Wykład 11
Grupy
Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i
działania binarnego ć%, które spełnia własności:
(i) Działanie ć% jest łączne, czyli
"a, b, c " G a ć% (b ć% c) = (a ć% b) ć% c.
(ii) Działanie ć% posiada element neutralny, to znaczy
"e " G "a " G a ć% e = e ć% a = a.
(iii) Każdy element jest odwracalny względem ć%, to znaczy
"a " G"a " G a ć% a = a ć% a = e,
gdzie e jest elementem neutralnym tego działania.
Jeśli dodatkowo
(iv) Działanie ć% jest przemienne, to znaczy
"a, b " G a ć% b = b ć% a,
to grupÄ™ nazywamy grupÄ… abelowÄ… (albo przemiennÄ…).
Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania
(G, ć%).
Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do a oznaczać bę-
dziemy przez a-1.
Niepusty podzbiór H grupy G nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli:
(i) "h1, h2 " H h1 ć% h2 " H.
(ii) e " H.
(iii) "h " H h-1 " H.
A
atwo zauważyć, że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura (H, ć%) jest
grupÄ….
Przykłady grup
1. (Z, +), (R, +) sÄ… grupami abelowymi.
"
2. JeÅ›li (P, +, ·) jest pierÅ›cieniem to (P, +) jest grupÄ… abelowÄ… oraz (P , ·)
"
jest grupą (gdzie P oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia P ).
W szczególnoÅ›ci zbiór macierzy n × n nad danym ciaÅ‚em K, o wyznaczniku
niezerowym jest grupÄ… ( dla n > 1 nieabelowÄ…). GrupÄ™ tÄ… oznaczamy przez
Gln(K) i mamy:
Gln(K) = {A " Mn(K) : det A = 0}

1
Grupa ta jest nazywana grupÄ… liniowÄ… macierzy n × n.
3. Zbiór Sln(K) = {A " Mn : det A = 1} jest podgrupą grupy Gln(K)
(nazywanÄ… specjalnÄ… grupÄ… liniowÄ…).
4. Oznaczmy przez Sn zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} (czyli
wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie). Zbiór
ten wraz z działaniem składania przekształceń ć% tworzy grupę (dla n > 2
nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której
zbiór G ma skończoną ilość elementów) bo Sn ma dokłanie n! elementów.
Na przykład
S3 = {Ã0, Ã1, Ã2, Ã3, Ã4, Ã5}
gdzie:

1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ã0 = , Ã1 = , Ã2 = ,
1 2 3 1 3 2 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ã3 = , Ã4 = , Ã5 =
2 1 3 3 1 2 2 3 1
Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy S3 są podzbiory:
{Ã0}
{Ã0, Ã1}
{Ã0, Ã2}
{Ã0, Ã3}
{Ã0, Ã4, Ã5}
S3
5. Podgrupą grupy Sn jest zbiór An złożony ze wszystkich permutacji parzy-
stych zbioru {1, 2, . . . , n}. Na przykład

1 2 3 1 2 3 1 2 3
A3 = , ,
1 2 3 3 1 2 2 3 1
n!
Grupa (An, ć%) ma elementów i jest nieabelowa dla n > 3.
2
6. Przekształcenie płaszczyzny (lub przestrzeni), które jest bijekcją i które nie
zmienia odległości punktów nazywamy izometrią płaszczyzny. Przykładami
izometrii są obroty oraz symetrie. Przekształceniem, które nie jest izometrią
jest na przykład rzutowanie na prostą. Zbiór izometrii płaszczyzny z działa-
niem składania przekształceń jest grupą (nieabelową).
7. Niech F będzie pewną figurą na płaszczyz
nie. Izometrią własną figury
F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania
przekształceń jest grupą.
2
Figurę F nazywamy n-kątem foremnym jeśli ma n równych boków i n rów-
nych kątów. Na przykład trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny,
czworokÄ…tem foremnym jest kwadrat itd. Oznaczmy przez Dn grupÄ™ izome-
trii własnych n-kąta foremnego. Nietrudno jest zauważyć, że grupa Dn ma
2n elementów: n symetrii względem prostych i n obrotów względem środka
figury.
Na przkład D4 jest izometrii własnych kwadratu. Wprowadz
my oznaczenia
r0 jest obrotem o 0 stopni, r1 jest obrotem o 90 stopni, r2 obrotem o 180 stop-
ni i r3 obrotem o 270 stopni, s1 jest symetrią względem prostej przechodzącą
przez środek pary równoległych boków, s2 jest symetrią względem prostej
przechodzącą przez środek drugiej pary równoległych boków, s3 i s4 są syme-
triami względem prostych przechodzących przez naprzeciwległe wierzchołki.
s3
s4
s1

1 2





s2




4 3

Po ponumerowaniu wierzchołków liczbami od 1 do 4 każda izometria kwa-
dratu wyznacza jednoznaczną permutację wierzchołków r0 = (1)(2)(3)(4),
r1 = (1, 2, 3, 4), r2 = (1, 3)(2, 4), r3 = (1, 4, 3, 2), s1 = (1, 2)(3, 4), s2 =
(1, 4)(2, 3), s3 = (2, 4), s4 = (1, 3).
Własności grup
(1) Każda grupa posiada dokładnie jeden element neutralny.
(2) Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element odwrotny.
(3) Jeśli w grupie zachodzi równość ax = ay to x = y.
(4) Każde równanie ax = b ma w grupie jednoznaczne rozwiązanie x = a-1b.
(5) Dla każdego elementu a " G mamy (a-1)-1 = a.
(6) Dla każdej pary elementów a, b " G mamy (ab)-1 = b-1a-1
3
W grupie (G, ·) możemy zdefiniować potÄ™gowanie elementu a " G:
a0 = e, a1 = a, an = a · · · a

n
jeśli n > 0 oraz
a-n = a-1 · · · a-1

n
Potęgowanie ma następujące własności:
(i) aman = am+n.
(ii) (am)n = amn.
Uwaga W grupie możemy stosować zapis addytywny (często stosuje się go
w przypadku grup abelowych) (G, +). Wtedy element neutralny oznacza siÄ™
przez 0, a element odwrotny do a oznacza się przez -a. Zamiast potęgowania
wykonuje się mnożenie przez liczby całkowite:
0a = 0, na = a + . . . + a, (-n)a = (-a) + . . . + (-a)


n
n
Wtedy ta operacja ma analogiczne własności jak potęgowanie:
(i) (n + m)a = na + ma.
(ii) (nm)a = n(ma).
Niech a będzie elementem grupy G. Najmniejszą niezerową liczbę natu-
ralną n, taką że an = e nazywamy rzędem elementu a. Jeśli taka liczba nie
istnieje to mówimy, że element a ma rząd nieskończony (w przypadku zapi-
su addytywnego rzędem nazywamy najmniejszą liczbę niezerową dla której
na = 0).
Przykłady

1 2 3
1. Permutacja = (1, 2, 3) ma rzÄ…d 3.
2 3 1
2. Element 3 grupy (Z6, +6) ma rzÄ…d 2, bo 3 +6 3 = 0.
3. Element neutralny e ma rząd równy 1.
Twierdzenie 1 Jeśli grupa G jest skończona i ma n elementów to każdy
element ma skończony rząd.
Dowód Niech a będzie elementem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elementu
a:
{1, a, a2, a3, . . .}
Elementy te należą do G. Ponieważ G jest zbiorem skończonym to zbiór potęg
elementu a też jest skończony, a to oznacza, że istnieją liczby naturalne i = j,

że ai = aj i jeśli i < j to aj-i = e. To oznacza, że rząd elementu a jest
skończony.
4
Twierdzenie 2 JeÅ›li G1 i G2 sÄ… grupami to zbiór G1 × G2 z dziaÅ‚aniem
określonym następująco:
(g1, h1)(g2, h2) = (g1g2, h1h2)
jest grupÄ….
Niech G będzie dowolną grupą i niech a " G. Wtedy przez < a > ozna-
czamy zbiór wszystkich potęg elementu a to znaczy:
< a >= {. . . , a-3, a-2, a-1, a0, a, a2, a3, . . .}
Wtedy < a > jest podgrupą grupy G. Jeśli w grupie G istnieje element a,
taki że: G =< a > to G nazywamy grupą cykliczną.
Twierdzenie 3 Jeśli G jest grupą cykliczną to G jest abelowa.
5