Egzamin poprawkowy, pisemny - Analiza III 2009/2010L
8 Marca 2010, godz. 9:00, P17
Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować do prowadzących egzamin!
Zadanie 1. Znalez
ć taką funkcję holomorficzną Ś(x, y), by
|Åš(x, y)| = (x2 + y2)ex.
Zadanie 2. Znalez
ć strumień pola wektorowego określonego na R3 wzorem
" " "
F (x, y, z) = x3 + y2 + z
"x "y "z
przez "&!, jeśli &! = {(x, y, z) : x2 + y2 - z2 - 2z 0, z2 1, x2 + y2 1}. "&! jest zorientowana
 na zewnątrz względem &! przy założeniu kanonicznej orientacji R3.
"
Wskazówka: Strumień ten jest postaci Ą(a + b 2), gdzie a, b są liczbami wymiernymi.
Zadanie 3. Obliczyć całkę

"
1 - cos x
I = dx .
x2(x2 + 4)
0
Wskazówka: Dobrać odpowiedni kontur.
Zadanie 4. Znalez
ć transformatę Fouriera funkcji
1
f(r) = eiqr,
4Ä„r

gdzie r = x2 + y2 + z2.
Wskazówka: Całkować w układzie sferycznym wybierając p równolegle do osi z. Problem

wymaga regularyzacji  należy obliczyć transformatę funkcji f (r) = f(r)e- r i przejść do granicy
0. Konwencja

p ·
x)
Ć
f( := e-2Ä„i( f( x.
p) x)d
Rn
Zadanie 5. Wykazać, że
d2
Tsin = Tg + Ä… ´0.
dx2 |x|
Znalez
ć jawnie g oraz ą wiedząc, że ą " C, natomiast Tg jest dystrybucją regularną zadaną
przez funkcjÄ™ g.
Wskazówka: Proste rozwiązania są często najlepszymi.