Wartość bezwzgl¸
edna, parzystość, nieparzystość funkcji, funkcja liniowa, uk lady równań liniowych.
Przygotowa la Izabela Wardach 1
Definicja:
(
x
dla
x ≥ 0
|x| =
(1)
−x dla x < 0
W laściwości:
|x| ≤ a
dla
a ≥ 0
(2)
x ∈ h−a, ai
(x ≤ a) ∧ (x ≥ −a)
(3)
|x| ≥ a
dla
a ≥ 0
(4)
x ∈ (−∞, −ai ∪ ha, ∞)
(x ≤ −a) ∨ (x ≥ a)
(5)
|a| · |b| = |a · b|
(6)
| − a| = |a|
(7)
|a|
a
=
dla
|b| 6= 0
(8)
|b|
b
Parzystość funkcji w zbiorze D: dla każdego
x ∈ D
[−x ∈ D ∧ f (−x) = f (x)]
(9)
uwaga: oś OY jest osi¸
a symetrii wykresu funkcji Nieparzystość funkcji w zbiorze D: dla każdego
x ∈ D
[−x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x)]
(10)
uwaga: pocz¸
atek uk ladu wspó lrz¸
ednych jest środkiem symetrii wykresu funkcji Funkcja liniowa:
y = ax + b,
x ∈ R
(11)
W lasności:
miejsce zerowe
x0 = −b/a,
a 6= 0
punkt przeci¸
ecia z osi¸
a OY
y0 = b
1na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory, przyk lady, WNT, Warszawa 1994.
2. W. Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT, Warszawa 1994.
1
funkcja rosn¸
aca,
a < 0
funkcja malej¸
aca,
a = 0
funkcja sta la.
Równanie liniowe z jedn¸
a niewiadom¸
a (równanie I-go stopnia): ax + b = 0,
a 6= 0
(12)
ma dokadnie jeden pierwiastek x0 = −b/a,
a 6= 0
Nierównaności liniowe z jedn¸
a niewiadom¸
a (nierówności I-go stopnia): ax + b < 0,
ax + b > 0,
ax + b ≤ 0,
ax + b ≥ 0,
a 6= 0
(13)
zbiorem rozwi¸
azań takich nierówności jest jeden z przedzia lów: b
b
b
b
(−∞; − ), (− ; +∞), (−∞; − i, h− , +∞) (14)
a
a
a
a
Uk lad dwoćh równań liniowych (I-go stopnia) z dwoma niewiadomymi x i y: (
a1x + b1y = c1
(15)
a2x + b2y = c2
Rozwi¸
azania:
1. metoda algebraiczna (podstawiania, przeciwnych wspó lczynników) (a) jedno rozwi¸
azanie
x = x0, y = y0
równania badanego uk ladu s¸
a wzajemnie niezależne - uk lad jest oznaczony (b) brak rozwi¸
azania
np. sprzeczność lewej i prawej strony któregokolwiek równania; równania badanego uk ladu s¸
a wzajemnie sprzeczne - uk lad jest sprzeczny (c) nieskończenie wiele rozwi¸
azań
zero”tożsamościowe - równania badanego uk ladu s¸
a wzajemnie zależne - uk lad
”
jest nieoznaczony
2. metoda graficzna (przedstawienie badanych równań na p laszczyźnie OXY w postaci funkcji:
(
y1 = f (x)
(16)
y2 = g(x)
2
azanie
x = x0, y = y0
wykresy funkcji f(x) i g(x) przecinaj¸
a si¸
e w jednym punkcie x = x0, y = y0 - uk lad jest oznaczony
(b) brak rozwi¸
azania
wykresy funkcji f(x) i g(x) to proste równoleg le - uk lad jest sprzeczny (c) nieskończenie wiele rozwi¸
azań
wykresy funkcji f(x) i g(x) pokrywaj¸
a si¸
e - uk lad jest nieoznaczony 3. metoda wyznaczników Cramera: a
c
a
W =
1
b1
1
b1
1
c1
= a
1b2 − a2b1
Wx =
Wy =
(17)
a
c
a
2
b2
2
b2
2
c2
(a) jedno rozwi¸
azanie
Wx
Wy
W 6= 0 ⇒ x =
,
y =
W
W
uk lad jest oznaczony
(b) brak rozwi¸
azania
W = 0 ∧ Wx 6= 0 ∨ Wy 6= 0
uk lad jest sprzeczny
(c) nieskończenie wiele rozwi¸
azań
W = 0 ∧ Wx = Wy = 0
uk lad jest nieoznaczony
3