zadanie 1 Rozwiązać równanie
jeśli :
det śą a-1Å"ATÅ"AźąÅ"x3-55=0
1 -1 2 2 1
2 -2 1 1 -2
1
A=
det śą a-1Å"ATÅ"Aźą=detA-1Å"detATÅ"detA= Å"detAÅ"detA=detA 1 1 -1 -1 2
detA
1 2 2 1 -1
[ ]
-1 1 1 -2 2
1 -1 2 2 1 0 0 3 0 3
0 3 0 3
IƒÄ…II
2 -2 1 1 -2 0 0 3 -3 2
II ƒÄ…2V= 0 2 0 -3 4 =śą-1źą1ƒÄ…5Å"śą-1źą 0 3 -3 2 kII -kIII =
detA=
1 1 -1 -1 2
2 0 -3 4
III ƒÄ…V
1 2 2 1 -1 0 3 3 -1 1 [ ]
[ ] [ ]
3 3 -1 1
IV ƒÄ…V
-1 1 1 -2 2 -1 1 1 -2 2
0 0 0 3
0 1 -3 0 1 0
0 1 -3 2 2 -15
kIII ƒÄ…3kII=3 -4 -15
=3Å"śą-1źą1ƒÄ…2śą1źą =
= śą-1źą =śą-1źąśą-1źą1ƒÄ… 4śą3źą -4 -3 2
2
[ ]
2 -4 -3 4 3 5
[ ] [ ]
[ ] 3 2 -1 3 2 5
3 2 -1 1
= -3 [2Å"5-3Å"śą-15źą]=-3Å"55=165 czyli detA=-165
-1
x3=
-165x3-55=0
3
zadanie 2
Macierz przekształcenia liniowego jest równa macierzy A z zadania 1. Wyznaczyć:
1) KerÅš
2) BazÄ™ ortogonalnÄ… podprzestrzeni liniowej linÅš=(linÅš,+,Åš )
2
3) RozwiÄ…zanie ukÅ‚Ä…du równaÅ„ liniowych AÅ"X=Åš odpowiedz
uzasadnij.
KerÅš={x õV : f śą xźą=0}
x1 x2 x3 x4 x5
1 -1 2 2 1 0
0 0 0 0 1
wI -wII
0 0 3 0 3
IƒÄ…II 0
0 0 0 -9 2
2 -2 1 1 -2 0 kIV -3kV
0 0 3 -3 2
0
IIƒÄ…2V 1 0 0 -5 -15 4
0 2 0 -3 4
kIIIƒÄ… kIV=
1 1 -1 -1 2 0 = 0
11 5
3
0 3 3 -1 1 0 -4 1
IIIƒÄ…V 0
[ ]
2
1 2 2 1 -1 0 3 3
#" #"#"#" -1 1 1 -2 2 kII ƒÄ… kIII
0
[ ]
IV ƒÄ…V 1 -5
5
1 -8 2
-1 1 1 -2 2 0
3 3
x5=0 ; -9x4ƒÄ…2x5=0 ; -5x3-15x4ƒÄ…4x5=0 ;..... Ò! x1=0 x2=0 x3=0 x4=0 x5=0
0
0
KerÅš=
0
0
śąźą
0
x1
1 -1 2 2 1
x2
2 -2 1 1 -2
=[1Å"x1-x2ƒÄ…2Å"x3ƒÄ…2Å"x4ƒÄ…x5 ,2x1-2Å"x2ƒÄ…x3ƒÄ…x4-2x5,....]
1 1 -1 -1 2 x3
1 2 2 1 -1
x4
[ ]
[]
-1 1 1 -2 2
x5
1 1 2 2 1
2 -2 1 1 -2
e1Å"a2 e1Å"a3 e2Å"a3
limÅš= e1=śą1,2 ,1 ,1 ,-1źą e2=a2- Å"e1 e3=a3- Å"e1- Å"e2
1 1 -1 -1 2
e1Å"e1 e1Å"e1 e2Å"e2
1 2 2 1 -1
śą źąśą źąśą źąśą źąśą źą
[ ]
-1 1 1 -2 2
śą1,2,1,1,-1źąÅ"śą1,-2,1,2,1źą
e2=śą1,-2,1,2,1źą- Å"śą1,2,1,1 ,-1źą
śą1,2,1,1 ,-1źąÅ"śą1,2,1,1 ,-1źą
śą1,2 ,1 ,1 ,-1źąÅ"śą2,1 ,-1,2 ,1źą śą1,2 ,1,1 ,-1źąÅ"śą2,1 ,-1,2 ,1źą
e3=śą 2,1 ,-1,2 ,1źą- Å"śą1,2 ,1 ,1 ,-1źą- Å"e2
śą1,2,1 ,1 ,-1źąÅ"śą1,2 ,1 ,1,-1źą e2Å"e2
zadanie 3
Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wektorach: Śą , w , n jeżeli:
v Śą Śą
Śą - wektor kierunkowy prostej l zawierającej punkty: P (1,-2,3) P (2,2,1)
v
1 1 2
w - wektor kierunkowy prostej l zawierajÄ…cej punkt: P (-1,-1,2) i przecinajÄ…cej prostÄ… l
Śą
2 3 1
Śą
n - wektor normalny płaszczyzny równoległej do prostych l i l
1 2
Śą=Śą=[ x1-x2 , y1-y2 , z1-z2]=[1-2,-2-2,3ƒÄ…1]=[-1,-4,4]
v P1 P2
w=Śą3=[ x1-x2 , y1-y2 , z1-z2]=[-1-1,-1ƒÄ…2,2-3]=[-2,1 ,-1]
Śą P1 P
[a ,b , c]Å"[-2,1 ,-1]=0
[a ,b , c]Å"[-1,-4,4 ]=0
-2aƒÄ…b-c=0 b=2aƒÄ…c
Ò! Ò!-9a =0 Ò! a=0 b=c
{ }
-a-4bƒÄ…4c=0 -a-8a-4cƒÄ…4c=0
[0, c , c]=c[0,1 ,1] v n=[0,-1,-1] b,c jest dowolne! Tylko z wzoru na objętość musi wyjść wyznacznik >
Śą
0 !!!!
Wzór na objętość równoległoboku:
-1 -4 4 -1 -4 3
9 -9
V = -2 1 -1 0 9 -9
wII-2w= =śą-1źą1ƒÄ…1śą-1źą =śą-1źą[9Å"śą-1źą-śą-1źąÅ"śą-9źą]=18
równoległoboku
#" #"
-1 -1
#" #" #" #"
0 -1 -1 0 -1 -1
1 18
V = V = =3śą jźą2
czworościanu równoległoboku
6 6