GRAWITACJA Prawa Keplera ruchu planet P v
III prawo Keplera
vB
3
2
a
T
1
1
=
B
a
A
3
2
S
a
T
2
2
vA
b
Sila dosrodkowa
r
v 2
F =
r
ma
a =
a
d
d
d
d – jest przyspieszeniem dosrodkowym r
r
r
v
m 2
F =
r – odleglosc planety od Slonca.
d
r
Prawo powszechnego ciazenia r
m m r
1
2
F = G
−
r
12
12
3
r
M
r = |r12|
m
Mm
F
F = G
F
g
2
g
r
r - odleglosc punktów materialnych G – stala grawitacji (wyznaczona przez Cavendisha) r12 – wektor wodzacy punktu materialnego m, |r12| = r Pole grawitacyjne
Natezenie pola grawitacyjnego r
E
M
r
F
M r
E =
= G
jedn. [N/kg]=[m/s2]
E =
= G
−
r
2
m
r
m
r 3
r – wektor wodzacy punktu, w którym wyznaczamy natezenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez punkt M, V - potencjal
r
r
M r
F
E = − gradV = − G
r =
r 3
m
r
r
∂ V r ∂ V r ∂ V r E = ∇
− V = −(
i +
j +
k
∂
)
x
∂ y
∂ z
r
r
r
r
∂
∂
∂
∇ =
i +
j +
k
OPERATOR
NABLA
∂ x
∂ y
z
∂
Przyspieszenie grawitacyjne r
r
F
r
v
a =
tzn., ze
a = E
g
g
m
1
Pole grawitacyjne centralne Linie sil pola centralnego Natezenie pola centralnego M
F
E = G
=
r 2
m
M
M
R
r
E
F
max
g
m
E~r
V
E~1/r2
- wewnatrz kuli - rosnie ~ r r
M
r R
M
E =
=
G
r
→ E = G
3
2
R
R
- na zewnatrz kuli - maleje ~ r2
M
r = R
M
E = G
→ E = G
2
2
r
R
Sztuczne satelity
Predkosc satelity (MZ – masa i R – promien) na wysokosci h GM
GM
v
z
z
=
=
Okres obiegu T = 2πr/v
s
s
r
( R + )
h
Pierwsza predkosc kosmiczna v = gR
I
Druga predkoscia kosmiczna M m
E = − G
z
gdzie R – promien Ziemi, M
p
z – masa Ziemi.
R
2
mvII
E =
.
k
2
mv 2
M m
II
Z
∆
M
E + ∆ E = , 0
= G
Z
=
k
p
g
G
2
R
2
R
GM
2
GM
M
Z
Z
v =
= 2 ⋅
= 2 gR = 2 ⋅ v gR = G
Z
II
I
R
R
R
2
∆Ep = W
F = Fg = mg
W = Fh = mgh
∆Ep=W=mgh-mgh0,
dla h0=0
wtedy
Ep = mgh
F
1
1
E = −
= GmM
−
( −
)
p
r
r
r 0
r – odleglosc punktu, w którym wyznaczamy energie potencjalna punktu materialnego m, od punktu materialnego M, r0 – odleglosc punktu odniesienia do punktu materialnego M
M m
E ( r) = − G
z
r
p
0= ∞ ,
r
M m
E = − G
z
,
r=R
p
R
Ep
R
0
r
Wykres energii potencjalnej Ep ciala o masie m w centralnym
-GMm/R
polu grawitacyjnym w funkcji odleglosci r od srodka masy Potencjal pola grawitacyjnego E r
( )
V ( r
p
) =
m
1
− GmM r
1
V =
= − GM
m
r
3