Algebra liniowa 1
Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
C
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej wszystkie liczby z spełniające związek
z2 + 6 d" 5z .
2. Jednym z pierwiastków wielomianu V ( z ) = z4 + 2z3 + 7z2 + 6z + 12 jest liczba
zespolona z1 = -1 - i 3 . Podać pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
îÅ‚ Å‚Å‚-1
1 1 0 2
ïÅ‚ śł
1 2 0 4
ïÅ‚ śł
3. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz i sprawdzić popraw-
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 -1 0 śł
ïÅ‚ śł
1 2 0 3
ðÅ‚ ûÅ‚
ność wyniku. Odpowiedzi do zestawu C
4. Rozwiązać podany układ równań wykorzystując wzory Cramera:
1. Pierścień o środku z0 = 0, promieniu wewnętrznym r = 2
i zewnętrznym R = 3;
Å„Å‚
2x + y + z = 6
ôÅ‚
2. -1 + i 3 , i 3 , -i 3 ;
.
òÅ‚ -x + 2z = 4
ôÅ‚ îÅ‚ -1 0 0
Å‚Å‚
2
3x + 2y + z = 7
ół
ïÅ‚ śł
-1 -1 0 2
ïÅ‚ śł;
3.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 -1 0 śł
5. Dane sÄ… punkty B = ( 1, 0, 1 ), D = ( 0, 2, 0 ),
ïÅ‚ śł
E = ( 2, 0, 1 ), G = ( 1, 0, 2 ) równoległościanu 0 1 0 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
ABCDEFGH (rysunek). W jakim punkcie i pod
4. x = 2, y = -1, z = 3;
1
jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ przekÄ…tne jego AG i CE?
5. kÄ…t arccos 1 , punkt ( 1, , 1 );
5 2
3
6. .
6. W jakiej odległości od płaszczyzny przechodzącej przez punkty P = ( 1, 3, 0 ) ,
11
Q = ( 2, 1, 1 ), R = ( 1, 2, -1 ) znajduje siÄ™ punkt A = ( 0, 2, -1 ) ?
Algebra liniowa 1
Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się zaliczenie, termin
zaliczenia (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział,
kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz
sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
E
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyz
nie zespolonej naszkicować zbiór
z + 2i
{ z " C : e" 1 }.
3 - z
2. Znalez
ć pierwiastki wielomianu zespolonego z2 + 3z + 3 + i.
3. Wyznaczyć macierz D z równania
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 2 4 0 12
Å" D Å" = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 2 2 1 -6 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
Å„Å‚
x + y + 2t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ y + 2z + 5t = 0
.
òÅ‚
2x + z + 4t = 7
ôÅ‚
ôÅ‚
Odpowiedzi do zestawu E
-x + 2y + 3z + 8t = 0
ół
1. Górna półpłaszczyzna wraz z brzegiem ograniczona symetralną odcinka
5. Uzasadnić, że rzuty prostokątne punktów P = ( 0, 2, 1 ), Q = ( 2, 3, 1 ) na
o końcach z1 = -2i, z2 = 3, bez punktu z2 ;
płaszczyznę Ą : x + y + z = 0 tworzą wraz z początkiem układu współrzędnych
2. z1 = -2 + i, z2 = -1 - i;
trójkąt równoboczny.
îÅ‚ -7 4
Å‚Å‚
3.
ïÅ‚ śł ;
6. Wyznaczyć punkt oraz kąt, pod jakim przecinają się proste
4 -4
ðÅ‚ ûÅ‚
Å„Å‚ Å„Å‚ 4. x = -1, y = -6, z = -7, t = 4;
x = 2 + t x = 3 + 4s
ôÅ‚ ôÅ‚
k1 : oraz k2 : , gdzie s, t " R . 6. punkt ( 3, 4, 2 ), kÄ…t Ä„.
y = 2 + 2t y = 4 + s
òÅ‚ òÅ‚
6
ôÅ‚ ôÅ‚
z = -1 + 3t z = 2 + 5s
ół ół
Algebra liniowa 1
Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
G
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
6 - 4i
1. Obliczyć ( )47 .
5 + i
2. Obliczyć i zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej wszystkie pierwiastki wielomianu
V ( z ) = z4 - 4iz3 + 8iz + 32 wiedząc, że liczba 4i jest jednym z nich.
3. Obliczyć B2 i na tej podstawie wyznaczyć macierz B-1 dla
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 0 0
ïÅ‚ śł
3 -1 0 0
ïÅ‚ śł
B = .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 3 1 śł
ïÅ‚ śł
0 0 1 -3
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
Å„Å‚
x + 2y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ y + t = 0
.
òÅ‚
x + 5y + 3z + t = -1
ôÅ‚
ôÅ‚ Odpowiedzi do zestawu G
-x - 2y - 5z + 5t = 2
ół
1. 223 ( 1 + i );
5. Napisać równanie parametryczne prostej k prostopadłej do trójkąta o wierzchołkach
2. 2i, 4i, 3 - i, - 3 - i;
1
P = ( 2, 0, 4 ), Q = ( -4, -2, 3 ), R = ( -1, 2, 2 )
3. B2 = 10 I, B-1 = 10 B;
i przechodzącej przez punkt przecinania się jego środkowych.
4. x = y = 1, z = -2, t = -1;
5. x = -1 + 2t, y = -3t, z = 3 + 6t, t " R;
5
6. Wyznaczyć punkt oraz kąt przecięcia płaszczyzny Ą : x - 3y + z = -1 prostą
6. punkt ( 5, 1, -3 ), kÄ…t arcsin .
33
k : x + y = 6, x - z = 8 .
Algebra liniowa 1
Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
H
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyz
nie zespolonej naszkicować zbiór
3
z " C : Ä„ d" arg ( z - 3i ) d" Ä„, z2 e" 6 Im z .
2
2. Ile różnych pierwiastków zespolonych ma wielomian V ( z ) = z12 - 3z4 - 2 .
Przedstawić je na płaszczyz
nie zespolonej.
3. Wyznaczyć wszystkie macierze B z warunku
îÅ‚ Å‚Å‚
9 1
BT Å" B = + B2 .
ïÅ‚ śł
-3 0
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
Å„Å‚
4x + 3y + 2z = 3
ôÅ‚
.
x + 2z = 4
òÅ‚
ôÅ‚
Odpowiedzi do zestawu H
-x + y + 3z = 1
ół
1. przesunięta w górę o wektor 3i część zewnętrza koła o środku z0 = 0
5. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach P, Q, R znajdującego się
i promieniu r = 3 znajdująca się w III ćwiartce układu współrzędnych;
a) na płaszczyz
nie, przy czym P = ( -1, 2 ), Q = ( 5, 6 ), R = ( 2, -3 ) ; 4 4
2. jest 8 różnych pierwiastków tworzących zbiór - 1 *" 2 ;
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ -1 0
Å‚Å‚
b) w przestrzeni, jeżeli P = ( 2, 1, -1 ), Q = ( 4, 3, 1 ), R = ( 0, 5, -1 ) . 1 0
3.
ïÅ‚ śł, ïÅ‚ śł;
1
3 -3 -1
ðÅ‚ 3 ûÅ‚ ðÅ‚ 3 ûÅ‚
6. Napisać równania dwóch nieprzecinających się płaszczyzn, z których jedna
4. x =4 , y = - 5 , z = 4 ;
zawiera prostÄ… k1 : x = 1 - s, y = 3, z = 2 + 2s, s " R, zaÅ› druga prostÄ…
3 3 3
k2 : x - 2 = 3y = -z - 1.
5. a) 21, b) 2 14 ;
6. Ä„1 : 2x - 3y + z + 5 = 0, Ä„2 : 2x - 3y + z - 3 = 0.