1

Indukcja matematyczna. Ci¸

agi.

Przygotowa la Izabela Wardach 1

Indukcja matematyczna

Jest to metoda dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych. Niech Tn oznacza twierdzenie dotycz¸

ace liczby naturalnej n. Metoda ta opiera si¸

e na nast¸

epuj¸

acej zasadzie:

Zasada indukcji matematycznej:

1. sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n=1, 2. zak ladamy prawdziwość twierdzenia dla n=k teza → za lożenie indukcyjne,

3. z powyższego powinna wynikać prawdziwość twierdzenia dla n=k+1

dowód indukcyjny

Niech k ∈ N ∪ {0}. Symbol k! (czyt. k silnia) definiujemy nast¸

epuj¸

aco:

0! = 1, 1! = 1, k! = 1 · 2 · 3 · 4 · ... · k, k ≥ 2

(1)

Symbol Newtona n (czyt. n nad k lub n po k) definiujemy nast¸

epuj¸

aco:

k

n

n

n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)

= 1,

=

,

k ≥ 1

(2)

0

k

k!

Symbole Newtona spe lniaj¸

a warunek:

n

n

n + 1

+

=

(3)

k

k + 1

k + 1

Jeeli n ∈ C i n ≥ k to

n

n!

=

(4)

k

k!(n − k)!

oraz

n

n

=

(5)

k

n − k

Wartości symboli Newtona możemy ustawić w nast¸

epuj¸

ac{a tabel¸

e - trójk¸

at Pascala:

0

0

1

1

0

1

2

2

2

0

1

2

3

3

3

3

0

1

2

3

......................................

.........................................

1na podstawie:

1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory, przyk lady, WNT, Warszawa 1994.

2. W. Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT, Warszawa 1994.

1

Ponieważ

n = 1 oraz n = 1, dla n ∈ N ∪ 0, 0

n

wi¸ec wszystkie wyrazy skrajne w tyn trójk¸

acie sa równe 1. Ponadto, zgodnie z 2, ka].zdy z pozosta lych wyrazów tr’ójk¸

ata Pascala jest sum¸

a najbliższych dwóch wyrazów znajduj¸

acych

si¸

e nad nim. Dzi¸

eki temu latwo odtwożyć z pami¸

eci:

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

.............................

Każd¸

a naturaln¸

a pot¸

eg¸

e dwumianu (a+b) można wyrazić w postaci wzoru dwumianowego Newtona:

n

n

n

n

n

X

n

(a + b)n =

an +

an−1b +

an−2b2 + ... +

bn =

an−kbk

(6)

0

1

2

n

k

k=0

CIA

¸ GI:

Ci¸

agiem nieskończonym nazywamy funkcj¸

e f , która odwzorowuje zbiór N liczb naturalnych w pewien niepusty zbiór Y .

Ci¸

ag (an) jest rosn¸

acy ⇔ V

a

n∈N

n+1 > an

Ci¸

ag (an) jest malej¸

acy ⇔ V

a

n∈N

n+1 < an

Ci¸

ag (an) jest nierosn¸

acy ⇔ V

a

n∈N

n+1n

Ci¸

ag (an) jest niemalej¸

acy ⇔ V

a

n∈N

n+1n

Ci¸

ag (a

V

n) jest ograniczony ⇔ W

|a

M

n∈N

n| < M

Ci¸

agiem arytmetycznym nazywamy ci¸

ag liczbowy, dla którego spe lnoiny jest warunek: an+1 = an − r czyli an = a1 + (n − 1)r Liczb¸e r nazywamy ró żni¸

a ci¸

agu artymetycznego. Ci¸

ag artymetyczny jest rosn¸

acy jeżeli

r > 0 a malej¸

acy jeżeli r < 0. Każdy środkowy wyraz (z wyj¸

atkiem pierwszego i ostatniego) jest średni¸

a arytmetyczn¸

a wyrazów s¸

asiednich:

an = an+1+an−1

2

Wzór na sum¸

e n pocz¸

atkowych wyrazów ci¸

agu arytmetycznego:

Sn = a1+an n

2

Ci¸

agiem geometrycznym nazywamy ci¸

ag liczbowy, dla którego spe lnoiny jest warunek: an+1 = an · q czyli an = an−1

1

2

Liczb¸e q nazywamy ilorazem ci¸

agu geometycznego. Każdy środkowy wyraz (z wyj¸

atkiem

pierwszego i ostatniego) spe lnia warunek: a2n = an+1 · an−1

Wzór na sum¸e n pocz¸

atkowych wyrazów ci¸

agu arytmetycznego:

Sn = a1 · 1−qn dla q 6= 1

1−q

Sn = n · a1 dla q = 1

Granica ci¸

agu nieskończonego.

Liczb¸

e g nazywamy granic¸

a ci¸

agu nieskończonego, jeżeli prawie wszystkie wyrazy tego ci¸

agu

leż¸

a w otoczeniu liczby g:

lim a

W

V

n = g ⇔ V

|an − g| <

x→∞

>0

δ

n>δ

epsilon Ci¸

ag, który posiada granic¸

e nazywamy zbie żnym, a ten, kóry jej nie posiada rozbie żnym.

Twierdzenia o dzia laniach na granicach ci¸

agów:

Jeżeli lim an = a i lim bn = b, to: x→∞

x→∞

lim (an + bn) = a + b

x→∞

lim (an − bn) = a − b

x→∞

lim (k · an) = k · a

x→∞

lim (anbn) = ab

x→∞

Jeżeli ponadto b 6= 0, oraz bn 6= 0, to: lim an = a

x→∞ bn

b

Zachodz¸

a równości :

lim 1 = 0

x→∞ n

lim C = C, C-sta la

x→∞

√

lim n a = 1

x→∞

√

lim n n = 1

x→∞

Liczba e jako granica ci¸

agu:

lim

1 + 1 n = e

x→∞

n

Twierdzenie o trzech ci¸

agach:

Jeżeli lim an = lim cn = g oraz an ≤ bn ≤ cn, to: x→∞

x→∞

lim bn = g

x→∞

3

Twierdzenie:

Jeżeli lim an = 0 oraz ci¸ag bn jest ograniczony, to: x→∞

lim anbn = 0

x→∞

Szereg geometryczny:

Niech dany b¸

edzie nieskończony ci¸

ag geometryczny:

a1, a1q, a1q2, ...a1qn−1, ...

Ci¸

ag Sn o wyrazach:

S1 = a1, S2 = a1 + a1q, ..., Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn−1,...

nazywamy ci¸

agiem sum cz¸

eściowych nieskończonego ci¸

agu geometrycznego lub szeregiem geometrycznym. Gdy ci¸

ag ten ma granice S, to jest to suma szeregu geometrycznego i szereg ten jest wówczas zbieżny.

Twierdzenie: Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q| < 1 lub a1 = 0 i wówczas S = 0, gdy a1 = 0

S = a1 dla |q| < 1

1−q

natomiast jest rozbieżny, gdy |q| ≥ 1 i a 6= 0.

4