11. Własności dynamiki kwantowej w 1D (np. brak degeneracji poziomów ener-
getycznych dla widma dyskretnego)
Brak degeneracji poziomów energetycznych dla widma dyskretnego
Zadanie 5.1 z listy.
Aby wykazać, że danej energii odpowiada tylko jeden stan � wykonujemy dowód nie-wprost, czyli zakładamy,
przeciwnie, że dla ustalonej energii E istnieją 2 różne(w sensie, że niepropocjonalne do siebie) stany �1 i �2. Równanie
Schrodingera dla każdego z tych stanów:
Ż
h2 d2�1
- + U�1 = E�1
2m dx2
Ż
h2 d2�2
- + U�2 = E�2
2m dx2
lub
Ż
h2 d2�1
- = (E - U)�1
2m dx2
Ż
h2 d2�2
- = (E - U)�2
2m dx2
Dzieląc stornami i mnożąc na krzyż mamy:
d2�1 d2�2
�2 = �1
dx2 dx2
Następnie całkujemy obie strony z użyciem całkowania przez części:
+" +"
d�1 d�1 d�2 d�2 d�2 d�1
�2 - dx = �1 - dx
dx dx dx dx dx dx
Całki po obu stronach różnią się najwyżej o stałą, więc
d�1 d�2
�2 - �1 = const
dx dx
Ale przy x " �1 i �2 muszą zbiegać do zera(inaczej nie byłyby normowalne), stąd mamy od razu, że const = 0.
Zatem nasze wyrażenie można przepisać jako:
d�1 d�2
d(ln �1) d(ln �2)
dx dx
= �! =
�1 �2 dx dx
Całkując ponownie obie strony mamy: ln �1 = ln �2 + C. Albo: �1 = A � �2. (A,C - stałe). Zatem otrzymaliśmy, że
stany �1 i �2 to są w zasadzie te same stany(proporcjonalne do siebie - po unormowaniu wyjdzie że są to te same stany
z dokładnością do czynnika fazowego.). Czyli nasze założenie o różności(nieproporcjonalności) �1 i �2 doprowadziło
do sprzeczności. Zatem stan odpowiadający energii E jest niezdegenerowany(odpowiada mu jeden, konkretny � z
dokładnością do czynnika fazowego).
12. 1D studnia kwantowa  nieskończona, prostokątna
Co do tematu 12 , to może tylko wrzucę przykładowe linki:
http://strony.aster.pl/adamus/download/fizyka/Studnia.pdf
http://www.ftj.agh.edu.pl/ Wolny/Wc73e9f74bbf4e.htm