1. Zbadać czy równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych
207x + 391y + 667z = 46
Rozwiązanie:
Rozwiązanie jest liczbą całkowita jeśli:
(207,391,667) | 46
NWD(667,391) = 23
NWD ((667,391),207) = 23
23|46
Odp: Równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych
2. Rozwiązać w liczbach całkowitych równania
Wzory:
x = xo+ b1 t , y = yo- a1 t, a1 = a b1 = b .
(a,b),
ax + by = c (a,b)
a) 11x  9y = 25 b) 17x + 39y = 83 c) 17x + 10y = 747 (*)
NWD(11,9) NWD(17,39) NWD(17,10) Liczymy NWD
11 = 1(9) + 2 39 = 2(17) + 5 17 = 1(10) + 7
9 = 4(2) + 1 17 = 3(5) + 2 10 = 1(7) + 3
2 = 2(1) 5 = 2(2) + 1 7 = 2(3) + 1
NWD = 1 2 = 2(1) 3 = 3(1)
NWD = 1 NWD = 1
1 = 9  4(2)
1 = 9  4(11-9) 1 = 5  2(2) 1 = 7  2(3) Stosujemy algorytm
1 = 5(9)  4(11) | x25 1 = 5  2(17 - 3(5)) 1 = 7  2(10 - 1(7)) Euklidesa
25 = 125(9) - 100(11) 1 = 7(5)  2(17) 1 = 2(7)  2(10)
1 = 7(39  2(17))  2(17) 1 = 2(17  1(10))  2(10)
x0 = 100 1 = 7(39) -16(17) | x83 1 = 2(17) -4(10) | x747 Mnozymy by liczba
y0 = 125 83 = 581(39)  1328(17) 747 = 1494(17)  2988(10) po lewej była równa
tej z równania (*)

x0 = -1328 x0 = -1494
a1 = ( , ) b1 = ( , )
y0 = 581 y0 = 2988

a1 = ( , ) b1 = ( , ) a1 = ( , ) b1 = ( , )
Odp Odp: Odp:
Stosujemy wzór u
x = 100  9t x = -1328 +39t x = -1494 +39t
góry i mamy wzór na
T " $! T " $! T " $!
y = 125 + 11t y = 581 + 17t y = 2988 + 17t
x i y
3. Znaleść liczby całkowite które przy dzieleniu przez 12 dają reszte 0, przy dzieleniu przez 11 dają reszte 8 a
przy dzieleniu przez 13 dają reszte 5
x = 12k1
x = 11k2 + 8 k1, k2 k3 " $!
x = 13k2 + 5
Rozwiązanie:
12k