Lista 10
WZORY:
Literatura:
1. Adam Łomnicki „Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników”
2. Witold Klonecki „Statystyka dla inżynierów”
3. Mieczysław Sobczyk „Statystyka”
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ μ:
1. X – próba z rozkładu normalnego N(μ, σ 2), σ 2 – znane z góry (podane w zadaniu), lub próba z dowolnego innego rozkładu o wartości oczekiwanej μ i wariancji σ 2
α
σ
α
σ
X − z 1
( −
) ⋅
;
X + z 1
( −
) ⋅
2
n
2
n
2. X – próba z rozkładu normalnego N(μ, σ 2), σ 2 – nieznane
α
α
t 1
( −
; n − )
1
t 1
( −
; n − )
1
X −
2
⋅ S;
X +
2
⋅ S
n − 1
n − 1
gdzie: X oznacza średnią z próby,
S – odchylenie standardowe z próby (S2 – wariancja z próby),
n – liczba danych wziętych do badań,
α
z 1
( −
) - kwantyl z rozkładu normalnego,
2
α
t 1
( −
; n − )
1 - kwantyl z rozkładu t-Studenta o n-1 stopniach swobody.
2
UWAGA: Dla dużych n rozkład t-Studenta przybliżamy rozkładem normalnym.
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA PORÓWNANIA WARTOŚCI OCZEKIWANYCH:
1. X – próba z rozkładu normalnego N(μX, σ 2X),
Y – próba z rozkładu normalnego N(μY, σ 2Y),
σ 2X = σ 2Y – nie są znane
1
1
+
α
X − Y −
n
n
t 1
( −
; n
n
n S
n S
X +
Y −
)
2 ⋅
X
Y
⋅
2
X
X +
2
;
2
n
n
X +
Y − 2
Y
Y
1
1
+
α
n
n
X
Y
2
2
X
Y
t 1
(
; n
n
2)
n S
n S
−
+
−
X +
Y −
⋅
⋅
X
X +
2
n
n
X +
Y − 2
Y
Y
gdzie: X , Y oznaczają średnie z próby,
SX, SY – odchylenie standardowe z prób X oraz Y
nX, nY – liczba danych wziętych do badań,
α
t 1
( −
; n
n
- kwantyl z rozkładu t-Studenta o n
X +
Y −
)
2
2
X + nY - 2 stopniach swobody
UWAGA: Dla dużych n rozkład t-Studenta przybliżamy rozkładem normalnym.
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA PROPORCJI:
Przedziały ufności dla proporcji mogą być obliczane tylko dla dużych prób, tak dużych, aby rozkład średnich z próby był zgodny z rozkładem normalnym. Wówczas:
α
α
z 1
( −
) ⋅ pˆ 1
( − pˆ)
z 1
( −
) ⋅ pˆ 1
( − pˆ)
pˆ −
2
;
pˆ +
2
n
n
m
gdzie: pˆ =
oznacza proporcję, tzn. stosunek frakcji (ilości obserwacji) nas interesującej do n
ilości wszystkich obserwacji,
ZADANIA PODSTAWOWE DLA BIOLOGII, OCHRONY ŚRODOWISKA I
BIOTECHNOLOGII
1. Zmierzono czas życia próby losowej 17 żarówek. Średni czas życia w próbie wyniósł
X = 3000 godzin, natomiast odchylenie standardowe S = 20 godzin. Przy założeniu, że czas życia żarówki jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ, 18), podać realizację przedziału ufności dla wartości średniej μ tego rozkładu na poziomie ufności 0,9.
2. W losowo wybranej grupie 10 samochodów pewnej marki przeprowadzono badania zu-
życia benzyny na trasie długości 100 km. Okazało się, że średnia zużycia benzyny dla tej grupy wyniosła X = 1
,
8 , a odchylenie standardowe S = 0,8. Wyznaczyć 99%-ową reali-
zację przedziału ufności dla średniej.
3. Z dostawy jabłek pobrano próbkę liczącą 25 jabłek i zbadano ich wagę. Otrzymano wyniki pomiarów (w dkg): 18, 19, 20, 20, 21, 23, 17, 24, 16, 22, 21, 20, 20, 19, 21, 20, 18, 23, 21, 24, 19, 19, 20, 21, 20. Przy założeniu, że waga jabłek jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, podaj realizację przedziału ufności dla wartości średniej μ tego rozkładu na poziomie ufności 1 – α = 0,9.
4. Wzrost losowo wybranej osoby z pewnej populacji jest zmienną losową o nieznanej średniej i wariancji. Pobrano próbkę losową o liczności n = 26 i po obliczeniu realizacji przedziału ufności dla średniej na poziomie ufności 0,9 otrzymano wynik [162, 178].
Oblicz średni wzrost i wariancję wzrostu w pobranej próbie.
5. Miesięczny wydatek na żywność w losowo wybranej rodzinie z pewnej populacji jest zmienną losową o nieznanej wartości oczekiwanej μ na poziomie ufności 0,95, jeśli po pobraniu próby złożonej z 1000 rodzin i obliczeniu średniej i wariancji z próby otrzymano wyniki: X = 450 zł, S2 = 8464 zł2. (Ponieważ n jest duże, więc przybliż rozkład t-Studenta rozkładem normalnym)
6. Czas czekania na zgłoszenie się abonenta do centrali telefonicznej ma rozkład normalny z wariancję 841s2. Ile niezależnych pomiarów czasu czekania na abonenta należy wykonać, aby obliczony na ich podstawie przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla wartości oczekiwanej czasu czekania miał długość mniejszą od 4 sekund.
7. Niech X będzie próbą z rozkładu normalnego N(μ, 9). Wyznaczyć najmniejsze n takie, że przedział ufności dla μ na poziomie ufności 0,9 ma postać [ X − ; 1 X + ]
1 .
8. W pewnej przychodni wśród losowo wybranych 980 osób poddanych prześwietleniu małoobrazkowemu stwierdzono zmiany chorobowe u 10 osób. Wyznacz realizację przedziału ufności na poziomie ufności 0,95 dla frakcji osób chorych spośród wszystkich obsługiwanych przez tę przychodnię.
9. Laboratorium zakładów chemicznych porównuje wydajność reakcji chemicznych przy zastosowaniu dwóch różnych katalizatorów. Wykonano 12 eksperymentów przy zastosowaniu pierwszego katalizatora, uzyskano średnią wydajność reakcji w próbie równą 85 przy odchyleniu standardowym w próbie równym 4. Niezależnie wykonano 10
eksperymentów przy zastosowaniu drugiego katalizatora i otrzymano średnią wydajność 81 przy odchyleniu standardowym z próby 5. Podaj przedział ufności dla różnicy wartości średnich wydajności w obu populacjach na poziomie ufności 0,9. Załóż, że otrzymywane wydajności w obydwu przypadkach mają rozkład normalny o tej samej wariancji.
ZADANIA ROZSZERZONE DLA BIOTECHNOLOGII
P
RZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WARIANCJI σ 2 O
RAZ ODCHYLENIA STANDARDOWEGO
σ:
X – próba z rozkładu normalnego N(μ, σ 2),
n
n
⋅ 2
S ;
⋅ 2
S
dla σ 2
α
α
2
χ 1
( −
; n −
2
)
1
χ ( ; n − )
1
2
2
n
n
⋅ S;
⋅ S
dla σ
α
α
2
χ 1
( −
; n − )
1
2
χ ( ; n − )
1
2
2
gdzie: S – odchylenie standardowe z próby (S2 – wariancja z próby), n – liczba danych wziętych do badań,
α
2
χ 1
( −
; n − )
1 - kwantyl z rozkładu χ2 o n-1 stopniach swobody.
2
UWAGA: Dla dużych n rozkład χ2 przybliżamy rozkładem normalnym.
10. Oceń zróżnicowanie średnicy drzew (wyznacz przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego) w pewnym lesie, jeśli w 25-elementowej próbie złożonej z drzew wybranych losowo z tego lasu otrzymano: X = 37 3
, cm oraz S2 = 13,5 cm2.
Zakładamy, że rozkład średnicy drzew jest normalny. Przyjmij współczynnik ufności 0,9.
11. W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnego betonu dokonano n = 80
niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu i otrzymano następujące wyniki (w 105 N/m2):
Liczba pomiarów
190-194
6
194-198
12
198-202
26
202-206
20
206-210
11
210-214
5
Przyjmując, że wytrzymałość betonu ma rozkład normalny, wyznaczyć realizację przedziału ufności dla średniej na poziomie ufności 0,99.
12. Wyznacz realizację przedziału ufności dla odchylenia standardowego zużycia benzyny na poziomie ufności 0,99 dla danych opisanych w zadaniu 2.
13. Ponownie badaliśmy zużycie benzyny (zad. 2), ale tym razem w grupie 450
samochodów. Odchylenie standardowe z próby wyniosło 0,8 litra. Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny, wyznacz realizację przedziału ufności dla odchylenia standardowego. Przyjmij poziom ufności 1-α = 0,99.
14. Wykonano n = 200 pomiarów wzorca μ = 100 g. Średnia arytmetyczna z pomiarów jest równa 99,8 g, a wariancja z próby równa się 0,36 g2. Wyznacz realizację przedziału ufności na poziomie ufności 0,9 dla odchylenia standardowego wyniku pomiaru, przy założeniu, że wynik jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. (Ponieważ n jest duże, więc rozkład χ2 przybliż rozkładem normalnym).