Maria Malejki
Wydzial Matematyki Stosowanej
AGH
Egzamin z Matematyki dla kierunku Górnictwo i Geologia
na Wydziale Górnictwa i Geoinżynierii
Semestr III
(rok akademicki 2010/11)
Zagadnienia obowiazuj� do egzaminu:
� ace
1. Funkcje wielu zmiennych:
- pochodne cz�
astkowe;
- klasy funkcji C(1), C(2), C(k);
- wzór Taylora dla funkcji 2-ch zmiennych z przykladowymi zastosowaniami;
2. Równania różniczkowe zwyczajne:
- Równania różniczkowe 1- go rz� - przyklady
edu
- Równanie o zmiennych rozdzielonych;
- Równania liniowe 1-go rz� jednorodne i niejednorodne; metoda uzmienniania stalej, metoda przewidy-
edu
wania;
- Równania liniowe 2-go rz� (o stalych wspólczynnikach); metoda uzmienniania stalych, metoda przewidy-
edu
wania;
3. Calki wielokrotne:
- obszary normalne w R2
- calka podwójna: definicja, interpretacja geometryczna;
- calka iterowana;
- calka w obszarze normalnym: twierdzenie o zamianie zmiennych, wspólrz� biegunowe;
edne
- zastosowania geometryczne
4. Calki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane;
Przykladowe zadania egzaminacyjne.
1. Obliczyć pochodne cz� 1-go rz� dla funkcji:
astkowe edu
x2y - 5y3 2
f(x, y) = ; f(x, y) = ex +3y2;
x2 + 2y2
7x3 - x2y3 x2 - y2
f(x, y) = ; f(x, y) = 4xy ;
x2 + 2y2 x2 + y2
f(x, y, z) = x2 + 4y4 + 3z2; f(x, y, z) = exy+zx+yz;
x
f(x, y, z) = ln(xy) + ln( );
z
f(x, y, z) = arctg(x - z) - arctg(yz).
2. Obliczyć pochodne cz� 2-go rz�
astkowe edu:
x
f(x, y) = ex(x2y - 5y3); f(x, y) = arctg( );
y
f(x, y, z) = 2x2 + 3y2 - z2 - 5xy + yz + 2x2 - z2 + 2x + 5y - 2z + 5;
4
f(x, y, z) = xeyz-3z .
"2f
3. Obliczyć pochodn� cz� a drugiego rz�
a astkow� edu dla funkcji
"y"z
2
f(x, y, z) = sin(xy) + yex +z2.
4. Sprawdz1
ć czy funkcja y(x) = x(lnx)2 jest rozwiazaniem równania różniczkowego:
�
y y
y - = 2
x x
z warunkiem pocz�
atkowym y(1) = 0.
2
y(2x2+1)
5. Sprawdz1
ć czy funkcja y(x) = xex jest rozwiazaniem równania różniczkowego : y = z warunkiem
�
x
pocz�
atkowym y(1) = e.
6. Metod� przewidywania wyznaczyć rozwiazanie szczególne liniowego równania różniczkowego: y - 5y =
a �
2e5x.
7. Rozwiazać równania różniczkowe liniowe 1-go rz�
� edu:
y + 3y = 2e-3x;
y + 3y = sin2x + ex;
2
y - y = 2x5 + 3x - 1;
x
y + 2xy = 2x3.
8. Rozwiazać równania różniczkowe drugiego rz�
� edu:
y + 5y + 4y = 3 sin x;
y + 2y + y = sin x;
y + 2y + y = 4e-x;
y + 2y + y = x cos x;
y + y = xe3x;
9. Obliczyć wszystkie pochodne cz� 1-go rz� dla funkcji:
astkowe edu
3xy2 + x3
f(x, y) = ; g(x, y, z) = xz + e2y+z.
2x2 + 3y2
10. Rozwiazać równania różniczkowe liniowe 1-go rz�
� edu:
y + 4y = 3 cos 3x;
2
y - y = x4 - 7x3.
x
11. Rozwiazać równanie różniczkowe drugiego rz�
� edu:
y + 2y - 8y = 5ex.
12. Obliczyć calk�
e:
2 1
5 + x2
+ 2xy dydx.
1 + y2
0 -1
13. Obliczyć wszystkie pochodne cz� 1-go rz� dla funkcji:
astkowe edu
3x2y - 5y3
f(x, y) = ; g(x, y, z) = xy + 3xez.
x + y
14. Rozwiazać równania różniczkowe liniowe 1-go rz�
� edu:
y + y = 2ex;
5
y - y = x5 - 6x8.
x
15. Rozwiazać równanie różniczkowe drugiego rz�
� edu:
y + 4y = 3ex.
16. Obliczyć calk�
e:
Ą 1
sin x
+ 2xy dydx.
1 + y2
-Ą 0
17. Narysować zbiór na plaszczyznie OXY, po którym jest liczona nast� aca calka iterowana:
epuj�
1 1
f(x, y)dydx.
0 x
Zamienić poprawnie kolejność calkowania w tej calce.
18. Narysować zbiór na plaszczyznie OXY, po którym jest liczona nast� aca calka iterowana:
epuj�
Ą/2 1
f(x, y)dydx.
0 cos x
Zamienić poprawnie kolejność calkowania w tej calce.
19. Narysować zbiór na plaszczyznie OXY, po którym jest liczona nast� aca calka iterowana:
epuj�
"
4 x
f(x, y)dydx.
"
0 - x
Zamienić poprawnie kolejność calkowania w tej calce.
20. Dla K = {(x, y) : 1 d" x2 + y2 d" 4, x, y e" 0} obliczyć wartość calki podwójnej
(x2 + y2)dxdy
.
K
21. Dla K = {(x, y) : 1 d" x2 + y2 d" e2, y e" 0} obliczyć wartość calki podwójnej
ln(x2 + y2)dxdy
.
K
22. Obliczyć calk�
e:
x2 - y2 dxdy,
D
gdzie D jest zbiorem: D = {(x, y) : x2 + y2 d" 1, 0 d" y d" x}.
23. Obliczyć calk�
e:
x2-y2
4xy dxdy,
x2+y2
G
gdzie G jest zbiorem: G = {(x, y) : x2 + y2 d" 4, 0 d" y d" x}.
24. Dana jest krzywa l na plaszczyznie :
x(t) = t + 2
t " [0, 2],
y(t) = t2,
Obliczyć calki:
a) skierowana : (x + y)dx + ydy;
l
y
b) nieskierowana : " dl.
x 1 + 4y
l
25. Dana jest krzywa l na plaszczyznie :
x(t) = t + sin t
t " [0, Ą],
y(t) = cos t,
Obliczyć calki:
a) skierowana : (x + y)dx + ydy;
l
3xy
b) nieskierowana : " dl.
y + 1
l