Algebra liniowa z geometri¸ analityczn¸
a a
Egzamin
"
3
1. a) Zapisać w postaci trygonometrycznej elementy zbioru 1 - i.
b) Podać definicj¸ grupy. Zbadać, czy zbiór A = {z " C : | z | = 1}, ze zwyk mnożeniem
e lym
liczb zespolonych jako dzia jest grup¸
laniem, a.
2. a) Obliczyć wyznacznik


1 4 0 1


-3 -1 2 3

.

-1 2 0 1


1 0 1 1
b) Podać definicj¸ macierzy odwrotnej. Znalez
ć macierz odwrotn¸ do macierzy
e a
îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 3 2 1 .
1 1 1
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a " R, dla których istnieje macierz odwrotna do
macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 a
ðÅ‚ ûÅ‚
B = a2 0 1 .
2 1 0
3. a) Podać treść twierdzenia Kroneckera-Capellego.
b) Rozwiazać uk równań:
¸ lad
2x1 + 5x2 + 3x3 = 2
x1 + 3x2 + 2x3 = 1
3x1 + 5x2 + 2x3 = 3
x1 + 5x2 + 4x3 = 1
c) OkreÅ›lić w zależnoÅ›ci od parametru a " R liczb¸ rozwiazaÅ„ uk równaÅ„:
e ¸ ladu
2ax + 3y + z = 3a
3x + 5y + 2az = 5
4x + 5y + az = 5
e
4. a) Podać definicj¸ podprzestrzeni przestrzeni liniowej. Sprawdzić, że zbiór
W = {(x, y, z, t) " R4 : y - z + 2t = 0}
jest podprzestrzenia liniow¸ przestrzeni R4. Znalez
ć baz¸ i wymiar podprzestrzeni W .
¸ a e
b) Znalez
ć wektory v1, v2, v3 " R3, jeżeli wiadomo, że zbiór {v1, v2, v3} jest baz¸ przestrzeni R3
a
i macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 2 1
1 0 -1
jest macierz¸ przejÅ›cia z bazy {(3, 1, 2), (0, 2, 0), (2, 2, 1)} przestrzeni R3 do bazy
a
{v1, v2, v3}.
c) Przekszta liniowe Õ : R3 R[x]2 jest dane wzorem
lcenie
Õ(a, b, c) = a + (2b - c)x + (a + c)x2,
a przekszta liniowe È : R[x]2 R2 ma w bazach {1, x, x2} przestrzeni R[x]2
lcenie
i {(2, 1), (3, 1)} przestrzeni R2 macierz

0 1 0
.
1 0 2
Znalez
ć macierz przekszta È ć% Õ w bazach {(2, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)} przestrzeni R3
lcenia
i {(1, 0), (0, 1)} przestrzeni R2.