WYKA
AD 8 7-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
SZEREGI POT
GOWE
Definicja: Szereg potęgowy
a1, a2, a3 ... x0 "R
Szereg potęgowy o danych współczynnikach rzeczywistych i środku
nazywamy szereg funkcyjny postaci
"
a0 ƒÄ…a1śą x-x0źąƒÄ…a2 śą x-x0 źą2 ƒÄ…...= anśą x-x0 źąn
"
n=0
Definicja: Zbieżność szeregu potęgowego
x= x1
Mówimy, że szereg potęgowy jest zbieżny w punkcie jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy
"
anśą x1 - x0 źąn
"
n=0
Definicja: Twierdzenie Abela
"
x1 `" 0
an xn
Jeżeli jest zbieżny w punkcie to jest zbieżny bezwzględnie w każdym
"
n=0
x"śą-#"x1 #";#"x1 #"źą
punkcie
Definicja: Promień zbieżności
"
an xn
Liczbę Rą0 nazywamy promieniem zbieżności szeregu jeżeli szereg ten jest
"
n=0
śą-R ; Rźą śą-" ;-Rźą*"śą R ;ƒÄ…"źą
zbieżny w przedziale i rozbieżny w przedziale
"
an xn
Jeżeli szereg jest zbieżny dla wszystkich x "R to przyjmujemy, że R="
"
n=0
"
an xn
Jeżeli szereg jest zbieżny tylko dla x=0 to przyjmujemy że R=0
"
n=0
Definicja: Twierdzenie Cauchy'ego Hadamarda o promieniu zbieżności
"
an xn
Jeżeli dla szeregu potęgowego istnieje granica(skończona lub nieskończona)
"
n=0
an ƒÄ…1
limn Śą"#" #"=ÁÄ…
limn Śą " n #"an#"=ÁÄ… lub
ćą
an
to promień zbieżności tego szeregu wynosi:
1
R=
0 "Ä…ÁÄ…"Ä…ƒÄ…"
ÁÄ…
ÁÄ…=ƒÄ…" R=0
ÁÄ…=0 R=-"
Definicja: Twierdzenie o ciągłości szeregu potęgowego
"
an xn
Jeżeli szereg potÄ™gowy ma niezerowy promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R , 0"Ä…Rd"ƒÄ…" to jego
"
n=0
S śą x źą śą-R , Rźą
suma jest funkcją ciągłą na przedziale Ponadto jeżeli szereg jest zbieżny na
krańcach przedziału zbieżności, to suma jest w nich jednostronnie ciągła.
Definicja: Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego
"
an xn
Jeżeli szereg potÄ™gowy ma niezerowy promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R , 0"Ä…Rd"ƒÄ…" to jego
"
n=0
S śą x źą
suma jest funkcją różniczkowalną oraz
" "
S ' śą x źą= śąan xnźą '= n an xn-1
" "
n=0 n=1
1 WYKA
AD 8. 7-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego
"
an xn
Jeżeli szereg potÄ™gowy ma niezerowy promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R , 0"Ä…Rd"ƒÄ…" to jego
"
n=0
S śą x źą
suma jest funkcją całkowalną oraz
x " x "
an nƒÄ…1
"x "śą- R ; Rźą 0 S śątźą dt= śą antn dt źą= #" #"X
+" " +" "
n=0 0 n=1
nƒÄ…1
2 WYKA
AD 8. 7-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska