Iloczyn skalarny:
Funkcja jest iloczyne skalarnym w danej przestrzeni jeżeli spełnione sa następujące warunki:
1) e"0 , =0"! x=0
2) = V x,y T v
3) =a+b
Norma wektora i jej własności:
Norma wektora vTV dana jest wzsorem ||v||=
Własnośc normy: ||v||=0"!v=0 , ||v||e"0, ||ą*v||=||ą||*||v||
Tożsamośc równoległoboku:
Dowód
Nierównośc Schwarza :
||d"||u||*||v||
Dowod:
Własnośc trójkata:
||u+v||d"||u||+||v||
Dowód:
Wektory ortogonalne:
Mówimy że wektory , przestrzeni euklidesowej są ortogonalne jeżeli spełniają warunki:
<
Twierdzenie pitagorasa dla przestrzeni euklidesowej:
Wektory
Dowód:
Dla dowolnych wektorów
Układy ortogonalne:
Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej nazywamy ortogonalnym wtedy i tylko wtedy gdy
każde dwa wektory z tego zboru sa ortogonalne. Każdy ortogonalny układ niezerowych
wektorów przestrzeni euklidesowej jest liniowo niezależny.
Układ ortogonalny:
Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej nazywamy układem ortogonalnym gdy jest to układ
ortogonalny złożony z unormowanych wektorów.
Algorytm ortogonalizacji Grama Schmita:
Mamy u1,u2& ,un
v1=u1
v2=u2-
v3=u3-
22. WSPÓA
RZ
DNE WEKTORA W BAZIE:
Mamy zbiory wektorów v , v , & , v oraz wektor u.
1 2 n
·ð ORTONORMALNEJ:
Ä…1 1
=
Ä…2 2
=
.
Ä…n n
=
·ð ORTOGONALNEJ:
Ä…1
=
Ä…2
=
.
Ä…n
=
23. MACIERZ ORTOGONALNA I JEJ WA
ASNOÅšCI:
Macierz A jest ortogonalna óð A*AT=I i AT*A=I óð A-1=AT
Własności:
·ð A-1=AT
·ð Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzÄ… ortogonalnÄ…
25. RZUT ORTOGONALNY NA PODPRZESTRZEC
 TW. O JEDNOZNACZNOÅšCI
Niech E będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E oraz niech
0
{ bÄ™dzie bazÄ… ortonormalnÄ… podprzestrzeni E Wtedy dla dowolnego wektora µE .
0.
Istnieje jednoznacznie wyznaczony rzut tego wektora na podprzestrzeń E . Rzut ten jest
0
określony wzorem:
Uwaga: Dla bazy ortogonalnej { podprzestrzeni E powyższy wzór przyjmuje postać:
0
27. WZÓR MACIERZY NA RZUT ORTOGONALNY:
*
·ð MACIERZ RZUTU: *
28. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW I  NAJLEPSZE ROZWI
ZANIE
SPRZECZNEGO UKA
ADU RÓWNAC
:
30. MACIERZ SYMETRYCZNA I JEJ WARTOÅšCI WA
ASNE:
Macierz symetryczna  wtedy, gdy na przekątnej znajdują się dowolne liczby, a pozostałe są
względem tej przekątnej symetryczne: A=
Własności:
·ð Dla macierzy symetrycznych S, T i liczb(skalarów) a, b macierz aS+bT jest
symetryczna
·ð Dla dowolnej macierzy A macierze A+ oraz A sÄ… symetryczne
31. ORTOGONALNA DIAGONALIZACJA MACIERZY SYMETRYCZNEJ:
Macierz rzeczywista jest ortogonalnie diagonalizowalna óð jest symetryczna.
Macierz A jest ortogonalnie diagonalizowalna, gdy istnieje macierz ortogonalna P oraz macierz
diagonalna D, taka że:
35. TW. SYLVESTERA:
Macierz symetryczna zadaje formÄ™ kwadratowÄ…:
a) Dodatnio okreÅ›lona óð
b) Ujemnie okreÅ›lonÄ… óð
c) Dodatnio póło kreÅ›lonÄ… óð detA=0
d) Ujemnie póło kreÅ›lonÄ… óð detA=0
e) W pozostałych przypadkach nieokreślon
Tw. Cayleya Hamiltona:
Kazda macierz kwadratowa spelnia swoje rownanie charakterystyczne:
Dowod:
Niech
Oznaczamy B=A- i macierz dopełnienia B0
Wtedy detB=
Zatem:
B*
Z drugiej strony wyrazy amcierzey B0 sa wielomianami stopnia n-1 od zmiennej
Zatem możemy zapisać:
Stad:
B*(B0)
(A
Możemy porównać współrzędne ostatniego wielomianu z wielomianem wyzej i dostajemy:
AB0=a0I AB1-B0=a1I AB2-B1=a2I& .. A - =
Obliczamy:
Odwzorowanie liniowe: def. Ć: V W jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy: (a)
, V Ć( + )=Ć( +Ć( ) (b) V ą k Ć(ą ) =ąĆ( Twierdzenie o jednoznaczności
odwzorowania liniowego. Niech będzie bazą (uporządkoway układ wektorów) w
przestrzeni V, , wówczas istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe Ć:V W takie, że
Ć( )= i=1,2,...,n. Dowód. Wez
my dowolny wektor v V. Wtedy v zapisuje siÄ™ jednoznacznie w
postaci v= * +...+ * . Zadaje odwzorowanie: Ć(v)= Ć( )+ Ć( . Sprawdzam, że Ć jest
liniowe oraz Ć( )= . Wez
my v= * +...+ * , u= * +...+ * , wtedy:
v+u=( + ) +...+( + ) , Ć(v+u)=( + ) +...+( + ) ,
v)+ (u)= * +... * + +...+ = ( + ) +...+( + ) . Tw. o postaci jÄ…dra i obrazu
odwzorowania liniowego: Niech L:U V będzie przekształceniem liniowym. Wtedy: (1) zbiór KerL(jądro)
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni U. (2) Zbiór ImL(obraz) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni
V. Dowód: (1) oczywiście KerL V oraz KerL . Niech , KerL i , R. Wówczas L( )=L( = .
Zatem L( + )= L( )+ L( )= * + * = . To oznacza, że + KerL. (2) ImL V oraz
ImL . Niech , ImL i , R. Wtedy istnieją wektory , U takie, że L( )= i L( )= .
Korzystając z liniowości przekształcenia L otrzymamy: L( + )= L( )+ L( )= + .
Wektor + jest obrazem wektora + U w przekształceniu L, czyli: + ImL.
Twierdzenie o wymiarach jądra i obrazu. (dim-wymiar) Niech V,W będą skooczenie wymiarowymi
przestrzeniami liniowymi oraz niech :V W, będzie przekształceniem liniowym. Wtedy:
dim(Ker )+dim(Im )=dimV. Odwzorowanie liniowe nie podwyższa wymiarów tzn. dim (Im ) dimV.
Dowód: Oznaczmy: dimV=n, dim(Ker )=k (1) Niech 0Uzupełniamy ,..., , , ,...,  baza V. ,..., / Ker . Wystarczy pokazad, że wektory
( ), ( stanowią bazę Im . Sprawdzam liniową niezależnośd: niech
( )+...+ ( )=Åš stÄ…d: ( +...+ )= Åš tzn: +...+ Ker . StÄ…d:
K +...+ = +...+ , +...+ -...- = Åš ,...,
są bazą=> = =...= =...= =0. Sprawdzam, że ( ),..., (m) generują Im . Wez
my w Im tzn:
w= (v),gdzie v V, v= +...+
w= ( +...+ )= ( )+ ( )+...+ ( )+ ( )+...+ ( ) (2) k=0Ker ={Åš}
Zaczynam dowód: ..., -baza V,dalej tak samo jak w (1). (3) k=n tzn. Ker =V=> v V (v)=Ś,
dim(Im )=0, dim Ker + 0 = dim V. Twierdzenie o zmianie macierzy przekształcenia przy zmianie baz.
Niech L:U V będzie przekształceniem liniowym oraz neich A będzie macierzą tego przekształcenia w
bazie Bu={ ,..., } przestrzeni U oraz w bazie Bv={ ,..., } przestrzeni V. Wtedy macierz A
przekształcenia liniowego L w bazie B u={  ,...,  } przestrzeni U oraz w bazie B v={  ,...,  }
przestrzeni V ma postad: A = AP, gdzie P oznacza macierz przejścia z bazy Bu do bazy B u, a Q macierz
przejścia z bazy Bv do bazy B v. Uwaga: Jeżeli L jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie, to
zależnośd między macierzą A tego przekształcenia w bazie Bu={ ,..., } i macierzą A przekształcenia w
bazie B u={  ,...,  } ma postad: A = AP, gdzie P oznacza macierz przejścia z bazy Bu do bazy B u.
Działania na przekształceniach. (1) Niech i :U->V będą przekształceniami liniowymi. Sumą
przekształceo i nazywamy przekształcenie ( + ):U->V określone wzorem
( + )( )= ( )+ ( ) dla U (2) Niech L:U->V będzie przekształceniem liniowym oraz niech ą R.
Iloczynem liczby ą i przekształcenia L nazywamy przekształcenie (ąL):U->V określone wzorem:
(ąL)( )=ą(L( )) dla U. (3) Niech L:U->V oraz K:V->W będą przekształceniami liniowymi. Złożeniem
przekształceo L i K nazywamy przekształcenie (K L):U->W określone wzorem: (K L)( )=K(L( )) dla U
(4) Niech przekształcenie liniowe L:U->V będzie różnowartościowe oraz niech ImL=V. Przekształceniem
odwrotnym do przekształcenia L nazywamy przekształcenie ( ):V->U określone wzorem:
( )( )= óð =L( ) dla U oraz V
8. Warunki odwracalności odwzorowania liniowego Niech
L:U->V będzie przekształceniem liniowym przestrzeni skooczenie wymiarowych tego samego wymiaru.
Ponad to A niech będzie macierzą przekształcenia L w ustalonych bazach przestrzeni U i V. Wówczas
następujące warunki są równoważne:
1. przekształcenie L jest odwracalne (bijekcją);
2. przekształcenie L jest różnowartościowe (monomorfizm);
3. Ker L={0};
4. Im L=V;
5. rzA=dimV
6. detA`"0
Równoważnośd tych warunków wynika z ciągu implikacji: 1=>2=>3=>4=>5=>6=>1
Dowód:
1=>2Równoważnośd przekształcenia L wynika z def. Odwracalności przekształcenia.
2=>3Załóżmy, że przekształcenie L jest różnowartościowe. Wówczas dla dowolnych dwóch wektorów u ,
1
u õU z warunku u `"u wynika, że L(u ) `"L(u ). Jeżeli zatem u`"0, to L(u) `"0. Wektor 0 jest zatem jedynym
2 1 2 1 2
wektorem, którego obraz jest wektorem zerowym w przestrzeni V. Stąd Ker L={0}.
3=>4 Załóżmy, że Ker L={0}. Ze wzoru dim Ker L + dim Im L=dim U wynika, ze dim Im L= dim U. Ale dim
U=dimV, więc dim Im L =dim V. Zbiór Im L jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V, przy czym wymiary
obu przestrzeni są równe. Stąd wynika, że Im L=V. 4=>5
Załóżmy, że Im L=V. Z (*) wynika, że rzA=dim Im L, zatem rzeczywiście rz A= dim V. 5=>6
Załóżmy, że rzA=dimV=n. Macierz A jest macierzą kwadratową stopnia n, więc det A`"0.
6=>1 Załóżmy, że det A`"0. Stąd wynika, że rzA=dimV. Ale rzA=dim Im L, więc Im L= V. Załóżmy teraz, że
L(u )=L(u ). Wówczas L(u )= L(u )- L(u )=0. Stąd wynika, że AX=0, gdzie X jest kolumnowym wektorem
1 2 1-u
2 1 2
współrzędnych wektora u =0, czyli u =u . Przekształcenie L jest zatem różnowartościowe, jego
1-u
2 1 2
obrazem jest cała przestrzeo V. To oznacza, ze L jest odwracalne.
9. Związek działao na odwzorowaniach z działaniami na macierzach
1. Niech przekształcenie liniowe L ,L :U->V mają w ustalonych bazach przestrzeni U i V odpowiednio
1 2
macierze przekształceo A i A . Wtedy macierz A sumy L +L tych przekształceo ma w tych samych
L1 L2 L1+L2 1 2
bazach przestrzeni U i V postad: A = A + A
L1+L2 L1 L2
2. Niech przekształcenie liniowe L:U->V ma w ustalonych bazach przestrzeni U i V macierz
przeksztaÅ‚cenia A oraz niech Ä…õR. Wtedy macierz AÄ…L iloczynu liczby Ä… i przeksztaÅ‚cenia L ma w tych
L
samych bazach przestrzeniu U i V postad: AÄ…L L
=Ä…A
3. Niech przekształcenia liniowe L: U->V oraz K: V->W mają w ustalonych bazach przestrzeni U, V i W
odpowiednio macierze A i A . Wtedy macierz A zÅ‚ożenia KË%L tych przeksztaÅ‚ceo ma w tych samych
L K KË%L
bazach przestrzeni U,V i W postad: A =A *AL.
KË%L K
-1
4. Niech przekształcenie liniowe L: U->V ma przekształcenie odwrotne L-1:V->U. Ponadto niech A i A
L L
-
oznaczają odpowiednio macierze przekształceo L i L-1 w ustalonych bazach przestrzeni U i V. Wtedy: A
L
1
=(A )-1
L
10. Wartości i wektory własne odwzorowania liniowego i macierzy
Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego L: V->V w bazie B={v ,v & ,v } przestrzeni liniowej V (
1 2 n
rzeczywistej i zespolonej). Wówczas:
1.  jest wartoÅ›ciÄ… wÅ‚Ä…snÄ… przeksztaÅ‚cenia L óð, gdy: det(A- I)=0
2. wektor v jest wektorem wÅ‚asnym przeksztaÅ‚cenia L odpowiadajÄ…cym wartoÅ›ci wÅ‚asnej  óð, gdy jego
współrzędne {x ,x ,& .,x } w bazie B są niezerowym rozwiązaniem układu równao:(A  I)
1 2 n
11. Twierdzenie o liniowej niezależności wektorów własnych
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym przekształcenia liniowego są liniowo
niezależne.
DOWÓD:
Załóżmy nie wprost, że wektory v ,v & .,v są liniowo zależne. Niech 1d"Ld"k oznacza największą liczbę, dla
1 2 n
której wektory v ,v & .,v są liniowo niezależne. Z założenia 1d"Ld"k z określenia liczby l wynika, że wektory
1 2 n
v ,v ,& v ,v są liniowo zależne. Oznacza to istnienie liczb ą1 ,& ,ąL , nie wszystkich równych zeru i
1 2 L L+1 ,Ä…2 ,Ä…L+1
takich, że: ą1 1 2 L L+1
v +Ä…2 v + Ä…L+1
v +& .+ Ä…L v =0
Po nałożeniu na obie strony tej równości przekształcenia L i i wykorzystaniu def. Wektora własnego
otrzymujemy zależnośd:
L(Ä…1 1 2 L L+1 1 2 L L+1 1 1 2 2 L L
v +Ä…2 v + Ä…L+1 L(v )+Ä…2 L(v )+ Ä…L+1  v +Ä…2  v +
v +& .+ Ä…L v )= Ä…1 L(v )+& .+ Ä…L L(v )= Ä…1  v +& .+ Ä…L
Ä…L+1 L+1 L+1
 v =L(0)=0
Z drugiej strony:
 (Ä…1 1 2 L L+1 L+1
v +& .+ Ä…L v )=  *0=0
L+1 v +Ä…2 v + Ä…L+1
Zatem:
Ä…1 1- )v + Ä…2 2- )v +& + Ä…L L- )v =(Ä…1 1 1 2 2 L L L+1 1 L+1 2 L+1 L
( ( (  v + Ä…2  v )- (Ä…1  v +& + Ä…L
L+1 1 L+1 2 L+1 L  v +& + Ä…L  v + Ä…2  v )= -
Ä…L+1 L+1 L+1 L+1 L+1
 v + Ä…L+1
 v =0
Z liniowej niezależności wektorów v ,v & .,v wynika, że:
1 2 L
Ä…1 1- )=0, Ä…2 1- )=0, & ., Ä…L L- )=0
( ( (
L+1 L+1 L+1
Ale wartości własne  , ,& , są parami różne, więc ą1 =0, & ., ąL
1 2 k =0, Ä…2 =0
Równośd definiująca liczby ą1 ,& ,ąL
,ą2 ,ąL+1 wygląda następująco:
0*v +0*v +& +0*v +Ä…L+1 L+1 L+1
v =0
1 2 L v = Ä…L+1
Ale v `"0, więc ąL+1 1 2 L L+1
L+1 =0. Otrzymaliśmy sprzecznośd z liniową zależnością wektorów v ,v ,& v ,v . Stąd
wniosek, że wektory v ,v ,& v są liniowo niezależne.
1 2 k
12. Krotnośd algebraiczna wartości własnej
Krotnością algebraiczną wartości własnej  nazywamy jej wielokrotnośd, jako pierwiastka wielomianu
charakterystycznego (oznaczenie K ()).
a
Krotnośd geometryczna wartości własnej
Krotnością geometryczną wartości własnej  nazywamy dimV (oznaczenie K ())
 g
13. Twierdzenie o warunkach diagonalizowalności macierzy
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia n. Wówczas następujące warunki są
równoważne:
1. macierz A jest diagonalizowalna
2. wektory własne macierzy A tworzą bazę przestrzeni Rn(Cn)
3. A=PBP-1, gdzie B jest macierzą diagonalną, której główną przekątną tworzą kolejne wartości własne
macierzy A, zaś odpowiadające im wektory własne tworzą kolejne kolumny macierzy P.
14. Wielomian charakterystyczny macierzy
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną). Wielomianem charakterystycznym macierzy A
nazywamy wielomian rzeczywisty ( zespolony) określony wzorem: W ()=det(A-I)
A