Algebra liniowa 1
Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, termin egzami-
nu (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kieru-
nek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporzą-
dzić poni\
szą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
F8
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie ka\
dego zadania mo\
na
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciąga-
ne wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
( 1 - i )27
1. Obliczyć moduł i argument główny liczby zespolonej z = .
( 3 + i )15
2. Znalez
ć pierwiastki wielomianu W ( z ) = iz2 - 2z + 3 .
îÅ‚ -1 3
Å‚Å‚ îÅ‚ -3
Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3. Wyznaczyć liczby Ä…, ² oraz macierz B z warunku Å" B = .
3 1 2 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 -1 Ä… ²
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚-1
3 4 3
ïÅ‚ śł
4. Stosując wzór na macierz odwrotną obliczyć .
1 0 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
5. Stosując wzory Cramera wyznaczyć wartość b wiedząc, \
e liczba u = 2 spełnia
Odpowiedzi do zestawu F8
układ równań
Å„Å‚
x + y + 3z + 4u = b
2
3Ä„
1. z = , arg z = ;
ôÅ‚
4 4
ôÅ‚ x + y + 9z + 10u = b
1
.
òÅ‚
2. -i Ä… ( 2 + 6 );
2x + 3y + 6z + 6u = b 2
ôÅ‚
ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0
x + 6z + 8u = b
ół
3. B =
ïÅ‚ śł, Ä… = 2, ² = -3;
-1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
2 3
6. Znalez
ć rzut prostokątny punktu P = ( 4, 5, -3 ) na płaszczyznę
îÅ‚
-4 Å‚Å‚
5 5 5
ïÅ‚ śł
1
Å„Å‚
x = 2 + 2t + s
4. -3 3 śł;
ïÅ‚
ôÅ‚
10 5 10
Ä„ : , s, t " R.
y = 1 + 3s
òÅ‚
ïÅ‚
-1 1 2 śł
ôÅ‚
ðÅ‚ 5 5 5 ûÅ‚
z = 3 + t + s
ół
5. b = 4;
!!! Egzamin trwa 90 minut.
6. punkt ( 1, 4, 3 ).
Proszę wybrać pięć zadań spośród sześciu.
Algebra liniowa 1
Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, termin egzami-
nu (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kieru-
nek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporzą-
dzić poni\
szą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
Y8
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie ka\
dego zadania mo\
na
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciąga-
ne wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Obliczyć z definicji
21 - 20i .
2. Pierwiastkami wielomianu V stopnia 6 o współczynnikach rzeczywistych są
liczby z1 = 4, z2 = - 5 , z3 = -2 - i, z4 = 1 + 3i, ponadto V ( 0 ) = 40.
Przedstawić ten wielomian jako iloczyn wielomianów rzeczywistych.
3. Rozwiązać równanie macierzowe
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 4
Å" X + X Å" = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 0 1 2 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4. Obliczyć wyznacznik macierzy B stopnia 5, która na głównej przekątnej ma same
czwórki, a poza tym same jedynki. Wykonując operacje elementarne na wyznaczni-
ku sprowadzić go do postaci trójkątnej.
5. Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
Odpowiedzi do zestawu Y8
Å„Å‚
2x + 3y + z = 6
ôÅ‚
.
4x + 3z = 7
òÅ‚
1. { 5 - 2i, -5 + 2i };
ôÅ‚
x + 2y + z = 4 5
ół
2. - ( x - 4 ) ( x + 5 ) ( x2 + 4x + 5 ) ( x2 - 2x + 10 );
25
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1
6. Punkty A = ( 2, 0, 0 ), B = ( 0, 3, 0 ), C = ( 1, 2, 4 ), D = ( 0, 0, 0 ) sÄ…
3. X =
ïÅ‚ śł;
wierzchołkami czworościanu. Wskazać jego ścianę o najmniejszym polu. 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚
4. 648;
5. x = y = z = 1;
!!! Egzamin trwa 90 minut.
6. najmniejsze pole ma ściana ABD.
Proszę wybrać pięć zadań spośród sześciu.