11. Własności dynamiki kwantowej w 1D (np. brak degeneracji poziomów ener-
getycznych dla widma dyskretnego)
Brak degeneracji poziomów energetycznych dla widma dyskretnego
Zadanie 5.1 z listy.
Aby wykazać, że danej energii odpowiada tylko jeden stan È wykonujemy dowód nie-wprost, czyli zakÅ‚adamy,
przeciwnie, że dla ustalonej energii E istniejÄ… 2 różne(w sensie, że niepropocjonalne do siebie) stany È1 i È2. Równanie
Schrodingera dla każdego z tych stanów:
Å»
h2 d2È1
- + UÈ1 = EÈ1
2m dx2
Å»
h2 d2È2
- + UÈ2 = EÈ2
2m dx2
lub
Å»
h2 d2È1
- = (E - U)È1
2m dx2
Å»
h2 d2È2
- = (E - U)È2
2m dx2
Dzieląc stornami i mnożąc na krzyż mamy:
d2È1 d2È2
È2 = È1
dx2 dx2
Następnie całkujemy obie strony z użyciem całkowania przez części:
+" +"
dÈ1 dÈ1 dÈ2 dÈ2 dÈ2 dÈ1
È2 - dx = È1 - dx
dx dx dx dx dx dx
Całki po obu stronach różnią się najwyżej o stałą, więc
dÈ1 dÈ2
È2 - È1 = const
dx dx
Ale przy x " È1 i È2 muszÄ… zbiegać do zera(inaczej nie byÅ‚yby normowalne), stÄ…d mamy od razu, że const = 0.
Zatem nasze wyrażenie można przepisać jako:
dÈ1 dÈ2
d(ln È1) d(ln È2)
dx dx
= Ò! =
È1 È2 dx dx
CaÅ‚kujÄ…c ponownie obie strony mamy: ln È1 = ln È2 + C. Albo: È1 = A · È2. (A,C - staÅ‚e). Zatem otrzymaliÅ›my, że
stany È1 i È2 to sÄ… w zasadzie te same stany(proporcjonalne do siebie - po unormowaniu wyjdzie że sÄ… to te same stany
z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… do czynnika fazowego.). Czyli nasze zaÅ‚ożenie o różnoÅ›ci(nieproporcjonalnoÅ›ci) È1 i È2 doprowadziÅ‚o
do sprzecznoÅ›ci. Zatem stan odpowiadajÄ…cy energii E jest niezdegenerowany(odpowiada mu jeden, konkretny È z
dokładnością do czynnika fazowego).
12. 1D studnia kwantowa  nieskończona, prostokątna
Co do tematu 12 , to może tylko wrzucę przykładowe linki:
http://strony.aster.pl/adamus/download/fizyka/Studnia.pdf
http://www.ftj.agh.edu.pl/ Wolny/Wc73e9f74bbf4e.htm