Przykład I. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące
zu\
ycie energii elektrycznej
Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci:
m- węzłów,
s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest
odpowiednie ciÅ›nienie oraz n Å‚uków, à "Rs
y"Rn
ka\
dy łuk  i charakteryzuje się przepływem yi:
Opis sieci:
spadek ciśnienia xi na łuku  i :
x"Rn xi =ri yi2 sgn yi + di
gdzie: ri- opór hydrauliczny łuku  i
di- ró\
nica wysokości geodezyjnych łuku  i
Ograniczenia wynikajÄ…ce ze struktury sieci:
I prawo Kirchhoff a:
A y = Ã
A  macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej,
II prawo Kirchhoff a:
B x = 0
B  macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej.
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Sterowanie sieciÄ… dystrybucji wody minimalizujÄ…ce zu\
ycie energii
elektrycznej
n
min f ( y) = fi(yi )
"
i=1
gdzie: fi(yi )= xi yi = ri yi3 sgn yi + di yi
przy ograniczeniach:
A y = Ã
B x = 0
xi =ri yi2 sgn yi + di
y"Rn
x"Rn
à "Rs
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Przykład II: Znalez
ć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji
określonej poprzez tabelę 20 pomiarów.
Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b1 , b , b , b4] formy liniowej :
2 3
y = bT u
gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych
Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości
~
yi i =1,...,20
wyjściowych
dla następujących kryteriów jakości:
1. minimum sumy wartości bezwzględnych ró\
nic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
20
~
min [ f (b ) = y - y (b )
" i i
i =1
yi (b)
gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych
i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
yi (b)= b1u1i + b2u2i + b3u3i + b4u4i
Zadanie trudne do rozwiÄ…zania, poniewa\
funkcja celu jest nie-ró\
niczkowalna.
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Równowa\
ne zadanie programowania liniowego
~
zi = yi - yi(b)
Wprowadzono nowÄ… zmiennÄ…:
Ø ZwiÄ™kszenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezale\
ne
20
min f (b ) = zi
"
i =1
przy ograniczeniach:
~
- zi d" yi -b1u1i -b2u2i -b3u3i - b4u4i d" zi
dla i=1,...,20
Zadanie programowania liniowego:
Ø funkcja celu jest wypukÅ‚a
Ø rozwiÄ…zano metodÄ… dwufazowÄ… simpleks.
.
Wektor b optymalnych współczynników :
Wektor b optymalnych współczynników :
b = 51,87 b = 1,232 b = -0,122 b = -1,08
1 2 3 4
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Drugie kryterium jakości:
2. minimum sumy kwadratów ró\
nic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
2
20
min [ f (b) = (~ - yi (b))
yi
"
i=1
~
gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych
yi i =1,...,20
yi (b) - i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
yi(b)= b1u1i +b2u2i +b3u3i + b4u4i
Zadanie programowania nieliniowego:
funkcja celu jest wypukła
rozwiązano metodą gradientów sprzę\
onych w wersji Polak a-Ribiere y.
b = 39,28 b = 1,07 b = 0,16 b = -0,94
1 2 3 4
Wyniki identyfikacji zale\
ą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej
dokładności obliczeń.
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Przykład III. Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania
autostrady
Koszt budowy jest proporcjonalny do ilości podło\
a dodawanego lub
usuwanego
t"[0,T ]
T  długość drogi, c(t)  wysokość terenu dla ka\
dego
Autostrada będzie budowana na nierównym terenie
Nale\
y wyznaczyć wysokość drogi y(t) dla "t "[0,T]
Zało\
enia:
Warunki poczÄ…tkowe trasy: y(0) = a
Warunki końcowe trasy: y(T) = b
Maksymalne nachylenie nie mo\
e przekraczać b1 dla uniknięcia
nadmiernych spadków:
.
y (t ) d" b1
Nale\
y graniczyć szybkość zmian nachylenia drogi (wyeliminowanie
garbów na jezdni):
..
y (t ) d" b2
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania autostrady
y(t)
T
min y(t) - c(t) dt
+"
0
Przy ograniczeniach:
.
y(t) d"b1 dla t "[0,T]
..
y(t) d" b2 dla t "[0,T]
y(0) = a
y(b) = T
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Przekształcenie zadania:
Zało\
enia:
drogÄ™ nale\
y podzielić na K równych odcinków o długości l, k=1,...,K
zmienna sterujÄ…ca: u(t)=y(t)-c(t)
zmienna modelu dynamicznego:
.
.
y2 = y
PrzyjmujÄ…c oznaczenia: y1 = y, ,
x(t) = y(t)
c(k) = ck, y1(k) = y1,k, y2(k) = y2,k
K
Zadanie optymalizacji statycznej:
min y - c
" 1 , k k
k = 1
przy ograniczeniach:
y1,k - y1,k-1 = y2,k -1
y2,k =b
y1,0 =a
- b1 d" y2,k d"b1
- b2 d" y2 ,k - y2 ,k -1 d" b2
Powstało zadanie optymalizacji liniowej z ograniczeniami większościowymi i
mniejszościowymi.
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Zadanie programowania ilorazowego:
cT x
extr f (x)=
T
d x
f : X R1
przy ograniczeniach:
c e" 0,d e"0, x e"0
d "Rn x"Rn
c"Rn
oraz
A xd"b
dim A=[mxn]
b"Rm
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic
Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych ,
'"
x
nale\
ącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci:
takiego, \
e dla
X = {x (x)d" 0, i =1,...,m}
gi
'"
"x"X
ëÅ‚ öÅ‚
f x d" f (x )
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
'"
x
Co jest równoznaczne zapisowi:
'"
ëÅ‚xöÅ‚
f (x)= f
ìÅ‚ ÷Å‚
min
íÅ‚ Å‚Å‚
x"X
'"
Punkt - minimum globalne funkcji f (x) na zbiorze X
x
Wydział Elektroniki
Technika optymalizacji Wykład 2
EiT III r. subkier. EKA
Dr in\
. Ewa Szlachcic