Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00

Wprowadzenie do matematyki

Materiały do zajęć (3, 4):

Funkcje elementarne.



Podstawowe własności funkcji.



Funkcja liniowa.



Wartość bezwzględna.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

30

Temat 2: Funkcje elementarne

1. Podstawowe własności funkcji

2. Funkcja liniowa.

Dziedziną (ozn. D

f

) funkcji liniowej jest zbiór R.

Definicja.
Funkcja f jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy

f

D

x

t









0

[





















f

f

D

t

x

D

t

x

)

(

)

(

t

x

f

x

f





].

Definicja.
Funkcja f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy

f

D

x

x





2

1

,

[

2

1

x

x





)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



].

Definicja.
Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy

)

(

)

(

,

x

f

x

f

D

x

x

f













.

Definicja.
Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy

)

(

)

(

,

x

f

x

f

D

x

x

f











.

Definicja.
Funkcja f jest malejąca w przedziale

)

,

( d

c

wtedy i tylko wtedy, gdy

)]

(

)

(

[

)

,

(

,

2

1

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

d

c

x

x











.

Definicja.
Funkcja f jest rosnąca w przedziale

)

,

( d

c

wtedy i tylko wtedy, gdy

)]

(

)

(

[

)

,

(

,

2

1

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

d

c

x

x











.

Definicja.
Miejscem zerowym funkcji f nazywamy argument

f

D

x



, dla którego

0

)

(



x

f

.

Definicja.
Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci:

b

ax

x

f





)

(

,



b

a,

R,



x R,

a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, b jest wyrazem wolnym.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

31

Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu

b

ax

y





,



b

a,

R nachylona do osi OX

pod kątem



takim, że



tg

a



.

f

D

x



nazywamy argumentem funkcji f,

)

(x

f

y



jest wartością funkcji f dla argumentu x.

Jeśli

0



a

, to zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór R. Dla

0



a

f jest funkcją stałą

o zbiorze wartości

}

{b , jej wykresem jest prosta o równaniu

b

y



, równoległa do osi OX

i przecinająca oś OY w punkcie

)

,

0

( b . Jeśli

0



a

i

0



b

, to wykresem funkcji liniowej jest

prosta

ax

y



przechodząca przez początek układu współrzędnych.

Przykład.
Narysować wykres funkcji:
a)

x

x

f

2

)

(



,

b)

1

)

(







x

x

f

,

c)

5

)

(



x

f

,

podać jej miejsce zerowe oraz omówić podstawowe własności.

x

y

a=0

x

y

α

a<0

x

y

α

a>0

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

32

Wniosek.
Miejsce zerowe funkcji liniowej jest rozwiązaniem równania

0





b

ax

,



b

a,

R,



x R:



dla

0



a

i



b

R miejscem zerowym jest

a

b

x





,



dla

0



a

i

0



b

funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych:

f

D

x



,



dla

0



a

i

0



b

funkcja nie ma miejsca zerowego.

Wniosek.
Funkcja liniowa

b

ax

x

f





)

(

,



x R jest:



rosnąca w R, gdy

0



a

,



malejąca w R, gdy

0



a

,



stała dla

0



a

.

Wniosek.
Funkcja liniowa

b

ax

x

f





)

(

,



x R jest:



parzysta, gdy

0



a

i



b

R,



nieparzysta, gdy

0



b

i



a R.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, z kolei wykres funkcji

nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Wniosek.
Funkcja liniowa

b

ax

x

f





)

(

,



x R jest różnowartościowa w R dla

0



a

.

Funkcja jest różnowartościowa w pewnym zbiorze, jeśli różnym argumentom z tego

zbioru odpowiadają różne wartości funkcji. Geometrycznie, każda prosta o równaniu

0

y

y



(

0

y należy do zbioru wartości funkcji f) ma z wykresem funkcji f dokładnie jeden punkt

wspólny.

Korzystając z zasady kontrapozycji powiemy, że funkcja f jest różnowartościowa

wtedy i tylko wtedy, gdy

f

D

x

x





2

1

,

[

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f





2

1

x

x



].

Przykład.
Narysować podzbiory płaszczyzny:
a)

}

3

:

)

,

{(

















x

y

y

x

y

x

A

R

R

,

b)

}

1

:

)

,

{(















y

y

x

y

x

B

R

R

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

33

3. Wartość bezwzględna.

Definicja.
Wartością bezwzględną (modułem) liczby



x R jest:















.

0

gdy

,

0

gdy

,

x

x

x

x

x

Podstawowe własności wartości bezwzględnej:



0



x

,



x

x





,



y

x

y

x







,



0

,





y

y

x

y

x

,



y

x

y

x







,



y

x

y

x







,



x

x



2

,



2

2

x

x



.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

34

Wartość bezwzględna liczby



x R: x , jest liczbą nieujemną i interpretujemy ją na

osi liczbowej jako odległość liczby x od 0. Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych



b

a,

R,

wyrażenie

a

b

b

a







określa na osi liczbowej odległość między a i

b

.

Dla

0



a

równanie

a

x



nie ma rozwiązania,

0

0







x

x

. Dla nierówności

ostrych

a

x



,

a

x



otrzymujemy rozwiązania w postaci przedziałów otwartych.

Ponadto:
dla

0



a

:

0

0







x

x

,







x

x

0



,







x

x

0

R,







x

x

0

R\{0},

dla

0



a

:







x

a

x



,







x

a

x



,







x

a

x

R,







x

a

x

R.

Przykład.
Rozwiązać równania:
a)

2



x

,

b)

1

2

2







x

x

.

Rozwiązanie:

Własności wartości bezwzględnej dla

0



a

:



)

(

a

x

a

x

a

x













,



]

,

[

)

(

)

(

a

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x



























,



)

,

[

]

,

(

)

(



























a

a

x

a

x

a

x

a

x

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

35

Przykład.
Rozwiązać nierówności:
a)

3

1





x

,

b)

5

2

2







x

x

.

Rozwiązanie:
















Przykład.
Narysować wykres funkcji

x

x

f



)

(

i omówić jej własności (dziedzina, zbiór wartości,

miejsca zerowe, parzystość, nieparzystość, różnowartościowość, monotoniczność).

Przykład.
Narysować wykres funkcji

x

x

g





)

(

.

Przykład.
Narysować wykres funkcji

3

1

)

(







x

x

h

.

Przykład.
Narysować wykres funkcji

1

5

,

0

)

(







x

x

f

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

36

Zadania

Funkcja liniowa

zad. 1) Znaleźć wzór funkcji liniowej

b

ax

x

f





)

(

wiedząc, że jej wykres przecina oś OY

w punkcie o rzędnej

3



, a oś OX w punkcie o odciętej

2

3

.

zad. 2) Miejscem zerowym funkcji

b

ax

x

f





)

(

jest liczba

5

, a jej wykres nachylony jest do

osi OX pod kątem



45 . Obliczyć współczynniki

a i

b

.

zad. 3) Dla jakich wartości parametru k funkcja





2

7

5

4

)

(









k

x

k

x

f

jest rosnąca?

zad. 4) Znaleźć wzór funkcji liniowej f wiedząc, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi

równość





3

2

)

2

(

)

(









x

x

f

x

f

.

zad. 5) Dla jakich argumentów funkcja

2

3

)

(







x

x

f

przyjmuje wartości niedodatnie?

Wartość bezwzględna

zad. 6) Rozwiązać równania:

a)

1

3

2







x

,

b)

0

3

1

2









x

x

.

zad. 7) Rozwiązać nierówności:

a)

1

2

1







x

x

,

b)

3

3

2







x

,

c)

4

1

3









x

x

.

zad. 8) Narysować wykres funkcji:

a)

2

2

)

(









x

x

x

f

,

b)

3

1

)

(







x

x

f

.

i na jego podstawie określić dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz omówić
podstawowe własności.

zad. 9) Narysować podzbiory płaszczyzny:

a)

 



 







0

2

0

2

:

,

2



















x

y

x

y

y

x

A

R

,

b)

 





1

:

,

2









x

y

y

x

B

R

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

37

Zadania do samodzielnego rozwiązania

zad. 1) Narysować wykres funkcji:

a)

x

x

f



)

(

,

b)

1

5

,

0

)

(







x

x

f

,

c)

3

)

(





x

f

,

podać jej miejsce zerowe oraz omówić podstawowe własności.

Odpowiedź:

a) Miejsce zerowe:

0



x

;



tg

a





1

; funkcja jest rosnąca i różnowartościowa,

wykres nachylony jest do osi OX pod kątem



45





; funkcja jest nieparzysta; wyraz

wolny

0



b

,

b)

1

,

2

1







b

a

; miejsce zerowe:

2



x

; funkcja jest malejąca i różnowartościowa;

wykres nachylony jest do osi OX pod kątem



takim, że

5

,

0







tg

, stąd





















,

2

,

c)

3

,

0







b

a

; funkcja stała, parzysta.

zad. 2) Wyznaczyć wzór funkcji liniowej f wiedząc, że:

a)

4

)

2

(



f

i

5

)

1

(







f

,

b) jej wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej 2, a 1



jest miejscem zerowym

funkcji

f ,

c) jej wykres jest nachylony do osi OX pod kątem



60 i przechodzi przez punkt

)

3

,

1

(



D

.

Odpowiedź:

a)

2

3

)

(





x

x

f

,

b)

2

2

)

(





x

x

f

,

c)

3

3

3

)

(







x

x

f

.

zad. 3) Dla jakich wartości parametru



p

R funkcja

3

2

)

2

7

(

)

(









p

x

p

x

f

jest malejąca?

Odpowiedź:











 





7

2

,

p

.

zad. 4) Dla jakich argumentów funkcja

3

2

1

)

(







x

x

f

przyjmuje wartości:

a) nieujemne,
b) mniejsze od 4?

Odpowiedź:

a)

]

6

,

(





x

,

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

38

b)

)

,

2

(









x

.

zad. 5) Narysować podzbiory płaszczyzny:

a)























2

2

1

:

)

,

(

2

x

y

y

x

A

R

,

b)

}

1

2

:

)

,

{(

2









x

y

y

x

A

R

.

zad. 6) Rozwiązać równania:

a)

2

3





x

,

b)

3

5

1







x

,

c)

0

1

2









x

x

,

d)

4

3

1









x

x

.

Odpowiedź:

a)

}

5

,

1

{



x

,

b)

}

7

,

1

,

3

,

9

{







x

,

c)

2

1



x

,

d)

]

1

,

3

[





x

.

zad. 7) Rozwiązać nierówności:

a)

2



x

,

b)

3

2





x

,

c)

0

2

3

2









x

x

.

Odpowiedź:

a)

]

2

,

2

[





x

,

b)

)

5

,

1

(





x

,

c)

R



x

.

zad. 8) Narysować wykres funkcji oraz określić zbiór jej wartości i miejsca zerowe:

a)

2

)

(





x

x

f

,

b)

1

1

)

(







x

x

f

,

c)

1

3

)

(







x

x

f

,

d)

x

x

x

f







2

)

(

.

Odpowiedź:

a)















,

2

1

f

D

; miejsca zerowe:

}

2

,

2

{





x

,

b)













,

1

1

f

D

; brak miejsc zerowych,

c)













,

0

1

f

D

; miejsca zerowe:

}

4

,

2

{



x

,

d)





2

,

2

1







f

D

; miejsce zerowe:

1





x

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

39

Literatura

(do zajęć: 3 – 7)

1) Borowska M., Gałązka K. [2009], „Obowiązkowa matura z matematyki, zakres

podstawowy”, Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o. o., Gdynia.

2) Dobrowolska M., Braun M., Karpiński M., Lech J., Urbańczyk W. [2004],

„Matematyka I”, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.

3) Dobrowolska M., Braun M., Karpiński M., Lech J. [2004], „Matematyka III”, Gdańskie

Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.

4) Gurgul H., Suder M. [2009], „Matematyka dla kierunków ekonomicznych. Przykłady

i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej”, Wydawnictwo Wolters Kluwer
Polska Sp. z o. o., Kraków.

5) Kiełbasa A. [2008], „Matematyka, Matura 2009, Matura 2010” poziom podstawowy

i rozszerzony, cz. 1, Wydawnictwo „2000”, Warszawa.

6) Kłaczkow K., Kurczab M., Świda E. [2002], „Matematyka, podręcznik do liceów

i techników klasa I, zakres podstawowy i rozszerzony”, wydanie I, Oficyna
Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Spółka z o. o., Warszawa.