Materiały pomocnicze  zajęcia 3
PODSTAWY ALGEBRY LOGIKI
Zad. 1. Skonstruować układy logiczne posługując się minimalną liczbą bramek
dwuwejściowych.
a) F1 = AB + AB C ,
()
b) F2 = A B C D + ABC D + A BCD + ABCD + ABCD + ABCD .
Rozwiązanie:
Ad. a) - bezpośrednio
AB
AB + AB C
()
AB
b) - z użyciem bramek NAND (kolejne fazy przekształcenia układu a)
alternatywna bramka NAND
AB + AB C
( )
AB + AB C
( )
AB + AB C
( )
 Ad. b)  bezpośrednio z równań
F2
Kolejne fazy przekształceń równania przedstawiono poniżej:
F2 = A B C D + ABC D + A BCD + ABCD + ABCD + ABCD =
A B CD + A BCD + ABCD + ABCD + A BCD + ABCD + ABCD + ABCD =
A A C D + ACD + ABC + BCD =
A D + ABC + BCD
Realizacja funkcji przekształconej
F2
Przekształcając powyższą realizację do realizacji z wykorzystaniem bramek NAND
otrzymamy układ (rys. poniżej).
F2
Zad. 2. Zidentyfikować realizowaną funkcję i przekształcić ją do postaci minimalnej.
BC + BC
A+ C
F
F = A + C B C + BC = A B C + ABC + BCC + BCC = ABC + ABC + BC =
( )()
= A B C + BC = A B C BC = A + B + C B + C
()
( )
= AB + AC + BB + BC + CB + CC = AB + AC + BC + BC
Powyższą funkcję można jeszcze dalej zminimalizować (patrz zadanie 3) do postaci
F1 = AB + BC + BC lub F2 = AC + BC + BC .
Realizacja funkcji F1 (bez bramki EXOR).
F1
Zad. 3 Narysować tabelę prawdy dla funkcji F z zadania 2, tzn.
F = AB + BC + BC + AC = F1 + F2 + F3 + F4 .
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0
F1 = AB
0 1 0 0 0 1 0 0
F2 = BC
0 0 1 0 0 0 1 0
F3 = BC
0 0 0 0 1 0 1 0
F4 = AC
F 0 1 1 0 1 1 1 0
Zad. 4. Zadana jest tabela prawdy pewnego układu logicznego (zad. 3). Narysować tablicę
Karnaugha, zminimalizować funkcję logiczną, narysować układ oraz narysować przebiegi
czasowe sygnałów wejściowych oraz sygnału wyjściowego.
Minimalizacja pierwszej formy sumacyjnej.
AB
00 01 11 10
C
0 0 1 1 1
1 1 0 0 1
F = BC + BC + AC
BC
BC AC
Realizacja za pomocą bramek OR i NOT.
F
Realizacja za pomocą bramek NAND i NOT.
F
Minimalizacja drugiej formy sumacyjnej
AB
00 01 11 10
C
0 0 1 1 1
1 1 0 0 1
F = BC + BC + AB
BC AB
BC
Realizacja za pomocą bramek OR i NOT pokazana została w zad. 2
Realizację za pomocą bramek NAND i NOT pokazano poniżej.
F
Przebiegi w dziedzinie czasu przedstawiono poniżej.
A
B
C
F
Zad. 5. Zminimalizować funkcję zadaną za pomocą tabeli Karnaugha. Narysować układ
realizujący funkcję logiczną, tabelę prawdy i diagram czasowy.
AB
00 01 11 10
C
0 0 0 1 1
1 1 1 1 0
1. Minimalizacja formy koniunkcyjnej.
A
0 0 1 1
C 1 1 1 0
B
A+C
A+ B +C
F1 = A + C A + B + C
( )
( )
2. Minimalizacja pierwszej formy sumacyjnej.
A
0 0 1 1
C 1 1 1 0
B
AC AC
AB
F2 = AC + AB + AC
3. Minimalizacja drugiej formy sumacyjnej (alternatywnej).
A
0 0 1 1
C 1 1 1 0
B
AC AC
BC
F3 = AC + BC + AC
 4. Realizacja wg F1.
5. Tabela prawdy.
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 0 1 1 0 1 1
6. Diagram czasowy.
A
B
C
F
Zad. 6. Zadana jest funkcja trzech zmiennych logicznych, zapisana dziesiętnie w postaci
sumacyjnej F = 0,1,2,4,5,6 . Zminimalizować funkcję, narysować układ realizujący,
()
"
tabelę prawdy oraz diagram czasowy.
1. Oznaczenia dziesiętne pól tabeli Karnaugha.
ABC
AB
00 01 11 10
C
0 0 2 6 4
1 1 3 7 5
2. Tabela Karnaugha zadanej funkcji.
AB
00 01 11 10
C
0 1 1 1 1
1 1 0 0 1
3. Minimalizacja formy sumacyjnej.
AB
00 01 11 10
C
0 1 1 1 1
1 1 0 0 1
B C
F1 = B + C
4. Minimalizacja formy koniunkcyjnej.
AB
00 01 11 10
C
0 1 1 1 1
1 1 0 0 1
B +C
F1 = OUT = B + C
5. Realizacja z wykorzystaniem bramek OR i NOT oraz bramek NAND.
OUT
OUT
6. Tabela prawdy.
7. Diagram czasowy.
A
B
C
OUT
Zad. 7
Dana jest funkcja logiczna: F = AB + ABC + ACD + ABCD + ABCD .
Zminimalizować funkcję, narysować układ realizujący, tabelę prawdy oraz diagram
czasowy.
Tabela prawdy.
A B C D AB A'BC' ACD A'B'CD A'B'C'D F
0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0001 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
0002 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0003 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1
0004 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0005 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1
0006 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0007 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0008 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0009 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0010 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0011 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1
0012 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0013 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
0014 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1
0015 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1
Tabela Karnaugha
ABD
CD
00 01 11 10
AB
00 0 1 1 0
01 1 1 0 0
AB
11 1 1 1 1
10 0 0 1 0
BC
BC D
F1 = BC + AB + BCD + A BD
inne funkcje minimalne:
F2 = BC + AB + A BD + ACD ,
F3 = BC + AB + BCD + ACD .
Realizacja
ABD
BCD
F
BC
AB
Przebiegi czasowe:
A
B
C
D
F
Zad. 8
Bramka EXOR
Realizacja sumacyjna
OUT = F = AB + AB
F- realizacja za
pomocą NAND
Tabela prawdy
B
0 1
0 0 1
1 1 0
A
F = AB + AB lub F = A + B A + B
( )
( )
Realizacja iloczynowa
F = A + B A + B
( )
( )
F- realizacja za
pomocą NAND
Zad. 9 Funkcja logiczna jest zadana za pomocą tabeli Karnaugha. Wyznaczyć formy
minimalne.
A
1 1 1 1
1 0 0 1
D
1 0 0 1
C
1 1 1 1
B
Wynik: 1. Minimalizacja formy sumacyjnej: F = B + D (dwie ósemki)
2. Minimalizacja formy iloczynowej F = B + D (jedna czwórka).
Zad. 10 Zadana jest funkcja czterech zmiennych logicznych zapisana w postaci
F = 4,6,7,11,15 (zmienne są ułożone w kolejności ABCD). Zminimalizować funkcję F.
()
"
4
A
0 1 0 0
4 8
12
0
0 0 0 0
13 9
1
5
D
0 1 1 1
3 15 11
7
C
0 1 0 0
6
2 14
10
B
Wynik: 1. Minimalizacja formy sumacyjnej a) F1 = ABD + BCD + ACD , b)
F2 = ABD + ABC + ACD
2. Minimalizacja formy iloczynowej: F3 = B + D A + B C + D A + B + D
( )( )
( )()