Permutacja ciÄ…gu (1,& ,n)
-ciąg złożony z tych samych liczb lecz w innej kolejności
Permutacja elementarna  permutacja polegająca na zamianie miejsc dwóch elementów,
np. 1,2,3,4,5,6 1,2,6,4,5,3
Złożenie permutacji też jest permutacją.
Permutację nazywamy permutacją parzystą jeżeli jest złożeniem parzystej ilości permutacji
elementarnych.
Permutację nazywamy permutacją nieparzystą jeżeli jest złożeniem nieparzystej ilości złożeniem
permutacji elementarnych.
Przykład:
(1,2,3,4,5,6) (2,6,5,3,1,4)
(2,1,3,4,5,6) (1,6,5,3,2,4)
(2,6,3,4,5,1) (1,2,5,3,6,4)
(2,6,5,4,3,1) (1,2,3,5,6,4)
(2,6,5,3,4,1) (1,2,3,4,6,5)
(2,6,5,3,1,4) (1,2,3,4,5,6)
Permutacją g ciągu (1,& ,n) nazywamy permutacją odwrotną do permutacji f jeżeli złożenie gć%f = fć%g
jest permutacją identycznościową.
Tw. Jeżeli permutacja f jest parzysta (nieparzysta) to permutacja f-1 jest parzysta (nieparzysta).
5 1 4 6 3 2
1 2 3 4 5 6
(klocki)
1 2 3 4 5 6
2 6 5 3 1 4
{1, jeżeli (i1,& ,i1) jest parzystą permutacją ciągu (1,& ,n)
´(i1,& ,in)= {-1, jeżeli ciÄ…g (i1& in) jest nieparzystÄ… permutacjÄ… ciÄ…gu (1,& ,n)
{0, jeżeli ciąg (i1,& ,in) nie jest permutacją ciągu (1,& ,n)
Df. Formą wieloliniową antysymetryczną określoną na kolumnach macierzy kwadratowej A wymiary
nxn, która na kolumnach macierzy jednostkowych przyjmuje wartość 1 nazywamy wyznacznikiem a
jej wartość na kolumnach macierzy A nazywamy wyznacznikiem macierzy A i oznaczamy detA lub |A|.
Własności:
1° det I=1
2° i 3ć% wyznacznik jest liniowy wzglÄ™dem każdej kolumny oddzielnie
4° wyznacznik macierzy zawierajÄ…cej kolumnÄ™ zer wynosi zero.
5° wyznacznik macierzy, w której 2 kolumny sÄ… identyczne wynosi 0
6° zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy skutkuje pomnożeniem wyznacznika
przez -1
7° do kolumny macierzy można dodać inna kolumnÄ™ pomnożonÄ… przez dowolnÄ… staÅ‚Ä…,
nie zmieniajÄ…c wyznacznika
8°
= & " & " det( , & , ) = " & " ( , & , )
9°
( )
= & " & " , & , =
( ) ( )
= " & " , & , = & " & " , & ,
=
10° WÅ‚asnoÅ›ci 2°-7° dotyczÄ… także wierszy macierzy.
We wzorze 8° jest nn n! mnożeÅ„.
Przykłady:
1° A=a11, detA=a11
2° A= , det A = a11a22 -a21a12
3° A= , det A = a11a22a33 - a21a12a33 + a21a32a13 - a31a22a13 + a31a12a23 - a11a32 a23
reguła Sarrusa (dotyczy tylko wyznaczników 3x3)
Rozwinięcie Laplace a wyznacznika
(a1,1 , a1,2 , & , a1,n ) (a1,1 , a1,2 , & , a1,n ) (a1,1 , & , a1,n-1 , a1,n )
( î" î" î" ) ( î" î" î" ) ( î" î" î" )
(ai-1,1 , ai-1,2 , & , ai-1,n) (ai-1,1 , ai-1,2 , & , ai-1,n ) (ai-1,1 , & , ai-1,n-1 , ai-1,n )
det (ai,1 , ai,2 , & , ai,n ) = det(ai,1, 0, & , 0 ) + & + det( 0 , & , 0 , ai,n ) =
(ai+1,1 , ai+1,2 , & , ai+1,n) (ai+1,1 , ai+1,, , & , ai+1,n) (ai+1,1 , & , ai+1,n-1 , ai+1,n )
( î" î" î" ) ( î" î" î" ) ( î" î" î" )
(an,1 , an,2 , & , an,n ) (an,1 , an,2 , & , an,n ) (an,1 , & , an,n-1 , an,n )
(a11 , a12 , & , a1n ) (a11 , a12 , & , a1n )
( î" î" î" ) ( î" î" î" )
(ai-1,1 , ai-1,2 , & , ai-1,n ) ( ai-1,1 , 1 , & , ai-1,n )
=ai1det( 1 , 0 , & , 0 ) + ai,ndet( 0 1 ) =
(ai+1,1 , ai+1,2 , & , ai+1,n) (ai+1,1 , 1 , & , ai+1,n )
( î" î" î" ) ( î" î" î" )
(an,1 , an,2 , ... , an,n ) (an,1 , an,2 , & , an,n )
 (a11 , & , a1,j-1 , a1,j+1 , & , a1,n )
( î" î" )
(ai-1,1 , & , ai-1,j-1 , ai-1,j+1 , & , ai-1,n )
" " "
= (-1) (ai+1,1 , & , ai+1,j-1 , ai+1,j+1 , & , ai+1,n ) = (-1) = =
( î" î" )
(an,1 , & , an,j-1 , an,j+1 , & , an,n )
Ä™!Minor nr ij
"
= =
~dopełnienie algebraiczne element macierzy A