika ca÷
kuj ¾
acego exp
[ +
(z)] dz
aby otrzymać
y
(
)
1
R
x
R
Ay =
(x) exp
[ +
(z)] dz
dx.
y
y
1
R
b. U·
zyj czynnika ca÷
kuj ¾
acego e x aby otrzymać Ay =
(x) vx y 1
Ax dx.
y
Zadanie 23
Za pomoc ¾
a symboli w tabeli 4.3.1 zapisz wzór na aktuarialn ¾
a wartość obecn ¾
a ubezpieczenia,
które wyp÷
aca świadczenie w wysokości 2 w przypadku śmierci przed ukończeniem 65 roku, zaś świadczenie w wysokości 1, je·
zeli ubezpieczony umrze po 65 roku ·
zycia. Zak÷
adamy, ·
ze
świadczenie p÷
atne jest na koniec roku śmierci.
4
Dla osoby w wieku 20 lat wystawiona jest polisa, która wyp÷
aca świadczenie pośmiertne
p÷
atne w chwili śmierci w wysokości zale·
znej od d÷
ugości ·
zycia. Wysokość świadczenia opisuje
tabela:
Wiek
Świadczenie
20
1000
21
2000
22
4000
23
6000
24
8000
25
40
10000
41
50000
Wyznacz aktuarialn ¾
a wartość obecn ¾
a tego ubezpieczenia przy wykorzystaniu Tablic Trwania
·
Zycia, przy za÷
o·
zeniu jednostajnego rozk÷
adu zgonów w ci ¾
agu roku oraz i = 0; 05.
Zadanie 25
a. Sprawdź, czy zwi ¾
ekszenie intensywności wymierania o pewn ¾
a sta÷¾
a zwi ¾
eksza wartość
Ax w ten sam sposób, co zwi ¾
ekszenie o t ¾
a sam ¾
a sta÷¾
a intensywności oprocentowania.
b. Wykazać, ·
ze jeśli pojedyncze prawdopodobieństwo śmierci qx+n zwi ¾
ekszone zostanie do
qx+n + c, to Ax zostanie zwi ¾
ekszone o cvn+1 npx (1
Ax+n+1).
Zadanie 26
Aktuarialna wartość obecna n-letniego ubezpieczenia na do·
zycie o wysokości świadczenia
1000 wynosi 650. Natomiast aktuarialna wartość obecna ubezpieczenia wyp÷
acaj ¾
acego 1000
w przypadku prze·
zycia n lat oraz zwracaj ¾
acego koszt sk÷
adki jednorazowej netto za to
ubezpieczenie w przypadku śmierci przed up÷
ywem n lat wynosi 700.
a. Oblicz aktuarialn ¾
a wartość obecn ¾
a dla zmody…kowanego n-letniego ubezpieczenia na do·
zycie dla 1000 x-latków, je·
zeli 100k% aktuarialnej wartości obecnej p÷
atne jest w chwili
śmierci, je·
zeli nast ¾
api ona przed up÷
ywem n lat od chwili wystawienia ubezpieczenia.
b. Dla zmody…kowanego ubezpieczenia na do·
zycie w a. wyznacz wariancj ¾
e wartości obecnej
ubezpieczenia wyra·
zon ¾
a za pomoc ¾
a aktuarialnej wartości obecnej dla ubezpieczenia na do·
zycie
oraz ubezpieczenia terminowego na ·
zycie.
5
Producent sprzedaje swoje wyroby z pi ¾
ecioletni ¾
a gwarancj ¾
a daj ¾
ac ¾
a zwrot pieni ¾
edzy
w wysokości proporcjonalnej do zakończenia up÷
ywu gwarancji w przypadku uszkodzenia
towaru w ci ¾
agu pierwszych pi ¾
eciu lat. Na przyk÷
ad, je·
zeli szkoda zg÷
oszona jest w 3 3 roku
4
po zakupie towaru, to zwracane jest 25% ceny zakupu. Z badań statystycznych wynika, ·
ze
prawdopodobieństwo zepsucia si ¾
e produktu w pierwszym roku wynosi 0; 2, w drugim, trzecim oraz czwartym roku 0; 1, zaś w pi ¾
atym roku 0; 2.
a. Zak÷
adaj ¾
ac, ·
ze szkody zg÷
aszane s ¾
a jednostajnie w ci ¾
agu roku, wyznacz jak ¾
a cz ¾
eść ceny
towaru stanowi gwarancja, je·
zeli równa jest ona aktuarialnej wartości obecnej przysz÷
ych wyp÷
at
z tytu÷
u uszkodzenia towaru. Przyjmij i = 0; 10.
b. Czy odpowiedź do a. zmieni si ¾
e, je·
zeli za÷
o·
zymy, ·
ze kwota zwrotu pieni ¾
edzy z gwarancji
jest jednocześnie rabatem, który udziela si ¾
e klientowi przy zakupie nowego produktu, równie·
z
obj ¾
etego pi ¾
ecioletni ¾
a gwarancj ¾
a?
Zadanie 28
t2
Za÷
ó·
zmy, ·
ze T (x) posiada rozk÷
ad o g ¾
estości fT(x) (x) =
2
p
e 200 , t > 0 oraz
= 0; 05.
10 2
Wyka·
z, ·
ze
a. Ax = 2e0;125 [1
(0; 5)] = 0; 6992.
b. 2Ax = 2e 0;5 [1
(1)] = 0; 5232.
c. V ar (Z) = 0; 0343, gdzie Z = vT .
d. 0;5 = 0; 7076.
Z
e. vex = 0; 6710 < 0; 6992 = Ax.
Zadanie 29
Uogólnij punkt e. z zadania 28 wykazuj ¾
ac, ·
ze jeśli
> 0, to vex
Ax.
Zadanie 30
Dla bezterminowego ubezpieczenia n ·
zycie świadczenie bt wynosi 0 lub 1 dla t 0. Dla
intensywności oprocentowania t:
a. Wyznacz funkcj ¾
e dyskonta w terminach t.
b. Wyznacz wartość obecn ¾
a zmiennej losowej Z w terminach T .
c. Wyka·
z, ·
ze Zj@ t = Z@j t.
6