V. SZCZEGÓ OWY OPIS STANDARDÓW
EGZAMINACYJNYCH
Zdaj cy posiada umiej tno ci w zakresie:
POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY
1) wykorzystania i tworzenia informacji:
interpretuje tekst matematyczny i formu uje u ywa j zyka matematycznego do opisu
uzyskane wyniki rozumowania i uzyskanych wyników
Zdaj cy potrafi: Zdaj cy potrafi wszystko to, co na poziomie
odczyta informacj bezpo rednio podstawowym oraz:
wynikaj c z tre ci zadania wykona rutynow procedur na
zastosowa podany wzór lub podany niekoniecznie typowych danych
przepis post powania odczyta informacj z
wykona rutynow procedur dla wykorzystaniem wi cej ni jednej
typowych danych postaci danych
przejrzy cie zapisa przebieg i wynik precyzyjnie przedstawi przebieg
oblicze oraz uzyskan odpowied swojego rozumowania
Przyk adowe zadania (poziom podstawowy):
1. Diagram przedstawia wyniki ankiety, w której ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie
napoje pij mi dzy posi kami. Ankietowani wybierali tylko jeden z czterech rodzajów
napojów.
Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz:
ile procent badanych osób pije soki owocowe lub wod mineraln ,
ile procent badanych osób nie pije owocowych napojów gazowanych,
ile procent badanych osób nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej.
17
2 n
n
2. Dany jest ci g an okre lony wzorem an 1 dla n = 1,2,3... . Oblicz a2 , a4 i a5 .
n2
2
2
4 1 3

3

3. Przedstaw w postaci nieskracalnego u amka zwyk ego.
1
1

5

2

4. Podaj miejsca zerowe funkcji okre lonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x:
f (x) x(x 2) , g(x) x 5 (x 2) , h(x) 5 2x 2x 1 .

5. Oblicz a b , gdy a sin4 cos4 , b 1 4sin2 cos2 dla 60 .
6. Wska równanie okr gu o rodku w punkcie S 1, 2 i promieniu r 2 :

2 2
a) x 1 y 2 2 ,

2 2
b) x 1 y 2 2 ,

2 2
c) x 1 y 2 2 ,

2 2
d) x 1 y 2 2 .

Przyk adowe zadania (poziom rozszerzony):
2
7. Oblicz 2 3 2 3 .


8. Miary dwóch k tów trójk ta wynosz i . Oblicz miar trzeciego k ta. Odpowied
6 5
podaj w stopniach.
9. Dane jest równanie sin x a2 1, z niewiadom x . Wyznacz wszystkie warto ci
parametru a , dla których dane równanie nie ma rozwi za .
x 5 dla x 5


10. Funkcja f jest okre lona wzorem f x 2 dla 5 x 5. Miejscami zerowymi

x

x 6 dla x 5

tej funkcji s liczby
a)  5, 2, 6.
b) 2, 6.
c)  5, 2.
d)  5,  2, 6.
18
2) wykorzystania i interpretowania reprezentacji:
rozumie i interpretuje poj cia
u ywa prostych, dobrze znanych obiektów
matematyczne i operuje obiektami
matematycznych
matematycznymi
Zdaj cy potrafi: Zdaj cy potrafi wszystko to, co na poziomie
poprawnie wykonywa dzia ania na podstawowym, tak e:
liczbach i przedzia ach liczbowych, w odniesieniu do bardziej z o onych
przekszta ca wyra enia obiektów matematycznych,
algebraiczne, rozwi zywa niezbyt a ponadto potrafi poda przyk ad
z o one równania, ich uk ady oraz obiektu matematycznego
nierówno ci, odczytywa z wykresu spe niaj cego zadane warunki
w asno ci funkcji, sporz dza
wykresy niektórych funkcji,
znajdowa stosunki miarowe
w figurach p askich i przestrzennych
(tak e z wykorzystaniem uk adu
wspó rz dnych lub trygonometrii),
zlicza obiekty i wyznacza
prawdopodobie stwo w prostych
sytuacjach kombinatorycznych
zastosowa dobrze znan definicj
lub twierdzenie w typowym
kontek cie
Przyk adowe zadania (poziom podstawowy):
1. Na osi liczbowej zaznaczono przedzia A z o ony z tych liczb rzeczywistych, których
odleg o od punktu 1 jest niewi ksza od 4,5. Przedzia A przesuni to wzd u osi o 2
jednostki w kierunku dodatnim, otrzymuj c przedzia B. Wyznacz wszystkie liczby
ca kowite, które nale jednocze nie do A i do B.
2. Rozwi równanie x x3 1 x2 .
3. Oblicz najwi ksz i najmniejsz warto funkcji f (x) 2x2 4x 11 w przedziale
A 0, 4 .
4. Pan Kowalski planuj c wyjazd na wakacje letnie w nast pnym roku postanowi za o y
lokat , wp acaj c do banku 2000 z na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje
lokat:
lokata A  oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku,
lokata B  oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pó
roku,
lokata C  oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwarta .
Oce , wykonuj c odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana
Kowalskiego.
19
5. W trójk cie równoramiennym ABC, w którym AC BC 10cm , wysoko
poprowadzona z wierzcho ka C jest równa 5 cm. Oblicz miary k tów tego trójk ta.
Odpowied podaj w stopniach.
6. Ostrok tny trójk t równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okr g o rodku S,
przy czym k t SAB ma miar 40 . Oblicz miar k ta CAB.
7. Oblicz odleg o punktu A od rodka odcinka BC, gdzie
A 1,3 , B 4,7 , C 2, 3 .

8. W graniastos upie czworok tnym prawid owym przek tna o d ugo ci m jest nachylona do
p aszczyzny podstawy pod k tem . Wiadomo, e sin 0, 2 . Wyznacz obj to tego
graniastos upa.
1 2 4
9. O zdarzeniach losowych A i B wiemy e: P(A) , P(B) , P(A B) . Oblicz:
2 3 5
a) P(A B),
b) P(A \ B) .
10. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej f x wska , które zdanie jest

prawdziwe.
y
.(1,9)
9
8
7
6
5
4
f(x)
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
a) Miejscami zerowymi funkcji s liczby:  2 oraz 4.
b) Funkcja jest rosn ca w przedziale 2, 4 .

c) Funkcja przyjmuje warto ci wi ksze od zera dla x 1.
d) Zbiorem warto ci funkcji jest przedzia ,9 .

20
11. W kolejce do kasy biletowej ustawi y si cztery dziewczynki i pi ciu ch opców. Liczba
wszystkich mo liwych ustawie osób w tej kolejce wynosi
a) 4! + 5!.
b) 9!.
c) 4·5.
d) 4!·5!.
Przyk adowe zadania (poziom rozszerzony):
12. Rozwi równanie log5 log4 log2 x 0 .


1
13. Funkcja f jest okre lona wzorem f x 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych
x 1
x 1. Rozwi nierówno f x f 2 x .
14. Narysuj wykres funkcji f okre lonej w przedziale 2, 2 wzorem
a) f x 2x 1, b) f x 2x 1 .

15. Pole wycinka ko a o promieniu 3cm jest równe 2cm2 . Oblicz miar ukow k ta
rodkowego tego wycinka.
16. Punkty A (1, 1), B (5,5), C (3,5) s wierzcho kami trapezu równoramiennego
ABCD nieb d cego równoleg obokiem, w którym AB || CD.
a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
b) Oblicz pole tego trapezu.
17. Na okr gu zaznaczono sze ró nych punktów. Ile ró nych wielok tów wypuk ych
o wszystkich wierzcho kach w tych punktach mo na narysowa ?
18. Dla jakich warto ci parametru m reszta z dzielenia wielomianu
x17 mx15 m 2 x10 2x m2 2 przez dwumian x 1 jest równa 3?

19. Wyznacz równanie okr gu o rodku A 2,3 , stycznego do prostej o równaniu

x 2y 1 0 .
21
3) modelowania matematycznego:
dobiera model matematyczny do prostej buduje model matematyczny danej sytuacji,
sytuacji uwzgl dniaj c ograniczenia i zastrze enia
Zdaj cy potrafi, tak e w sytuacjach Zdaj cy potrafi wszystko to, co na poziomie
praktycznych: podstawowym, tak e:
poda wyra enie algebraiczne, buduje model matematyczny danej
funkcj , równanie, nierówno , sytuacji, tak e praktycznej, równie
interpretacj geometryczn , wymagaj cy uwzgl dnienia
przestrze zdarze elementarnych niezb dnych ogranicze i zastrze e
opisuj ce przedstawion sytuacj
przetworzy informacje wyra one
w jednej postaci w posta
u atwiaj c rozwi zanie problemu
oceni przydatno otrzymanych
wyników z perspektywy sytuacji, dla
której zbudowano model
Przyk adowe zadania (poziom podstawowy):
1. Dany jest prostok t o bokach a i b. Zmniejszamy d ugo boku a o 10% oraz zwi kszamy
d ugo boku b o 20%.
a) O ile procent zwi kszy si pole tego prostok ta?
b) Wyznacz d ugo boku b, dla której nowy prostok t b dzie mia taki sam obwód jak
prostok t wyj ciowy, je li wiadomo, e bok a ma d ugo 30 cm.
2. Liczb 42 przedstaw w postaci sumy dwóch sk adników tak, by ró nica ich kwadratów
by a równa 168.
1
3. Dla ka dej liczby rzeczywistej b równanie y x2 bx 2 opisuje pewn parabol .
2
Wyznacz wszystkie warto ci parametru b , dla których wierzcho ek paraboli le y nad
osi Ox.
4. Punkt B ( 1,9) nale y do okr gu stycznego do osi Ox w punkcie A (2,0) . Wyznacz
równanie tego okr gu.
5. Strzelaj c do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów
z prawdopodobie stwem 0,5, a co najwy ej 9 punktów z prawdopodobie stwem 0,7.
Oblicz prawdopodobie stwo, e ten strzelec uzyska dok adnie 9 punktów.
22
6. D ugo ramienia BC trapezu prostok tnego jest dwa razy wi ksza od ró nicy d ugo ci
jego podstaw. K t ABC ma miar
D
C
a) 30 .
b) 45 .
c) 60 .
d) 75 .
A B
Przyk adowe zadania (poziom rozszerzony):
7. Niech A b dzie zbiorem wszystkich liczb x, które spe niaj równo x 1 x 3 2 .
Niech B b dzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odleg o ci od
punktów 4 i 6 jest niewi ksza ni 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie
punkty, które nale jednocze nie do A i do B.
3 2

8. Przedzia , 0 jest zbiorem wszystkich rozwi za nierówno ci m z niewiadom

2 x

x . Oblicz m .
9. Rozpatrujemy wszystkie prostok ty o polu równym 6, których dwa s siednie boki zawarte
s w osiach Ox i Oy uk adu wspó rz dnych. Wyznacz równanie krzywej b d cej zbiorem
tych wierzcho ków rozpatrywanych prostok tów, które nie le na adnej z osi uk adu
wspó rz dnych. Narysuj t krzyw .
10. Miary pi ciu k tów tworz ci g arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ci gu jest 150 ,
a czwartym 270 . Oblicz sum sinusów tych pi ciu k tów.
11. Dane jest równanie x2 3m 2 x m 2 z niewiadom x . Sformu uj warunki, jakie
powinien spe nia parametr m, by to równanie mia o dwa ró ne pierwiastki, których suma
odwrotno ci jest dodatnia.
12. Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ci gu geometrycznego wiedz c, e s one dodatnie, ich
7
suma jest równa 21 oraz suma ich odwrotno ci jest równa .
12
13. Z szuflady, w której znajduje si 10 ró nych par r kawiczek wybieramy losowo cztery
r kawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarze elementarnych, a nast pnie oblicz
prawdopodobie stwo zdarze :
A  w ród wylosowanych r kawiczek nie b dzie pary,
B  w ród wylosowanych r kawiczek b dzie dok adnie jedna para.
23
4) u ycia i tworzenia strategii:
stosuje strategi , która jasno wynika
tworzy strategi rozwi zywania problemu
z tre ci zadania
Zdaj cy potrafi: Zdaj cy potrafi wszystko to, co na poziomie
dobra odpowiedni algorytm do podstawowym, tak e:
wskazanej sytuacji problemowej zaplanowa i wykona ci g czynno ci
ustali zale no ci mi dzy podanymi prowadz cy do rozwi zania
informacjami problemu, nie wynikaj cy wprost
zaplanowa kolejno wykonywania z tre ci zadania
czynno ci, wprost wynikaj cych
z tre ci zadania, lecz nie
mieszcz cych si w ramach
rutynowego algorytmu
krytycznie oceni otrzymane wyniki
Przyk adowe zadania (poziom podstawowy):
5 a 6
1. Podaj przyk ad liczb ca kowitych dodatnich a i b, spe niaj cych nierówno .
7 b 7
2. Stosuj c wzory skróconego mno enia roz ó na czynniki wyra enie 1 a2 2ab b2 .
3. W ci gu arytmetycznym an dane s wyrazy: a3 4, a6 19 . Wyznacz wszystkie

warto ci n, dla których wyrazy ci gu an s mniejsze od 200.

4. Liczby dodatnie a, b, c spe niaj warunek: log4 c log3 b log2 a 2 . Oblicz abc .
2
5. Ile punktów wspólnych ma okr g o równaniu x2 y 3 6 z prost o równaniu
3x y 15 0 ?
6. Zbiorem warto ci funkcji kwadratowej g jest przedzia ,5 , a zbiorem rozwi za
nierówno ci g(x) 0 jest przedzia 2, 8 . Wyznacz wzór funkcji g.
7. Rozwi równanie 2x 1 2x 4 2x 7 ... 2x 28 155 , je li wiadomo,

e sk adniki po lewej stronie s kolejnymi wyrazami pewnego ci gu arytmetycznego.
4cos 3sin
8. Wiedz c, e jest k tem ostrym i tg 2 , oblicz warto wyra enia .
3cos 5sin
9. Dany jest trójk t prostok tny ABC o przeciwprostok tnej AB, taki e sin BAC 0,3
i AC 7 . Oblicz pole ko a opisanego na tym trójk cie.
10. W uk adzie wspó rz dnych na p aszczy nie zaznaczono punkty A 2,0 i B 4,0 .

Wyznacz wszystkie mo liwe po o enia punktu C, dla których ABC jest trójk tem
równoramiennym o podstawie AB i polu równym 3.
24
11. Rzucamy trzy razy symetryczn sze cienn kostk do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarze
elementarnych, a nast pnie oblicz prawdopodobie stwo, e w ka dym rzucie liczba oczek
b dzie wi ksza od numeru rzutu.
Przyk adowe zadania (poziom rozszerzony):
12. Wyznacz wszystkie warto ci parametru p, dla których równanie x 2 x 3 p ma
dok adnie dwa rozwi zania.
a2 6a 9 a2 4a 4
13. Wyka , e dla a 2, 3 zachodzi równo 2 .

3 a a 2
14. Dane jest równanie x2 bx c 0 z niewiadom x . Wyznacz warto ci b oraz c tak, by
by y one rozwi zaniami danego równania.
15. Dane s funkcje liniowe g i h okre lone wzorami: g(x) ax b i h(x) bx a .
Wiadomo, e funkcja g jest rosn ca, a funkcja h malej ca.
a) Wyznacz pierwsz wspó rz dn punktu przeci cia wykresów tych funkcji.
b) Oblicz liczby a i b wiedz c, e wykresy funkcji g i h s prostymi prostopad ymi,
a punkt ich przeci cia le y na osi Ox.
16. Dany jest ci g an maj cy t w asno , e dla ka dej liczby naturalnej n suma

1
n pocz tkowych wyrazów tego ci gu jest równa 7n2 n . Oblicz dwudziesty wyraz

2
tego ci gu. Wyka , e an jest ci giem arytmetycznym.

17. Proste zawieraj ce ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinaj si w punkcie S. Dane s :
AB 6 , CD 2 oraz obwód trójk ta SCD równy 18 . Oblicz obwód trójk ta SAB.
18. W pewnym trapezie k ty przy dwóch przeciwleg ych wierzcho kach maj miary oraz
90 . Jedno z ramion tego trapezu ma d ugo t. Wyznacz ró nic d ugo ci podstaw
tego trapezu.
19. Czworok t ABCD jest wpisany w okr g. Dane s BC a , CD b , DAB .
Wyznacz d ugo przek tnej BD.
20. Podstaw ostros upa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku d ugo ci 4. Odcinek DS jest
wysoko ci ostros upa i ma d ugo 6. Punkt M jest rodkiem odcinka DS. Oblicz pole
przekroju ostros upa p aszczyzn BCM.
25
21. Ze zbioru liczb {1, 2,...,2n 5} wybieramy jednocze nie dwie liczby. Na ile sposobów
mo emy to zrobi , tak aby otrzyma dwie liczby takie, e:
a) ich ró nica b dzie liczb parzyst ,
b) suma ich kwadratów b dzie liczb podzieln przez cztery?
22. Narysuj przekrój równoleg o cianu p aszczyzn PQR.
P
Q
R
23. Wiedz c, e dla pewnego ci gu geometrycznego an o wyrazach dodatnich prawdziwa

jest równo S14 5 S7 , oblicz iloraz tego ci gu. Symbol Sn oznacza sum
n pocz tkowych wyrazów ci gu an .

26
5) rozumowania i argumentacji:
prowadzi proste rozumowanie, sk adaj ce tworzy a cuch argumentów i uzasadnia
si z niewielkiej liczby kroków. jego poprawno .
Zdaj cy potrafi: Zdaj cy potrafi wszystko to, co na poziomie
wyprowadzi wniosek z prostego podstawowym, tak e:
uk adu przes anek i go uzasadni wyprowadzi wniosek ze z o onego
zastosowa twierdzenie, które nie uk adu przes anek i go uzasadni
wyst puje w tre ci zadania analizowa i interpretowa
otrzymane wyniki
przeprowadzi dowód
Przyk adowe zadania (poziom podstawowy):
1. Wiadomo, e 1,5849 jest przybli eniem liczby 100,2 z zaokr gleniem do 4 miejsc po
4

5
przecinku. Wyznacz przybli enie liczby 10 z zaokr gleniem do 3 miejsc po przecinku
11
5
oraz przybli enie liczby 10 z zaokr gleniem do 1 miejsca po przecinku.
2. Wyka , e dla m 3 nierówno x2 2m 3 x 2m 5 0 jest spe niona przez
wszystkie liczby rzeczywiste x.
3. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedzia ,
w którym ta funkcja jest malej ca to 2, . Najwi ksza warto funkcji f w przedziale
8, 7 jest równa 24 . Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres.

2 3
4. W pewnym trójk cie prostok tnym suma cosinusów k tów ostrych jest równa .
3
Oblicz iloczyn sinusów tych k tów.
5. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przek tne tego trapezu przecinaj si
w punkcie S. Wyka , e SA SD SB SC .
6. Prostok t ABCD obracaj c si wokó boku AB, zakre li walec w1. Ten sam prostok t
obracaj c si wokó boku AD, zakre li walec w2. Otrzymane walce maj równe pola
powierzchni ca kowitych. Wyka , e prostok t ABCD jest kwadratem.
27
Przyk adowe zadania (poziom rozszerzony):
7. Wielomian f jest okre lony wzorem f x ax4 9x3 3x2 7x b dla pewnych liczb

3
pierwszych a oraz b. Wiadomo, ze liczba jest pierwiastkiem tego wielomianu.
2
Oblicz a i b.
8. Dane jest równanie x2 mx m 1 0 z niewiadom x . Uzasadnij, e dla ka dej liczby
ca kowitej m wszystkie rozwi zania tego równania s liczbami ca kowitymi.
9. Funkcja g jest okre lona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w nast puj cy sposób:
je li x k, k 1 dla pewnej liczby ca kowitej k, to g x kx k 1.

a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale 2,0 .
b) Uzasadnij, e funkcja g nie ma miejsc zerowych.
c) Rozwi równanie g(x) 2010 .
10. Wyka , e je eli liczby b, c, 2b a s kolejnymi wyrazami ci gu geometrycznego to
liczby ab, b2, c2 s kolejnymi wyrazami ci gu arytmetycznego.
cos 2x 1
11. Wyka , e wyra enie tgx nie jest to samo ci .
sin x cos x tgx
12. Dany jest taki czworok t wypuk y ABCD, e okr gi wpisane w trójk ty ABC i ADC s
styczne. Wyka , e w czworok t ABCD mo na wpisa okr g.
13. Dane s punkty A (2,3), B (5,4). Na prostej o równaniu y 5 wyznacz punkt C tak,
aby amana ACB mia a jak najmniejsz d ugo . Odpowied uzasadnij.
14. Trójk t ABC jest podstaw ostros upa ABCS. Punkt M jest rodkiem boku AB
i AM MC . Odcinek AS jest wysoko ci tego ostros upa. Wyka , e k t SCB jest
prosty.
15. Podstaw ostros upa ABCDS jest prostok t ABCD, w którym AB 1, BC 2 .
Wszystkie kraw dzie boczne tego ostros upa maj d ugo 1. Wyznacz warto dowolnej
funkcji trygonometrycznej k ta mi dzy dwiema s siednimi cianami bocznymi tego
ostros upa.
28
16. Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie
maturalnej (ocenionego w sze ciostopniowej skali ocen).
Dziewcz ta Ch opcy
liczba osób 11 14
rednia ocen 4,0 3,8
odchylenie standardowe 1,1 1,8
Oblicz redni ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla ca ej klasy.
Wyniki podaj z zaokr gleniem do dwóch miejsc po przecinku.
29