Egzamin z algebry (część I) Wrocław, 16.02.2009
........................................ ........ .........................
ImiÄ™ nazwisko nr Zaliczenie / grupa
1) Wiedząc, że x1 = -1+i jest pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x4 +2x3+5x2 +6x+6
wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x).
2) Rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych równania:
a) x3 = -5Å" 5
b) x2 - (2 + i) Å" x -1+ 7i = 0
3) W puste kratki wpisz wynik (brudnopis na tej kartce i jej odwrocie)
1- 2i
=
Re(2i-3) =
2 - 3i
arg(1- i 3)=
i 2009 =
1
=
Im(2i-3) =
3 - 4i
Odległość liczby
z1=1-3i od z2=3+2i (i-1) (5-2i)=
na płaszczyz
nie
zespolonej
sprzężenie
378
ëÅ‚1- i 3 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
=
ìÅ‚ ÷Å‚ (2 - i) - (3i +1) =
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Napisz wzór Podaj definicję
Moive a modułu liczby
zespolonej
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Egzamin z algebry (część II) Wrocław, 16.02.2009
........
nr
1 z z2
1 3
2
a) Oblicz wyznacznik z 1 z , gdzie z = - + i
2 2
2
z z 1
5) Dla układu równań
a) wyznacz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej w
x + py + z =1
Å„Å‚
zależności od parametru p
ôÅ‚
2x + y + z = p
òÅ‚
b) rozwiąż układ równań metodą Cramera dla p=2
2
ôÅ‚x + y + pz = p
c) dla jakiej wartości p R układ jest sprzeczny?
ół
d) kiedy układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele
rozwiązań)?
6) W puste kratki wpisz wynik (brudnopis na tej kartce i jej odwrocie)
5 2 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ -1
Å‚Å‚
Niech A = , B =
ïÅ‚3 1śł ïÅ‚1 3 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Sformułuj twierdz.
Laplace a o
wyznaczniku
A B =
macierzy stopnia n
A-1= B-1=
Napisz wielomian
charakterystyczny
2A-3B=
dla macierzy A, tzn.
W()=det(A-  I)
Dopełnienie
algebraiczne
det(3A)
A12
RzÄ…d macierzy
det(A5) r(B)
TranspozycjÄ™ macierzy
BT A =
BT=
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Egzamin z algebry (część III) Wrocław, 16.02.2009
........
Nr
7) Dane są płaszczyzny
: 2x+y-z-1=0
1
: x-2y+3=0
2
: x+3y+az-5=0
3
a) wyznacz punkt wspólny płaszczyzn , i dla a=1
1 2 3
b) dla jakiego a R punkt przecięcia pł. , i leży na płaszczyz
nie Oxz?
1 2 3
c) dla jakiego a R płaszczyzny , i nie mają punktu wspólnego?
1 2 3
8) Dane są punkty A(2,0,-3), B(1,3,-1), C(-2,1,2), D(0,1,-1). Obliczyć:
a) objętość czworościanu o wierzchołkach A, B, C i D
b) pole trójkąta ABC
c) odległość punktu C od prostej przechodzącej przez punkty A i B,
d) wysokość czworościanu poprowadzoną z punktu D
9) W puste kratki wpisz wynik (brudnopis na tej kartce i jej odwrocie)
Dane sÄ… punkty A(1,-2,1) , B(2,1,0) i C(0,-1,2). Oblicz
AB AC
AB × AC
Pole trójkąta ABC
Odległość punktów
A i B
Wysokość trójkąta
ABC względem
podstawy AB
kÄ…t BAC
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com