NAUKA DLA BUDOWNICTWA
Metody ustalania wag
kryteriów wyboru wykonawcy
MGR IN�. MARZENA KITA stosując proste wzory matematycz- Ostatecznie równanie wygląda nas-
POLITECHNIKA KRAKOWSKA ne. NaleŻy rozpatrzy� dwa przypadki. t�pująco:
PrzypuĘ�my, Że mamy dwa kryteria x+0,6*(1-x) = 0,75*x + (1-x), stąd
stalenie wag kryteriów czas realizacji oraz cen�. x = wc = 0,62 i wt = 0,38
wyboru to bardzo waŻny Zamawiający pragnie zrealizowa� Obszar moŻliwych rozwiązał
to
U
element w przygotowaniu przedsi�wzi�cie w ciągu dziesi�ciu kwadrat o boku 1. Punkty A (1; 0,6)
kaŻdego przetargu. O znaczeniu tego miesi�cy i jest w stanie zapłaci� za to i B (0,75;1) to preferencje zama-
zadania Ęwiadczy fakt, Że ustalone 82 j (j  dowolna jenostka pieni�Żna np. wiającego,
wagi w przyszłoĘci zadecydują o wy- 100 000 zł) . MoŻe on jednak zwi�kszy� Natomiast prosta  k o równaniu
borze najkorzystniejszej oferty. Które kwot� o 30 proc. pod warunkiem, Że 0,62*zc+0,38*zt 0,85=0 to linia,
z nich są najwaŻniejsze, a które mniej termin ulegnie skróceniu przynajmniej która zawiera pozostałe rozwiązania
waŻne, jakie zachowa� proporcje o cztery miesiące. Mamy wi�c dwie równowaŻne ofertom A i B. WartoĘ�
pomi�dzy nimi, to najcz�stsze pyta- równowaŻne oferty: 0,85 to ocena jaką otrzymują punkty
nia, jakie powinien postawi� sobie ną oferta A 82j; 10 m-cy leŻące na prostej  k . Obszar H to
zamawiający. Ustalając wagi naleŻy ną oferta B 107j (droŻsza o 30 obszar, do którego naleŻą punk-
pami�ta� o jednej bardzo waŻnej proc.); 6 m-cy. ty spełniające preferencje zama-
zasadzie, Że suma wag musi wynosi� Taki zapis jest zabezpieczeniem dla wiającego.
jeden lub sto (jeĘli wyraŻamy wagi zamawiającego, daje mu gwarancj�, JeŻeli kryteriów jest wi�cej niŻ dwa,
w procentach). Wydaje si� to by� Że oferta droŻsza b�dzie jednak to przy wyznaczaniu pomocna jest
oczywiste, niestety jednak zama- atrakcyjna pod wzgl�dem czasu reali- analiza wielokryterialna. Zapisujemy
wiający popełniają ten błąd, tworząc zacji. Po wyznaczeniu równowaŻnych tu funkcj� uŻytecznoĘci jako sum�
np. taki zestaw wag: ofert normalizujemy dane według poszczególnych uŻytecznoĘci dla
ną cena 70 proc. wzoru Cmin/Ci, jeŻeli rozpatrujemy kaŻdego kryterium u(x)=w1*u1
ną termin wykonania 26 proc. kryterium takie jak czas realizacji czy (x)+w2*u2(x)+. . .+wi*ui(x); nas-
ną gwarancja 3 - 4 proc. cena (kryteria minimalizowane  tym t�pnie ustalamy wartoĘci Ęredniej,
W tym wypadku suma wag waha si� lepsza ocena czym mniejsza warto�) na podstawie opinii decydenta.
od 99 do 100 proc. Chcąc unikną� lub według wzoru Gi/Gmax (kryte- Jednym ze sposobów okreĘlenia
tego bł�du, naleŻało ocenia� gwa- rium maksymalizowane np. gwaran- funkcji uŻytecznoĘci jest metoda
rancj� np. w skali od 1 do 10 punktów cja). Ostatecznie oferty zapisujemy doboru loterii. Decydent podaje jego
i przypisa� jej wag� 4 proc. w nast�pujący sposób: zdaniem najbardziej i najmniej atrak-
Nie wszystkie kryteria są jednakowo ną oferta A cyjny wynik rozpatrywanej zmiennej.
waŻne. Wprowadzenie odpowiednich (Cmin/Ca)*x+(Tmin/Ta)*(1-x) =Va Najgorszemu wynikowi przypisujemy
wag, ukazujących waŻnoĘci pomi�dzy ną oferta B wartoĘ� (uŻytecznoĘci) równą zero
poszczególnymi kryteriami, powinno (Cmin/Cb)*x+(Tmin/Tb)*(1-x) =Vb. i analogicznie najlepszy wynik otrzy-
by� tak ustalone, aby w przyszłoĘci Gdzie x oznacza wartoĘ� wagi ceny muje wartoĘ� jeden:
wygrała oferta najlepsza. Nawet nie a poniewaŻ suma wag wynosi 1, U(x*) = 1 U(x0) = 0
stosując Żadnych istniejących metod stąd drugą wag� zapisujemy jako Proponujemy teraz decydentowi
wyznaczania wag, zamawiający powi- róŻnic� 1  x. Va i Vb, to wartoĘci wybór spoĘród dwóch moŻliwoĘci.
nien dokona� próby oszacowania ich oceny przypisane poszczególnym Pierwsza moŻliwoĘ� to wzi�cie udzia-
wartoĘci oraz zastosowa� proste ofertom. PoniewaŻ oferty A i B są łu w loterii, gdzie moŻe wygra� reali-
symulacje pozwalające na stwierdze- równowaŻne, stąd otrzymujemy zacj� inwestycji za 59j, gdy wypadnie
nie, czy przyj�te wagi odzwierciedlają jedno równanie z jedną niewiadomą: orzeł lub przegra� i realizowa� za
jego rzeczywiste wymagania. (Cmin/Ca) *x + (Tmin/Ta) * (1-x) = 100 j, gdy wypadnie reszka, a dru-
JeŻeli liczba kryteriów jest równa (Cmin/Cb) *x + (Tmin/Tb) * (1-x) ga moŻliwoĘ� to wzi�cie wartoĘci
dwa, to moŻna na podstawie kilku Ca=82j, Cb=107j Cmin=82j zagwarantowanej bez udziału w grze
informacji wyznaczy� wartoĘci wag, Ta=10 m-cy, Tb=6 m-cy Tmin=6 m-cy  zagwarantowaną wartoĘ� obliczamy
41
CZERWIEC 2004 PRZEGLŃD BUDOWLANY
NAUKA DLA BUDOWNICTWA
na podstawie wyznaczonych punk-
Hierarchia
tów. W ten sam sposób wyznaczamy
funkcj� uŻytecznoĘci dla pozosta-
łych kryteriów. W celu okreĘlenia
Cena Warunki płatnoĘci Termin wykonania
wag ustalamy waŻnoĘ� poszczegól-
nych kryteriów. MoŻna to osiągną�
w nast�pujący sposób: bierzemy
Terminy płatnoĘci faktur cz�Ęciowych
pod uwag� alternatyw�, która ma
najbardziej niekorzystne wartoĘci na
wszystkich wymiarach. Nast�pnie
Termin płatnoĘci faktury koł
cowej
decydent  poprawia któryĘ z wy-
miarów tak, by przyjął on najlepszą
wartoĘ� z moŻliwych. Zakładamy
Karencja
oczywiĘcie, Że wybór padnie na ten
wymiar, który ma najwyŻszą wag�
wi. Procedur� t� powtarzamy, aŻ do
Rys. 1.
momentu wyczerpania wszystkich
ze wzoru (0,5) x (100 j) = (0,5) x (59 j) teraz wartoĘ� 70 j - 0,5 i 59 j  1. wymiarów.
= 79,5 j  za tyle zostanie wykona- Znów np. dla wartoĘci 65 j decydent Mając tak uporządkowane wagi,
ne przedsi�wzi�cie. PrzypuĘ�my, stwierdza, Że jest mu oboj�tne, czy porównujemy je w nast�pujący spo-
Że decydent po przemyĘleniu tej bierze udział w loterii czy przyj- sób: bierzemy dwa warianty A (x01,
sytuacji decyduje si� bra� udział muje wartoĘ� pewną. Wówczas x2, x03, . . . . , x0n. ) i B (x*1, x02,
w loterii. Zadajemy wi�c mu znów uŻytecznoĘ� dla 65 j obliczamy w ten x03, . . . . , x0n) i szukamy przy jakim
podobne pytanie np. realizacj� za sposób U(65 j)=0,5x1+0,5 (0,5)= x2 decydent stwierdzi, Że alterna-
78j lub loteri�, w której wygrana to 0,75. Teraz moŻe rozpatrzy� przedział tywy są dla niego porównywalne.
realizacja za 59j, a przegrana realiza- (70j  100j) i otrzyma� wartoĘ� np. Znając wartoĘ� U2(x2) otrzymujemy
cja za 100j. Sytuacj� t� powtarzamy 85j, która jest oboj�tna dla decyden- zaleŻnoĘ�:
aŻ decydent przy pewnej kwocie ta, jeĘli chodzi o loteri� czy wartoĘ� w2*U2(x2)=w1*U1(x1*) i U1(x1*)=1
stwierdzi, Że jest mu to oboj�tne, gwarantowaną i obliczy� dla niej stąd w 2*U2(x2)=w1
czy weęmie udział w loterii, czy U(85j)x(0,5)x(0,5)+(0,5)x0=0,25 Tak samo post�pujemy z pozosta-
zrezygnuje z niej i weęmie wartoĘ� W ten sposób otrzymaliĘmy cztery łymi kryteriami i obliczamy kolejne
zagwarantowaną. ZałóŻmy, Że taka punkty U(100j)=0; U(85j)=0,25; wagi, dodatkowo mamy równanie
sytuacja ma miejsce przy wartoĘci U(70j)=0,5; U(65j)=0,75; U(59j)=1. Łwi=1. W ten sposób otrzymuje-
70j. WartoĘ� funkcji uŻytecznoĘci JeĘli chcemy wyznaczy� wi�cej punk- my n-układów z n-niewiadomymi.
dla tej sumy wynosi U(70j)=(0,5)x tów musimy rozpatrzy� dodatkowo Stosując t� metod�, napotykamy
1+(0,5)x0=(0,5). Kontynuujemy t� np. przedziały (100j 85j) i (65j 59j). jednak na pewne niedogodnoĘci.
procedur�, przy czym rozpatrujemy Nast�pnie aproksymujemy funkcj� Czasem decydent nie jest w stanie
Intensywno�
Definicja ObjaĘnienie
waŻnoĘci
1 Równowaga Dwie czynnoĘci mają identyczną waŻnoĘ�
3 Słaba waŻnoĘ� Jedna czynnoĘ� jest nieznacznie waŻniejsza od drugiej
5 Znacząca waŻnoĘ� Jedna czynnoĘ� jest sporo waŻniejsza od drugiej
7 Silna waŻnoĘ� Jedna czynnoĘ� jest zdecydowanie waŻniejsza od drugiej
9 WaŻnoĘ� absolutna Jedna czynnoĘ� jest ewidentnie waŻniejsza od drugiej
Gdy oceniający uwaŻa, Że ocena danego kryterium zawiera si� pomi�dzy
2,4,6,8 WartoĘci poĘrednie
wymienionymi wyŻej wartoĘciami.
Tab. 1.
42
PRZEGLŃD BUDOWLANY CZERWIEC 2004
NAUKA DLA BUDOWNICTWA
1 2 3 Kryteria Waga
Kryteria Cena Warunki płatnoĘci Termin wykonania
Cena 0,65
1 Cena 1 3 7
Warunki płatnoĘci 0,29
2 Warunki płatnoĘci 1/3 1 5
Termin wykonania 0,06
3 Termin wykonania 1/7 1/5 1
Tab. 4
Tab. 2
poprawnie za pierwszym razem
1 2 3
wyznaczy� odpowiednich wartoĘci
Termin płatnoĘci Termin płatnoĘci
Podkryteria
funkcji uŻytecznoĘci, a takŻe moŻe
Karencja
mie� problemy z jednoznacznym
faktur cz�Ęciowych faktury koł
cowej
wyznaczeniem porównywalnej alter-
Termin płatnoĘci
natywy. Wówczas naleŻy powtórzy�
1 1 3 7
faktur cz�Ęciowych
procedur�.
Prostszym sposobem ustalania wag
Termin płatnoĘci
jest metoda oparta na systemie AHP
2 1/3 1 4
faktury koł
cowej
(Analitycal Hierarchy Proces). Składa
si� on z trzech etapów:
a) stworzenia hierarchii kryteriów
3 Karencja 1/7 1/4 1
i podkryteriów,
b) porównania ich w skali od 1 do 9,
Tab. 3
c) ostatecznego wyznaczenia wag.
Na wst�pie ustalamy liczb� i rodzaj
kryteriów oraz podajemy zaleŻnoĘci
Wagi Wagi istniejące pomi�dzy nimi. Związki
Kryteria Podkryteria Ostateczne wagi
te zapisujemy za pomocą hierarchii
globalne lokalne
(rys. 1).
W etapie drugim porównujemy kry-
Cena 0,65 - 0,65 0,65
teria parami, nadając im odpowiednie
wartoĘci, które oznaczają stopieł

waŻnoĘci, jaki istnieje pomi�dzy
badanymi kryteriami. Opis skali
Termin płatnoĘci
0,66 0,19
podano w tabeli 1.
faktur cz�Ęciowych
Porównywanie zaczynamy od stwo-
rzenia macierzy kryteriów (tab. 2)
i wpisania odpowiednich wartoĘci.
Warunki Termin płatnoĘci
0,29 0,27 0,08
Na przekątnej znajdują si� same
płatnoĘci faktury koł
cowej
jedynki, gdyŻ porównujemy dane kry-
terium z nim samym. Rozpatrujemy
zawsze elementy z lewej kolumny
Karencja 0,07 0,02
z elementami z górnego wiersza
a wartoĘ� porównania wpisujemy
na ich przeci�ciu. Porównując cen�
z warunkami płatnoĘci, podano
Termin
0,06 - 0,06 0,06
wartoĘ� 3 (1,2). Oznacza to, Że
wykonania
cena jest nieznacznie waŻniejsza od
terminu wykonania, automatycz-
Tab. 5
nie na przeci�ciu drugiego wiersza
43
CZERWIEC 2004 PRZEGLŃD BUDOWLANY
NAUKA DLA BUDOWNICTWA
z pierwszą kolumną wpisujemy 1/3 Ostateczne wartoĘci podaje tabela 5.
BIBLIOGRAFIA
(2,1) . Identyczne tabele sporządzamy Koł
cowe wyznaczenie wag uzysku-
[1] Janusz Dolecki, Kryteria wyboru oferty
dla podkryteria  warunki płatnoĘci jemy w ten sposób, Że wagi kryte-  cz�Ę� druga, Zamówienia publiczne
DORADCA nr 6 (14) czerwiec 1998 , 5-9.
(tabela 3). riów równają si� wagom globalnym,
[2] Patrick Sik  Wah Fong, Sonia Kit  Yung
Nast�pnie wyznaczamy wagi. a wagi podkryteriów otrzymujemy
Choi, Final contractor selection using the
W pierwszej kolejnoĘci obliczamy je przemnaŻając wagi globalne przez
analytical hierarchy process, Construction
dla kryteriów (sposób obliczania poda- wagi lokalne (np.: ostateczna waga dla Management and Economics 18 (2000),
s. 547-557.
no na przykładzie wag kryteriów). terminu płatnoĘci faktur cz�Ęciowych
[3] Eric T. T. Wong, George Norman, Roger
to 0,66*0,29=0,19). ną
Flanagan, A fuzzy stochastic technque for
cena
project selection, Construction Management
and Economics 18 (2000), s. 407-414.
warunki płatnoĘci
termin wykonania
Waga jest sumą ilorazów, gdzie
liczniki to wartoĘci z wiersza dane-
go kryterium (np.: dla ceny jest to
wiersz nr 1 i odpowiednio wartoĘci
1,3,7), a mianowniki to sumy ele-
mentów kolumn (dla ceny jest to
suma z kolumny pierwszej, nast�pnie
drugiej, trzecie i czwartej). CałoĘ�
dzielimy przez liczb� kryteriów (w
naszym wypadku jest to trzy). Wyniki
obliczeł
podano w tabeli 4.
Analogicznie obliczamy wagi dla
podkryterium, przy czym wagi kryte-
riów traktujemy jako wagi globalne,
a podkryteriów jako wagi lokalne.
44
PRZEGLŃD BUDOWLANY CZERWIEC 2004