ZADANIA
Z INFORMATORÓW
MATURALNYCH
POZIOM
PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
Opracowała mgr Joanna Botor
SPIS TREÅšCI
1. LICZBY I DZIAA
ANIA ZADANIA ODP
- Poziom podstawowy 3 39
- Poziom rozszerzony 7 40
2. WA
ASNOÅšCI FUNKCJI ( poziom podstawowy) 8 40
3. FUNKCJA LINIOWA, KWADRATOWA, WIELOMIANOWA
- Poziom podstawowy 9 40
- Poziom rozszerzony 13 42
4. FUNKCJA LOGARYTMICZNA I WYKA
ADNICZA (poz. rozszerzony) 15 43
5. FUNKCJA WYMIERNA
- Poziom podstawowy 16 44
- Poziom rozszerzony 17 44
6. CI
GI
- Poziom podstawowy 18 45
- Poziom rozszerzony 20 45
7. TRYGONOMETRIA
- Poziom podstawowy 21 46
- Poziom rozszerzony 22 46
8. GEOMETRIA
- Poziom podstawowy 23 47
- Poziom rozszerzony 31 48
9. KOMBINATORYKA, RACH. PRAWDOPODOBIEC
STWA, STATYSTYKA
- Poziom podstawowy 33 49
- Poziom rozszerzony 37 50
2
Opracowała mgr Joanna Botor
LICZBY I DZIAA
ANIA
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba 3 Å" 9 jest równa
A. 3 B. 3 C. 9 D. 27
Zadanie 2. (1 pkt P1)
Liczba 2 Å" 4 jest równa
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
Zadanie 3. (1 pkt P2)
Liczba 2 Å" 4 jest równa
A. 2 B. 4 C. 8 D. 8
Zadanie 4. (1 pkt P3)
Liczba 8 " 16 jest równa
A. 8 B. 2 C. 8 D. 2
Zadanie 5. (1 pkt)
Liczba 3 " "9 jest równa
A. 3 B. C. 3 D. 3
Zadanie 6. (1 pkt P2)
Liczba 7 " "7 jest równa
A. 7 B. 7 C. 7 D. 7
Zadanie 7. (1 pkt P1)
Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8.
A. 3,2 B. 32 C. 100 D. 200
Zadanie 8. (1 pkt P2)
Wskaż liczbę, której 6% jest równe 6.
A. 0,36 B. 3,6 C. 10 D. 100
Zadanie 9. (1 pkt)
Liczba 30 to % liczby 80, zatem
A. < 40 B. = 40 C . = 42,5 D. > 42,5
Zadanie 10. (1 pkt)
4% liczby x jest równe 6, zatem
A. = 150 B. < 150 C. = 240 D. > 240
Zadanie 11. (1 pkt)
Liczba to 120% liczby . Wynika stąd, że
A. = + 0,2 B. = + 0,2 C. = - 0,2 D. = - 0,2
Zadanie 12. (1 pkt P3)
Płyta kosztowała 80 zł, a po obniżce 60 zł. O ile procent obniżono cenę płyty?
A. 20% B. 25% C. 33 % D. 75%
3
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 13. (1 pkt P1)
Liczba 36 jest równa
A. 2 18 B. 40 - 2 2 C. 2 4 - 3 2 D. 2 6 - 1
Zadanie 14. (1 pkt P2)
Liczba 12 jest równa
A. 3 Å" 4 B. 3 + 4 C. 16 - 4 D. 10 + 2
Zadanie 15. (1 pkt)
Liczba 24 jest równa
A. 2 2 + 20 B. 6 + 2 2 C. 2 6 - 12 D. 30 - 6
Zadanie 16. (1 pkt P3)
Liczba log 27 - 8 jest równa
A. 0 B. C. 5 D. 19
Zadanie 17. ( stand. 4)
Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek: log = log = log = 2. Oblicz .
"
Zadanie 18. (stand 1)
"
Przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zadanie 19. (stand 2)
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność < < .
Zadanie 20. (2 pkt P1)
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność < < .
Zadanie 21. (stand 2)
Liczbę 42 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, by różnica ich kwadratów była
równa 168.
Zadanie 22. (stand 4)
Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie 1 - + 2 - .
Zadanie 23. (stand 5)
Wiadomo, że 1,5849 jest przybliżeniem liczby 10 , z zaokrągleniem do 4 miejsc po
przecinku. Wyznacz przybliżenie liczby 10 z zaokrągleniem do 3 miejsc po przecinku oraz
przybliżenie liczby 10 z zaokrągleniem do 1 miejsca po przecinku.
4
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 24. (1 pkt P1)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
| | | | | | | |
A. + 2 d" 3 B. - 2 d" 3 C. - 3 d" 2 D. + 3 d" 2
Zadanie 25. (1 pkt P2)
| |
Zbiór rozwiązań nierówności - 3 e" 1 jest przedstawiony na rysunku
Zadanie 26. (1 pkt)
Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności | 2 - | d" 3 ?
Zadanie 27. (1 pkt P3)
| |
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności + 6 > 3 .
Zadanie.28. (stand 2)
Na osi liczbowej zaznaczono przedział A złożony z tych liczb rzeczywistych, których odległość
od punktu 1 jest niewiększa od 4,5. Przedział A przesunięto wzdłuż osi o 2 jednostki w
kierunku dodatnim, otrzymując przedział B. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą
jednocześnie do A i do B.
5
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 29. (stand 2)
Pan Kowalski planując wyjazd na wakacje letnie w następnym roku postanowił założyć
lokatę, wpłacając do banku 2000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat:
" lokata A  oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku,
" lokata B  oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pół
roku,
" lokata C  oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co
kwartał.
Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana
Kowalskiego.
Zadanie 30. (stand 1)
Diagram przedstawia wyniki ankiety, w której ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie
napoje piją między posiłkami. Ankietowani wybierali tylko jeden z
czterech rodzajów napojów.
Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz:
" ile procent badanych osób pije soki owocowe lub wodę
mineralnÄ…,
" ile procent badanych osób nie pije owocowych napojów
gazowanych,
" ile procent badanych osób nie pije soków warzywnych i nie pije
wody mineralnej
Zadanie 31. (2 pkt P3)
Udowodnij, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz d" d" , to - + 1 e"
Zadanie 32. (5 pkt)
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność "2 + 1 + "2 - 1 < 2
Zadanie 33. (5 pkt)
Udowodnij, że jeśli
a) x, y sÄ… liczbami rzeczywistymi, to + e" 2 .
b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że + + = 1, to + + e"
6
Opracowała mgr Joanna Botor
LICZBY I DZIAA
ANIA
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand 1)
Oblicz 2 - " - 2 + 3 .
3 "
Zadanie 2. (informator 2010 stand 3)
| | | |
Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość - 1 + - 3 = 2.
Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od
punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie
punkty, które należą jednocześnie do A i do B.
Zadanie 3. (informator 2010 stand 4)
" "
Wykaż, że dla " 2, 3 zachodzi równość + = 2
Zadanie 4. (informator 2005 5pkt)
Wykaż, że dla wszystkich " 0, 1 i dla wszystkich " 1, " jest spełniona nierówność
log + log d" -2.
Zadanie 5. (informator 2005 4pkt PP)
" ,
Dane sÄ… liczby: = i = .
a) Sprawdz
, wykonując odpowiednie obliczenia, czy liczby m i n są całkowite.
b) Wyznacz liczbę k tak, by liczby m, n, k były odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim
wyrazem ciÄ…gu geometrycznego.
7
Opracowała mgr Joanna Botor
WA
ASNOÅšCI FUNKCJI
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (1 pkt P1)
Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y = f (x).
Funkcja przedstawiona na rysunku 2. jest określona wzorem
A. = + 2 B. = - 2 C. = - 2 D. = + 2
Zadanie 2. (1 pkt P2)
Dana jest funkcja = określona dla " -1,8 , której wykres jest przedstawiony na
rysunku:
Wskaż zbiór wartości tej funkcji.
A. {-1,0,1, 2,3, 4,5,6,7,8} B. -1, 4 C. -1, 4 D. -1,8
Zadanie 3. (1 pkt)
Rysunek przedstawia wykres funkcji = .
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji = + 1 .
8
Opracowała mgr Joanna Botor
FUNKCJA LINIOWA, KWADRATOWA, WIELOMIANOWA
POZIOM PODSTAWOWY
1. Funkcja liniowa
Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu = 2 - 7 .
A. = -2 + 7 B. = - + 5 C. = + 2 D. = 2 - 1
Zadanie 2. (1 pkt P1)
Prosta l ma równanie = 2 - 11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.
A. = 2 B. = -2 C. = - D. =
Zadanie 3. (1 pkt P2)
Prosta l ma równanie = -7 + 2 . Równanie prostej prostopadłej do l i przechodzącej
przez punkt P = (0,1) ma postać
A. = 7 - 1 B. = 7 + 1 C. = + 1 D. = - 1
Zadanie 4. (1 pkt)
Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu = 4 + 5
A. = -4 + 3 B. = - + 3 C. = + 2 D. = 4 + 3
Zadanie 5. (2 pkt)
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2 - - 11 = 0 i
przechodzÄ…cej przez punkt = 1,2 .
Zadanie 6. (2 pkt)
O funkcji liniowej f wiadomo, że 1 = 2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt
= - 2,3 . Wyznacz wzór funkcji f.
Zadanie 7. (1 pkt P1)
Liczba = -7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej = 3 - + 7 dla
A. = -7 B. = 2 C. = 3 D. = -1
Zadanie 8. (1 pkt)
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej = 2 - + 1. Wynika stąd, że
A. m = 0 B. m =1 C. m = 2 D. m = 3
Zadanie 9. (1 pkt P1)
Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2 - 1 + = - 3 2 - 3 ?
A. B. - C. D. -1
Zadanie 10. (1 pkt P1)
Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności + <
A. - ", - 2 B. - ", 2 C. - 2, + " D. 2, + "
Zadanie 11. (1 pkt P2)
- 4 dla d" 3

Funkcja f jest określona wzorem =
- + 2 dla > 3
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 12. (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem = -3 + 4 dla < 1 .
2 - 1 dla e" 1
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Zadanie 13. (2 pkt)
Oblicz miejsca zerowe funkcji = 2 + 1 dla d" 0
+ 2 dla > 0
Zadanie 14. (2 pkt)
Naszkicuj wykres funkcji = 2 + 1 dla d" 0
+ 2 dla > 0
Zadanie 15. (2 pkt)
+ 3 = 5
Rozwiąż układ równań 2 - = 3
2. Funkcja kwadratowa
Zadanie.16. (stand 3)
Dla każdej liczby rzeczywistej b równanie = - + 2 opisuje pewną parabolę.
Wyznacz wszystkie wartości parametru b , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią Ox.
Zadanie.17. (stand 4)
5 , a zbiorem rozwiązań
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej g jest przedział - ",
nierówności > 0 jest przedział 2, 8 . Wyznacz wzór funkcji g.
Zadanie.18. (stand 5)
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w
którym ta funkcja jest malejąca to 2 , + " . Największa wartość funkcji f w przedziale
- 8, - 7 jest równa -24 . Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres.
Zadanie.19. (stand 1)
Podaj miejsca zerowe funkcji określonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x:
= + 2 , = - 5 + 2 , ! = 5 - 2 2 + 1 .
Zadanie.20. (stand 2)
Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej f ( x) wskaż,
które zdanie jest prawdziwe.
A. Miejscami zerowymi funkcji sÄ… liczby:  2 oraz 4.
B. Funkcja jest rosnÄ…ca w przedziale -2, 4 .
C. Funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla < 1.
D. Zbiorem wartości funkcji jest przedział -", 9
Zadanie 21. (1 pkt)
3 .
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział - ",
A. = - - 2 + 3 B. = 2 - + 3
C. = - + 2  3 D. = 2 -  3
10
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 22. (1 pkt P1)
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział -2 , " .
A. = -2 + 2 B. = - + 1 - 2
C. = 2 - 1 + 2 D. = + 1  2
Zadanie 23. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej = 3 + 1 - 4 nie ma punktów wspólnych z prostą
o równaniu
A. = 1 B. = -1 C. = -3 D. = -5
Zadanie 24. (1 pkt P2)
Wykres funkcji kwadratowej = - 3 - 2 nie ma punktów wspólnych z prostą o
równaniu
A. = -3 B. = -1 C. = 1 D. = 3
Zadanie 25. (1 pkt)
Prosta o równaniu = ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji
kwadratowej = - + 6 - 10. Wynika stąd, że
A. = 3 B. = 0 C. = -1 D. = -3
Zadanie 26. (1 pkt)
Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem = - + 4 - 11.
A. = -4 B. = -2 C. = 2 D. = 4
Zadanie 27. (1 pkt)
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej = + 4 - 3 w
przedziale 0,3 ?
A. -7 B. -4 C. -3 D. -2
Zadanie 28. (1 pkt)
Największą wartością funkcji kwadratowej = -2 + 3 - 4 jest
A. 3 B. -2 C. -4 D. 4
Zadanie 29. (2 pkt)
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej = - 6 + 1 w przedziale 0,1 .
Zadanie.30. (stand 2)
Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji = 2 - 4 + 11 w przedziale
= 0, 4 .
Zadanie 31. (2 pkt P3)
Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej = 2 - 5 + 3
w przedziale -1, 2 .
Zadanie 32. (1 pkt)
Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie + 5 + 6 = 0 jest
A. -6 B. -3 C. -2 D. -1
Zadanie 33. (1 pkt P1)
Zbiorem rozwiązań nierówności e" 9 jest
- 3
A. -", *" 3 , +" B. - 3,3 C. - 3 , + " D. 3 , +"
Zadanie 34. (1 pkt P2)
Zbiorem rozwiązań nierówności > 4 jest
A. -" - 4 *" 0, +" B. 4, " C. - ", - 2 *" 2, " D. - ", 0 *" 4, + "
11
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 35. (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności e" 5 jest
A. - ", - 5 *" 5, +" B. - ", - 5 *" 5 , +" C. 5 , +" D. 5 , +"
" " " " "
Zadanie 36. (1 pkt P3)
Zbiorem rozwiązań nierówności - 2 + 5 e" 0 jest:
-5 +" -5 +"
A. -" , *" -2 , B. -" , *" 2 ,
-2 +" 2 +"
C. -" , *" 5 , D. -" , *" 5 ,
Zadanie 37. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność + 6 - 7 d" 0 .
Zadanie 38. (2 pkt P3)
Rozwiąż nierówność 3 > 8 + 3 .
Zadanie.39. (stand 5)
Wykaż, że dla m = 3 nierówność + 2 - 3 + 2 + 5 > 0 jest spełniona przez
wszystkie liczby rzeczywiste x.
3. Wielomiany
Zadanie 40. (2 pkt P3)
Rozwiąż równanie 2 - 18 = 0 .
Zadanie 41. (2 pkt P1)
Rozwiąż równanie - 12 + - 12 = 0 .
Zadanie.42. (stand 2)
Rozwiąż równanie + = 1 + .
Zadanie 43. (2 pkt P2)
Rozwiąż równanie - 4 - 3 + 12 = 0 .
Zadanie 44. (2 pkt)
Rozwiąż równanie 2 - - 6 + 3 = 0 .
Zadanie 45. (1 pkt)
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 5 - 13 = 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Zadanie 46. (1 pkt)
Dane są wielomiany = 3 - 2 , = 2 + 3 . Stopień wielomianu
Å" jest równy
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
Zadanie 47 (1 pkt)
Dane sÄ… wielomiany = 3 - 2 + 5 oraz = 2 - 2 + 5. Wielomian
- jest równy:
A. 2 + 3 B. 2 - 3 C. -2 + 3 D. -2 - 3
Zadanie 48. (2 pkt)
Wielomiany = + i = + 2 + są równe. Oblicz a i b.
12
Opracowała mgr Joanna Botor
FUNKCJA LINIOWA, KWADRATOWA, WIELOMIANOWA
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand 4)
Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie
| - 2 + + 3 = ma dokładnie dwa rozwiązania.
| | |
Zadanie 2. (informator 2010 stand 1)
+ 5 dla < -5
.
Funkcja f jest określona wzorem = - + 2 dla - 5 d" < 5
- 6 dla e" 5
Miejscami zerowymi tej funkcji sÄ… liczby
A. -5, 2, 6
B. 2, 6
C. -5, 2
D. -5, -2, 6
Zadanie 3. (informator 2010 stand 4)
Dane są funkcje liniowe g i h określone wzorami: = + i
! = + . Wiadomo, że funkcja g jest rosnąca, a funkcja h malejąca.
a) Wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji.
b) Oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i h są prostymi prostopadłymi, a punkt ich
przecięcia leży na osi Ox.
Zadanie 4. (informator 2010 stand 5)
Funkcja g jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób: jeśli
,
" + 1 dla pewnej liczby całkowitej k, to = - - 1.
a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale - 2 , 0 .
b) Uzasadnij, że funkcja g nie ma miejsc zerowych.
c) Rozwiąż równanie = 2010 .
Zadanie 5. (informator 2007 3 pkt)
Liczba - jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej = 15 + + .
Ciąg 15, , jest arytmetyczny. Oblicz współczynniki b i c.
Zadanie 6. (informator 2008 3 pkt)
Dana jest funkcja = - 2
a) Narysuj wykres funkcji f w przedziale -4 , 3 .
| |
b Narysuj wykres funkcji = , której dziedziną jest zbiór
-5, - 2 *" -2, 2 *" 2,5 .
c) Zapisz zbiór rozwiązań nierówności < 0 .
Zadanie 7. (informator 2010 stand 3)
Dane jest równanie + 3 - 2 = - - 2 z niewiadomą x . Sformułuj warunki, jakie
powinien spełniać parametr m, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma
odwrotności jest dodatnia.
Zadanie 8. (informator 2010 stand 4)
Dane jest równanie + + = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wartości b oraz c tak, by
były one rozwiązaniami danego równania.
13
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 9. (informator 2010 stand 5)
Dane jest równanie + + - 1 = 0 z niewiadomą x . Uzasadnij, że dla każdej
liczby całkowitej m wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.
Zadanie 10. (informator 2010 stand 5)
Wielomian f jest określony wzorem = - 9 + 3 + 7 + dla pewnych
liczb pierwszych a oraz b. Wiadomo, że liczba jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Oblicz a i b.
Zadanie 11. (informator 2010 stand 2)
Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu
- + - 2 + 2 + - 2 przez dwumian - 1 jest równa 3?
Zadanie 12. (informator 2008 6 pkt)
Dany jest wielomian = + + 7 + .
a) Wyznacz wartości współczynników c i d wielomianu W, gdy jest podzielny przez
dwumian + 2 , zaÅ› przy dzieleniu przez dwumian - 1 otrzymujemy resztÄ™ 3.
b) Dla = -5 i = -3 rozwiąż nierówność d" 0 .
14
Opracowała mgr Joanna Botor
FUNKCJA LOGARYTMICZNA I WYKA
ADNICZA
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand. 2)
Rozwiąż równanie log log log = 0
Zadanie 2. (informator 2010 stand. 2)
Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale -2, 2 wzorem:
a) = 2 - 1, b) = 2
Zadanie 3. (informator 2007 3pkt)
Dane są funkcje = 3 i = . Rozwiąż nierówność >
15
Opracowała mgr Joanna Botor
FUNKCJA WYMIERNA
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (1 pkt P1)
Liczba rozwiązań równania jest równa
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Zadanie 2. (1 pkt P2)
Równanie = 3
A. ma dwa rozwiÄ…zania: = - , = 1 B. ma dwa rozwiÄ…zania: = , = 1
C. nie ma żadnego rozwiązania. D. ma tylko jedno rozwiązanie: = 1.
Zadanie 3. (1 pkt)
Rozwiązaniem równania = jest liczba
A. - B. - C. D.
Zadanie 4. (1 pkt)
Wskaż liczbę rozwiązań równania = 0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Zadanie 5. (2 pkt)
Rozwiąż równanie = -
Zadanie 6. (2 pkt)
Wyrażenie - zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.
Zadanie 7. (6 pkt P1)
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący
z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A
i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi
prędkościami jechały te pociągi.
Zadanie 8. (5-6 pkt)
Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj
rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią
prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B
wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej
prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta
jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi
prędkościami jechali obaj rowerzyści?
Zadanie 9. (5 pkt)
Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy IA mieli zapłacić 1800 złotych.
Ponieważ 4 uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15
zł więcej. Oblicz, ilu uczniów jest w klasie IA.
16
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 10. (5 pkt)
Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę
stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni
wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.
Zadanie 11. (6 pkt)
Do zbiornika o pojemności 700 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej
godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5 wody więcej niż druga rura. Czas
napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napełniania tego
zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli
woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.
FUNKCJA WYMIERNA
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand 2)
Funkcja f jest określona wzorem = - 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych `" -1.
Rozwiąż nierówność > 2 - .
Zadanie 2. (informator 2010 stand 3)
Przedział - , 0 jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności < z niewiadomą x .
Oblicz m .
Zadanie 3. (informator 2010 stand 3)
Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawarte są
w osiach Ox i Oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych
wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej z osi układu
współrzędnych. Narysuj tę krzywą.
17
Opracowała mgr Joanna Botor
CI
GI
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (stand 1, P1 2 pkt)
Dany jest ciąg określony wzorem = -1 dla = 1,2,3 & . Oblicz , i .
Zadanie 2. (1 pkt)
Ciąg jest określony wzorem = -3 9 - dla e" 1. Wynika stąd, że:
A. = -81 B. = -27 C. = 0 D. > 0
Zadanie 3. (1 pkt P2)
Ciąg jest określony wzorem = -1 - 2 dla e" 1. Wtedy:
A. > 3 B. = 3 C. < 2 D. = 2
Zadanie 4. (1 pkt P3)
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 17, a różnica tego ciągu jest równa - 2 .
Drugi wyraz tego ciągu jest równy:
A. 9 B. 11 C. 23 D. 25
Zadanie 5. (1 pkt P1)
Liczby: 1, 3, - 11, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
arytmetycznego. Liczba x jest równa:
A. 5 B. 9 C. 16 D. 20
Zadanie 6. (1 pkt)
Liczby - 1, 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa:
A. 3 ` B. 1 C. -1 D. -7
Zadanie 7. (1 pkt P1)
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-2).
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. 16 B. -16 C. 8 D. -8
Zadanie 8. (2 pkt P2)
Liczby - 2, 3, + 6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
arytmetycznego. Oblicz x.
Zadanie 9. (2 pkt)
Liczby 2, - 3 , 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu
arytmetycznego. Oblicz x.
Zadanie 10. (2 pkt)
Wyrazami ciągu arytmetycznego są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez
5 dajÄ… resztÄ™ 2. Ponadto = 12. Oblicz .
Zadanie 11. (1 pkt P2)
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. 4 B. 4 2 C. 16 D. 16 2
" "
18
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 12. (1 pkt)
Liczby -8 , 4 i + 1 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa:
A. -3 B. -1,5 C. 1 D. 15
Zadanie 13. (1 pkt P3)
W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest równy -2 ,a trzeci wyraz -18 . Iloraz tego ciągu
jest równy:
A. -9 B. -3 C. 3 D. 9
Zadanie 14. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest:
A. 25 B. 24 C. 21 D. 20
Zadanie 15. (2 pkt)
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem = - 2 - 24 dla e" 1?
Zadanie 16. (stand 4)
W ciągu arytmetycznym dane są wyrazy: = 4, = 19. Wyznacz wszystkie wartości
n, dla których wyrazy ciągu są mniejsze od 200.
Zadanie 17.(stand 4)
Rozwiąż równanie 2 + 1 + 2 + 4 + 2 + 7 +. . . + 2 + 28 = 155 , jeśli
wiadomo, że składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu
arytmetycznego.
Zadanie 18. (5 pkt)
Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93.
Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu
arytmetycznego. Oblicz a, b i c.
Zadanie 19. (5 pkt P3)
CiÄ…g , , jest arytmetyczny i + + = 33 . CiÄ…g , + 3, + 13 jest
geometryczny. Oblicz a, b i c.
Zadanie 20. (5 pkt)
Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego
wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg
geometryczny.
19
Opracowała mgr Joanna Botor
CI
GI
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand 3)
Miary piÄ™ciu kÄ…tów tworzÄ… ciÄ…g arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciÄ…gu jest 150° , a
czwartym 270 ° . Oblicz sumÄ™ sinusów tych piÄ™ciu kÄ…tów.
Zadanie 2. (informator 2010 stand 3)
Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma
jest równa 21 oraz suma ich odwrotności jest równa .
Zadanie 3. (informator 2010 stand 4)
Dany jest ciąg mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 7 - . Oblicz dwudziesty wyraz tego
ciągu. Wykaż, że jest ciągiem arytmetycznym.
Zadanie 4. (informator 2010 stand 4)
Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich prawdziwa jest
równość = 5 " , oblicz iloraz tego ciągu. Symbol oznacza sumę n początkowych
wyrazów ciągu .
Zadanie 5. (informator 2010 stand 5)
Wykaż, że jeżeli liczby , , 2 - są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby
, , sÄ… kolejnymi wyrazami ciÄ…gu arytmetycznego.
Zadanie 6. (informator 2008 6 pkt)
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym = = 1, 2, 3, & .
a) a) Sprawdz
, czy ciÄ…g jest arytmetyczny.
b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby , + 2, są kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego.
20
Opracowała mgr Joanna Botor
TRYGONOMETRIA
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (1 pkt P1)
Kąt jest ostry i = . Wtedy jest równy:
A. B. " C. D. "
Zadanie 2. (1 pkt P3)
Kąt " jest ostry i "= . Wtedy " jest równy
A. B. " C. D. "
Zadanie 3. (1 pkt)
Kąt jest ostry i sin "= . Wówczas:
" "
A. cos "< B. cos "= C. cos "= D. cos ">
Zadanie 4. (1 pkt P1)
Kąt jest ostry i = 0,9 . Wówczas
A. < 30° B. = 30° C. = 45° D. > 45°
Zadanie 5. (1 pkt P2)
Kąt jest ostry i = . Wówczas
A. < 30° B. = 30° C. = 45° D. > 45°
Zadanie 6. (1 pkt)
Kąt jest kątem ostrym i "= . Jaki warunek spełnia kąt ?
A. < 30° B. = 30 ° C. = 60° D. Ä… > 60°
Zadanie 7. (1 pkt)
| | | |
Dane są długości boków = 5 i = 3 trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym
(zobacz rysunek). Wtedy
" "
A. sin = B. sin = C. sin = D. sin =
Zadanie 8. (stand 1)
Oblicz - , gdy = sin " - cos " , = 1 - 4 sin " cos " dla "= 60°.
Zadanie 9. (stand 2)
Wiedząc, że ą jest kątem ostrym i = 2 , oblicz wartość wyrażenia " ".
" "
Zadanie 10. (2 pkt)
KÄ…t jest ostry i sin "= . Oblicz 3 + 2 ".
Zadanie 11. (2 pkt P3)
KÄ…t " jest ostry i "= . Oblicz " +1.
21
Opracowała mgr Joanna Botor
.
Zadanie 12. (2 pkt P2)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, a jeden z kątów ostrych ma
miarÄ™ . Oblicz Å" .
Zadanie 13. (stand 2)
| | | |
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym = = 10cm, wysokość
poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Odpowiedz
podaj w stopniach.
Zadanie 14. (stand 5)
W pewnym trójkÄ…cie prostokÄ…tnym suma cosinusów kÄ…tów ostrych jest równa "
Oblicz iloczyn sinusów tych kątów
TRYGONOMETRIA
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand 1)
Miary dwóch kątów trójkąta wynoszą i . Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedz
podaj
w stopniach.
Zadanie 2. (informator 2010 stand 1)
Dane jest równanie sin = + 1, z niewiadomą . Wyznacz wszystkie wartości
parametru a , dla których dane równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie 3. (informator 2010 stand 5)
Wykaż, że wyrażenie = + nie jest tożsamością.
Zadanie 4. (informator 2010 stand 3)
Miary piÄ™ciu kÄ…tów tworzÄ… ciÄ…g arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciÄ…gu jest 150° , a
czwartym 270 ° . Oblicz sumÄ™ sinusów tych piÄ™ciu kÄ…tów.
Zadanie 5. (informator 2008 3 pkt)
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 = należące do przedziału 0, 2 .
Zadanie 6. (informator 2007 4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
- 2 + - 5 = 0 z niewiadomÄ… x ma rozwiÄ…zanie.
22
Opracowała mgr Joanna Botor
GEOMETRIA
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (1 pkt stand. 1)
Wskaż równanie okręgu o środku w punkcie = -1, 2 i promieniu = 2 :
"
A. + 1 + - 2 = 2 ,
B. + 1 + - 2 = 2
"
C. - 1 + + 2 = 2
D. + 1 - - 2 = 2
"
Zadanie 2. (1 pkt P2)
Wskaż równanie okręgu o środku w punkcie = -1, 2 i promieniu = 2 :
A. - 1 + + 2 = 2 ,
B. + 1 + - 2 = 2
C. - 1 + + 2 = 4
D. + 1 + - 2 = 4
Zadanie 3. (1 pkt)
Środek S okręgu o równaniu + + 4 - 6 - 221 = 0 ma współrzędne
A. = -2,3 B. = 2, -3 C. = -4,6 D. = 4, -6
Zadanie 4. (1 pkt P3)
Dany jest okrąg o równaniu - 5 + + 1 = 25. Długość tego okręgu jest równa
. 25 B. 10 C. 6 D. 2
Zadanie 5. (1 pkt P1)
Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu = - + 2 z okręgiem o środku w
początku układu współrzędnych i promieniu 2?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Zadanie 6. (1 pkt)
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu + 3 + - 1 = 4 z osiami układu
współrzędnych jest równa
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Zadanie 7. (stand. 4)
Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu + - 3 = 6 z prostą o równaniu
3 + - 15 = 0
Zadanie 8. (2 pkt)
Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt = 3, - 5 .
Zadanie 9. (2 pkt)
Wyznacz równanie okręgu o środku = 3, - 5 przechodzącego przez początek układu
współrzędnych.
Zadanie 10. (stand.2)
Punkt = -1,9 należy do okręgu stycznego do osi Ox w punkcie A = (2,0) . Wyznacz
równanie tego okręgu.
Zadanie 11. (2 pkt P3)
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez
środek okręgu o równaniu + - 2 + 4 - 5 = 0 .
23
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 12. (1 pkt P1)
Punkty = 1, - 2 , = 4, 2 są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC.
Wysokość tego trójkąta jest równa:
A. " B. " C. " D. "
Zadanie 13. (1 pkt P3)
Punkty -3,1 i 2, 3 są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Obwód tego kwadratu jest
równy
A. 4 5 B. 4 17 C. 4 21 D. 4 29
" " " "
Zadanie 14. (1 pkt)
Punkty = -1,3 i = 7, 9 są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD.
Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy
A. 10 B. 6 2 C. 5 D. 3 2
" "
Zadanie 15. (2 pkt P2)
Punkty = - 3, - 5 , = 4, -1 , = - 2,3 są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego. Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
Zadanie 16. (1 pkt P3)
Prosta o równaniu = 5 - + 3 przechodzi przez punkt = 4,3 . Wtedy
A. = 20 B. = 14 C. = 3 D. = 0
Zadanie 17. (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są
punkty: = - 2, -1 , = 6,1 , = 7,10 .
Zadanie 18. (2 pkt)
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2 - - 11 = 0
i przechodzÄ…cej przez punkt = 1,2 .
Zadanie. 19. (2 pkt P3)
Sprawdz
, czy czworokÄ…t ABCD, gdzie -3, - 1 , 53, - 2 , 54, 4 , - 2,3 jest
równoległobokiem. Odpowiedz
uzasadnij.
Zadanie 20. (stand.2)
Oblicz odległość punktu A od środka odcinka BC, gdzie = 1,3 , = 4, 7 , = -2, -3 .
Zadanie 21. (4 pkt P3)
Punkty -9, - 3 i 5, 5 są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, w którym AB
jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że leży on na osi Ox.
Zadanie 22. (stand.4)
W układzie współrzędnych na płaszczyz
nie zaznaczono punkty = 2,0 i = 4,0 .
Wyznacz wszystkie możliwe położenia punktu C, dla których ABC jest trójkątem
równoramiennym o podstawie AB i polu równym 3.
24
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 23. (1 pkt P1)
Drut o długości 27 m pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 2: 3: 4.
Jaką długość ma najkrótsza z tych części?
A. 4,5 m B. 6 m C. 6,75 m D. 9 m
Zadanie 24. (1 pkt P3)
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 6. Wysokość tego trójkąta jest
równa
A. 12 3 B. 18 C. 9 D. 6 3
" "
Zadanie 25. (stand.4)
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB, taki że !" = 0,3 i
| |
= 7 . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 26. (1 pkt P2)
Różnica miar dwóch sÄ…siednich kÄ…tów wewnÄ™trznych równolegÅ‚oboku jest równa 30° . KÄ…t
rozwarty tego równoległoboku jest równy
A. 105° B. 115° C. 125° D. 135°
Zadanie 27. (1 pkt P2)
Odcinki AB i CD są równoległe. Długości odcinków AB, CD i AD są podane na rysunku. Długość
odcinka DE jest równa
A. 44 B. 40 C. 36 D. 15
Zadanie 28. (1 pkt)
Odcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku. Długość
odcinka DE jest równa
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
Zadanie 29. (1 pkt P3)
Wysokość CD trójkąta równoramiennego ABC jest równa 8, a ramię AC ma długość 10.
Podstawa AB tego trójkąta ma długość
A. 12 B. 6 C. 89 D. 2 41
" "
Zadanie 30. (1 pkt)
Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe
A. 64 cm2 B. 32 cm2 C. 16 cm2 D. 8 cm2
Zadanie 31. (1 pkt P1)
Zaznaczony na rysunku kąt ą jest równy
A. 50° B. 40° C. 30° D. 10°
25
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 32. (1 pkt P3)
Punkty A, B, C, D, E, F, G, H dzielą okrąg na 8 równych łuków. Miara kąta GAD zaznaczonego
na rysunku jest równa
A. 45° B. 62,5° C. 67,5° D. 75°
Zadanie 33. (1 pkt)
KÄ…t miÄ™dzy ciÄ™ciwÄ… AB a stycznÄ… do okrÄ™gu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miarÄ™ = 62°.
Wówczas
A. = 118° B. = 124°
C. = 138° D. = 152°
Zadanie 34. (1 pkt)
KÄ…t Å›rodkowy i kÄ…t wpisany sÄ… oparte na tym samym Å‚uku. Suma ich miar jest równa180°.
Jaka jest miara kąta środkowego?
A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°
Zadanie 35. (stand.3)
Długość ramienia BC trapezu prostokątnego jest dwa razy większa od różnicy długości
jego podstaw. KÄ…t ABC ma miarÄ™
°
A. 30 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 75 .
Zadanie 36. (1 pkt)
Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest
równolegÅ‚obokiem, jest równa 40°. Miara kÄ…ta przy krótszej podstawie tego trapezu jest
równa
A. 120° B. 110° C. 80° D. 70°
Zadanie 37. (5 pkt)
| | | | | |
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym = 30 , = 40 , = 50 . Punkt
W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny
do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.
Zadanie 38. (5 pkt)
| | | | | |
Na zewnÄ…trz trójkÄ…ta prostokÄ…tnego ABC, w którym !" = 90° oraz = 5, =
| |
12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt !" =
90° . Oblicz pole trójkÄ…ta HAE.
26
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 39. (2 pkt)
| |
Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym =
| |
. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki
| | | | | |
sposób, że = = (patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta
ABC.
Zadanie 40. (stand.2)
| | | |
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym = = 10 , wysokość
poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Odpowiedz
podaj w stopniach.
Zadanie 41. (stand.2)
Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S,
przy czym kÄ…t SAB ma miarÄ™ 40° . Oblicz miarÄ™ kÄ…ta CAB.
Zadanie 42. (2 pkt)
| | | | | |
Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym = 24 = = 13.
Zadanie 43. (2 pkt)
Liczby 4, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.
Zadanie 44. (2 pkt)
Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.
Zadanie 45. (2 pkt)
Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c.
Zadanie 46. (2 pkt)
Liczby x -1, x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x.
Zadanie 47. (2 pkt)
Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy
46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.
Zadanie 48. (2 pkt)
Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d . Długość boku c to 90%
długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta
o bokach a i b stanowi pole prostokÄ…ta o bokach c i d .
Zadanie 49. (stand.3)
Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy
długość boku b o 20%.
a) O ile procent zwiększy się pole tego prostokąta?
b) Wyznacz długość boku b, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak
prostokąt wyjściowy, jeśli wiadomo, że bok a ma długość 30 cm.
27
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 50. (2 pkt)
Punkty D i E dzielą bok BC trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że pole
trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC.
Zadanie 51. (5 pkt)
| |
Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym =
| |
. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki
| | | | | | | |
sposób, że = oraz = (patrz rysunek). Udowodnij, że
| | | |
!" = 5 Å" !" .
Zadanie 52. (2 pkt)
| | | |
Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by !" = !" . Odcinek AE jest
| | | |
dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że = .
Zadanie 53. (2 pkt)
Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB CD.
| | | | | |
Udowodnij, że !" = !" + !" .
Zadanie 54. (stand.5)
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. PrzekÄ…tne tego trapezu przecinajÄ… siÄ™ w
| | | | | | | |
punkcie S. Wykaż, że Å" = Å" .
Zadanie 55. (2 pkt)
| | | |
Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że = .
Zadanie 56. (5 pkt)
Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że
| | | | | | | |
+ = +
Zadanie 57. (5 pkt)
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach
odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P
leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym
półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że
| | | |
!" + !" = 180° .
28
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 58. (1 pkt P2)
Pewien wielościan ma 6 krawędzi. Liczba jego ścian jest równa
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
Zadanie 59. (1 pkt P3)
Ostrosłup ma 12 krawędzi. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa
A. 12 B. 9 C. 8 D. 7
Zadanie 60. (1 pkt P2)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Objętość tego sześcianu jest
równa
A. 64 B. 27 C. 24 D. 8
Zadanie 61. (1 pkt P2)
PrzekÄ…tna prostopadÅ‚oÅ›cianu o wymiarach 3 × 4 × 5 ma dÅ‚ugość
A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D. 2 15
" " " "
Zadanie 62. (1 pkt)
PrzekÄ…tna prostopadÅ‚oÅ›cianu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma dÅ‚ugość
A. 13 B. 29 C. 34 D. 38
" " " "
Zadanie 63. (1 pkt)
Przekątna sześcianu ma długość 3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A. 54 B. 36 C. 18 D. 12
Zadanie 64. (2 pkt)
Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
Zadanie 65. (1 pkt P3)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Objętość tego sześcianu jest równa
A. 27 B. 81 C. 243 D. 729
Zadanie 66. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 cm2. Objętość tego sześcianu jest
równa
A. 8 B. 16 C. 27 D. 64
29
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 67. (2 pkt)
Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.
Zadanie 68. (5 pkt P2)
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest
środkiem krawędzi AB , odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają
długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.
Zadanie 69. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta
| | | |
równoramiennego ACS jest równe 120 oraz 6" = 10 6" 13 . Oblicz pole powierzchni
bocznej tego ostrosłupa.
Zadanie 70. (5 pkt P1)
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędz
boczna jest
nachylona do pÅ‚aszczyzny podstawy pod kÄ…tem 40° . Oblicz objÄ™tość tego ostrosÅ‚upa.
Zadanie 71. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD,
odcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli
| | | |
wiadomo, że = 15, = 17 .
Zadanie 72. (stand.2)
W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem ą. Wiadomo, że = 0,2 . Wyznacz objętość tego
graniastosłupa.
30
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 73. (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6. Pole powierzchni
bocznej tego stożka jest równe
A. 12Ä„ B. 18Ä„ C. 27Ä„ D. 36Ä„
Zadanie 74. (1 pkt P1)
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego
stożka jest kołem o promieniu
A. 12 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 1 cm
Zadanie 75. (1 pkt)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa
A. 18Ä„ B. 54Ä„ C. 108Ä„ D. 216Ä„
Zadanie 76. (2 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość
stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Zadanie 77. (stand.5)
Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB, zakreślił walec . Ten sam prostokąt
obracając się wokół boku AD, zakreślił walec . Otrzymane walce mają równe pola
powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem.
31
Opracowała mgr Joanna Botor
GEOMETRIA
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand.2)
Punkty = 1, 1 , = 5,5 , = 3,5 są wierzchołkami trapezu równoramiennego
ABCD niebędącego równoległobokiem, w którym || .
a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
b) Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 2. (informator 2010 stand.2)
Wyznacz równanie okręgu o środku = (2,3) , stycznego do prostej o równaniu
- 2 + 1 = 0 .
Zadanie 3. (informator 2008 4 pkt)
Dane są punkty A = (- 4, 32) i B = (- 36, 16). Wykaż, że koło o średnicy AB jest zawarte
w II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.
Zadanie 4. (informator 2010 stand.5)
Dane są punkty = (2,3), = (5,4). Na prostej o równaniu = 5 wyznacz punkt C tak,
aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedz
uzasadnij.
Zadanie 5. (informator 2008 5 pkt)
Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o równaniu
+ = 25 . Punkty A i B leżą na prostej o równaniu = - 5 .
a) Oblicz współrzędne punktów: A, B, C.
b) Oblicz kąty trójkąta ABC.
Zadanie 6. (informator 2010 stand.4)
Proste zawierajÄ…ce ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinajÄ… siÄ™ w punkcie S. Dane sÄ…:
| | | |
"
= 6 , = 2 oraz obwód trójkąta SCD równy 18 . Oblicz obwód trójkąta SAB.
Zadanie 7. (informator 2010 stand.4)
W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary ą oraz
90° + . Jedno z ramion tego trapezu ma dÅ‚ugość t. Wyznacz różnicÄ™ dÅ‚ugoÅ›ci podstaw tego
trapezu.
Zadanie 8. (informator 2010 stand.4)
| | | | | |
CzworokÄ…t ABCD jest wpisany w okrÄ…g. Dane sÄ… = , = , !" = .
Wyznacz długość przekątnej BD.
Zadanie 9. (informator 2010 stand.5)
Dany jest taki czworokąt wypukły ABCD, że okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne.
Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.
Zadanie 10. (informator 2010 stand.2)
Pole wycinka koła o promieniu 3cm jest równe 2cm2 . Oblicz miarę łukową kąta środkowego
tego wycinka.
Zadanie 11. (informator 2008 6 pkt)
Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie
| |
AB i krótszej CD. Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że | | =
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus kÄ…ta CBD .
32
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 12. (informator 2008 3 pkt)
Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich
kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa
400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go
do jednego metra.
Zadanie 13. (informator 2008 4 pkt)
W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F boków AB i BC,
zaś M i N to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AC (patrz rysunek).
a) Uzasadnij, że odcinki AM, MN i NC są jednakowej długości.
b) Uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.
Zadanie 14. (informator 2010 stand.4)
Narysuj przekrój równoległościanu płaszczyzną PQR.
Zadanie 15. (informator 2010 stand.5)
| | | |
Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS. Punkt M jest środkiem boku AB i = .
Odcinek AS jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.
Zadanie 16. (informator 2010 stand.4)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest
wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole
przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM.
Zadanie 17. (informator 2010 stand.5)
| | | |
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, w którym = 1, = 2 .
"
Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowolnej
funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego
ostrosłupa.
Zadanie 18. (informator 2008 6 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa
a. KÄ…t miÄ™dzy krawÄ™dziÄ… bocznÄ… i krawÄ™dziÄ… podstawy ma miarÄ™ 45° . OstrosÅ‚up przeciÄ™to
płaszczyzną przechodzącą przez krawędz
podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi
bocznej. SporzÄ…dz
rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego
przekroju.
33
Opracowała mgr Joanna Botor
KOMBINATORYKA. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA.
STATYSTYKA.
POZIOM PODSTAWOWY
Zadanie 1. (1 pkt P1)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
A. 16 B. 20 C. 24 D. 25
Zadanie 2. (1 pkt P3)
{ } { }
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru 3, 4,5 i jedną liczbę ze zbioru 2,3 . Na ile sposobów
można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Zadanie 3. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest
A. 25 B. 24 C. 21 D. 20
Zadanie 4. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest
A. 16 B. 20 C. 25 D. 30
Zadanie 5. (1 pkt)
Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie,
jest równa
A. 25 B. 20 C. 15 D. 12
Zadanie 6. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje
jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?
Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.
Zadanie 7. (stand 2)
W kolejce do kasy biletowej ustawiły się cztery dziewczynki i pięciu chłopców. Liczba
wszystkich możliwych ustawień osób w tej kolejce wynosi:
A. 4! + 5! B. 9! C. 4 " 5 D. 4! " 5!
Zadanie 8. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?
Zadanie 9. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry
jedności?
Zadanie 10. (2 pkt)
Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile
jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych
punktów ?
Zadanie 11.( 5pkt)
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych
ze zbioru {0, 1, 2, 3}.
34
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 12. (1 pkt P3)
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie słupkowym.
Średnia ocen ze sprawdzianu jest równa
A. 4 B. 3,6 C. 3,5 D. 3
Zadanie 13. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa
A. 1 B. 1,2 C. 1,5 D. 1,8
Zadanie 14. (2 pkt)
Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości
Zadanie 15. (2 pkt)
Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.
Zadanie 16. (2 pkt P2)
Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, x, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz x
i medianę tych pięciu ocen.
Zadanie 17. (1 pktP1)
Wyniki sprawdzianu z matematyki sÄ… przedstawione na diagramie
Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa
A. 6 B. 5 C. 4,5 D. 4
Zadanie 18. (1 pkt)
Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa
A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
Zadanie 19. (1 pkt)
Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa
Wartość 0 1 2 3
liczebność 5 2 1 1
A. 0 B. 0,5 C. 1 D. 5
35
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 20. (2 pkt)
Oblicz medianÄ™ danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.
Zadanie 21. (2 pkt)
Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności
Wartość 0 1 2 3
liczebność 4 3 1 1
Zadanie 22. (1 pkt P2)
O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że: P(A) = 0,5 , = 0,3 *" = 0,7 .
Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek
A. )" = 0,2 B. )" > 0,3 C. )" < 0,2 D. )" = 0,3
Zadanie 23. (1 pkt)
O zdarzeniach losowych A i B sÄ… zawartych w © wiadomo, że B ‚" A ,
= 0,7 = 0,3. Wtedy
A. *" = 1 B. *" = 0,7 C. *" = 0,4 D. *" = 0,3
Zadanie 24. (stand 2)
O zdarzeniach losowych A i B wiemy że: = , = , *" = . Oblicz:
a) )" ,
b) - .
Zadanie 25. (2 pkt)
A i B sÄ… takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w ©, że A ‚" B oraz = 0,3 i
= 0,4 . Oblicz *" .
Zadanie 26. (2 pkt)
A i B sÄ… takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w ©, że ‚" oraz = 0,3 i
= 0,7 . Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \ .
Zadanie 27. (1 pkt)
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jednÄ… liczbÄ™. Liczba p jest
prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy
A. < 0,25 B. = 0,25 C. = D. >
Zadanie 28. (1 pkt P1)
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jednÄ… liczbÄ™. Liczba p jest
prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy
A. < 0,3 B. = 0,3 C. = D. >
Zadanie 29. (stand 3)
Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów
z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7.Oblicz
prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów.
Zadanie 30.(stand 4)
Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń
elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek
będzie większa od numeru rzutu.
36
Opracowała mgr Joanna Botor
Zadanie 31. (4 pkt P1)
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone.
W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe , 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy
po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.
Zadanie 32. (4 pkt P2)
Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie
ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1.
Zadanie 33. (2 pkt)
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jednÄ… liczbÄ™. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.
Zadanie 34. (2 pkt)
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jednÄ… liczbÄ™. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
Zadanie 35. (2 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania iloczynu oczek równego 5.
Zadanie 36. (5 pkt)
Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy
po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej
jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.
37
Opracowała mgr Joanna Botor
KOMBINATORYKA. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA.
STATYSTYKA.
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (informator 2010 stand 2)
Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o
wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować?
Zadanie 2 . (informator 2010 stand 4)
Ze zbioru liczb {1, 2, . . . ,2 + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów
możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:
a) ich różnica będzie liczbą parzystą,
b) suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?
Zadanie 3. (informator 2010 PR stand 3)
Z szuflady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery
rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz
prawdopodobieństwo zdarzeń:
A  wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary,
B  wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para.
Zadanie 4. (informator 2010 stand 5)
Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie
maturalnej (ocenionego w sześciostopniowej skali ocen).
Oblicz średnią ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy. Wyniki
podaj z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku.
Zadanie 5. (informator 2008 4 pkt)
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym = dla każdej liczby naturalnej e" 1.
Ze zbioru liczb & , losujemy kolejno, trzy razy po jednej liczbie
, , , ,
ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A  wylosujemy trzy liczby całkowite,
które będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego.
38
Opracowała mgr Joanna Botor
ODPOWIEDZI
LICZBY I DZIAA
ANIA
POZIOM PODSTAWOWY
NR ZAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ODP A A B D C B D D A A B B D B B A
Zad. 17. 24
Zad. 18. -
Zad. 19. Np. = 11, = 14
Zad. 20. Np. = 1, = 2
Zad. 21. = 23, = 19
Zad. 22. 1 - + 1 + -
Zad. 23. 10 H" 0,158; 10 H" 158,5
NR ZAD 24 25 26 27
ODP A A C C
{-1, }
Zad. 28. 0, 1, 2,3, 4, 5
Zad. 29. Lokata A
Zad. 30. 60%, 85%, 39%
Zad. 31. Przekształćmy nierówność: - + - e" 0 Ò! - - - e" 0 Ò!
- - 1 e" 0. Z podanych założeń wyrażenia w obydwu nawiasach są nieujemne, co
dowodzi żądanej nierówności.
Zad. 32. Obie strony są dodatnie, więc możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.
2 - 1 + 2 + 1 + 2 - 1 2 + 1 < 2
2
2 " 2 + 2 2 - 1 < 4 " 2
2 2 - 1 < 2 " 2 /: 2
2 - 1 < 2
Ponownie podnosimy obie strony do kwadratu.
2 - 1 < 2
-1 < 0
Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa. Ponieważ przekształcenia były
równoważne, dowodzi to prawdziwości wyjściowej nierówności.
Zad. 33.
a) + e" 2 Ò! + - 2 e" 0 Ò! - e" 0.
b) mamy pokazać, że + + e" czyli 3 + + e" 1.
Z warunków zadania mamy, że + + = 1, czyli + + = 1 .
Wiemy także, że + + = + + + 2 + + .
Musimy więc udowodnić: 3 + + e" + + + 2 + + .
Po uproszczeniu i przeniesieniu na prawÄ… stronÄ™ 2 + 2 + 2 - 2 - 2 - 2 e" 0.
GrupujÄ…c odpowiednio wyrazy po lewej stronie otrzymamy:
- 2 + + - 2 + + - 2 + = - + - + - .
Suma kwadratów jest zawsze większa lub równa zero, więc nierówność została
udowodniona.
39
Opracowała mgr Joanna Botor
LICZBY I DZIAA
ANIA
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. Oblicz 2 - " - 2 + 3 = 2
3 "
Zad. 2.
{ }
)" = 3
Zad. 5. a) = 6 " , = 4 " b) =
WA
ASNOÅšCI FUNKCJI
POZIOM PODSTAWOWY
Zad. 1. B Zad.2. C Zad. 3. D
FUNKCJA LINIOWA, KWADRATOWA, WIELOMIANOWA
POZIOM PODSTAWOWY
1. Funkcja liniowa
Zad. 1. D Zad.2. A Zad. 3. C Zad. 4. B
Zad. 5. = 2
Zad. 6. = - +
NR ZAD 7 8 9 10 11 12
ODP B D C D A A
Zad. 13. " -
Zad. 14.
Zad. 15. = 2, = 1
40
Opracowała mgr Joanna Botor
2. Funkcja kwadratowa
Zad. 16. " -2, 2
Zad. 17. = - - 2 - 8 lub = - + - lub = - - 5 + 5
Zad. 18. = - - 5 + 1 lub = - + + lub = - - 2 + 3
{ } { }
Zad. 19. 1) " 0, -2 2) " 5, -2 3) " , -
NR ZAD
20 21 22 23 24 25 26 27 28
ODP A A D D A C C C C
Zad. 29. = -4
Zad. 30. = 27, = 9
Zad. 31. = 10, = -
NR ZAD 32 33 34 35 36
ODP B A D B B
Zad. 37. " -7, 1
Zad. 38. " -", - *" 3, "
Zad. 39. Dla m = 3, " < 0 zatem " .
3. Wielomiany
{-3, }
Zad. 40. " 0, 3
{ }
Zad. 41. " 12
{ }
Zad. 42. " 1
Zad. 43. " -" "
3, 3, 4
Zad. 44. " -" "
3, 3,
Zad. 45. B Zad. 46. B Zad. 47. C
Zad. 48. = 1, = 1
41
Opracowała mgr Joanna Botor
FUNKCJA LINIOWA, KWADRATOWA, WIELOMIANOWA
POZIOM ROZSZERZONY
Zad.1. " 5, "
Zad. 2. B
Zad. 3. a) = 1 b) = 1, = -1
,
Zad. 4. a) wyobraz
sobie jak funkcja g wygląda w kolejnych przedziałach + 1 i tak dla
" -2 , -1 = -2 + 1 , zaÅ› dla " -1 , 0 = -
b) wyznacz miejsce zerowe: = i rozwiąż nierówność: d" < + 1 '" "
c) = - - 1- jest to funkcja liniowa
,
Znajdz
my zbiór wartości funkcji g w przedziale " + 1 (chcemy określić dla jakich
całkowitych k, liczba 2010 należy do zbioru wartości funkcji)
= - - 1 i + 1 = + 1 - - 1 = - 1
Mamy trzy możliwości:
1) = 1, funkcja jest stała = -1, równanie nie ma rozwiązań
2) < 0, funkcja jest malejąca, zatem zbiór wartości (w danym przedziale) to przedział:

- 1 , - - 1
Rozwiążmy nierówność: , - 1 < 2010 d" - - 1 mamy układ nierówności:
- 1 < 2010

- - 1 e" 2010
" -" "
2011; 2011
, co daje w przybliżeniu:
po rozwiÄ…zaniu:
" "
"
" -" , *" ,
" -44,8; 44,8

-44,3 *" 44,3 , " zatem brak jakichkolwiek całkowitych ujemnych k.
" -" ,
3) > 0 , funkcja jest rosnąca, zatem zbiór wartości (w danym przedziale) to przedział:

- - 1 , - 1
Rozwiążmy nierówność: - - 1 d" 2010 < - 1, mamy układ nierówności:
- - 1 d" 2010
- 1 > 2010
" -", -" "
2011 *" 2011, "

po rozwiązaniu: co daje w przybliżeniu:
" "
" ,
" -", -44,8 *" 44,8, "
jedyne dodatnie całkowite k to = 45.
" -44,3, 44,3
46
Zatem: = 45 - 46 dla " 45 , , mamy równanie 45 - 46 = 2010, więc
46
= 45 " 45 ,
Rozwiązaniem równania jest = 45 .
42
Opracowała mgr Joanna Botor
Zad.5. = 8, = 1
Zad. 6.
a) b) c) " -2, 2
" > 0

Zad. 7. Ò! " -2, -
+ > 0
= =

Zad. 8. Po rozwiÄ…zaniu: = 0 (" = 1 .
= 0 = -2
+ = - = +
| | | |
| |
Zad. 9. " = - 2 , więc = = . Po rozwiązaniu otrzymujemy:
"
= - + 1 " , = 1 " .
Zad. 10. = 2, = 3
Zad. 11. = 2 (" = -2
3
Zad. 12. a) = 9, = -14 b) " -" ,
FUNKCJA LOGARYTMICZNA I WYKA
ADNICZA
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. = 16
Zad. 2.
, ,
a) = 2 = 2 - 1 b = 2 = 2
"
Zad. 3. " " ,
43
Opracowała mgr Joanna Botor
FUNKCJA WYMIERNA
POZIOM PODSTAWOWY
Zad. 1. C Zad. 2. A Zad.3. D Zad. 4. B
Zad. 5. =
Zad. 6.
Zad. 7. = 45 , = 54
Zad. 8. = 14 , = 7
Zad. 9. 24 uczniów
Zad. 10. Czytał 15 dni.
Zad. 11. V  pojemność zbiornika = 700m3
" - zbiornik napełniany I rurą
" - zbiornik napełniany II rurą
= 5 +
= - 16
" = 700
5 + - 16 = 700
" = 700
700
Ò! = 56, = 40
= 5 + Ò!
=
= - 16
700 700 700 1
+ = Ò! = 23 !
56 40 3
FUNKCJA WYMIERNA
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. " -1, 1 *" 3, "
Zad. 2. = -
Zad. 3.
= Ä… .
44
Opracowała mgr Joanna Botor
CI
GI
POZIOM PODSTAWOWY
Zad. 1. = 0, = - , = .
NR ZAD 2 3 4 5 6 7
ODP C C D C B A
Zad. 8. = 1
Zad. 9. = 7
Zad. 10. = 72
NR ZAD 11 12 13 14
ODP A A D C
{ }
Zad. 15. 5 wyrazów ( " 1, 2, 3, 4, 5 )
{ }
Zad. 16. " 1, 2, & , 42
Zad. 17. =
Zad. 18. 31, 31, 31 (" 3, 15, 75
Zad.19. 7, 11, 15 (" 28, 11, -7
Zad. 20. = 3 - 7
CI
GI
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. -
Zad. 2. 3, 6, 12 (" 12, 6, 3
Zad. 3. = 136, - = 7 =
Zad. 4. = 1 (" = 4
"
Zad. 5. D-d
Zad. 6. a) - = - = b) = 0
45
Opracowała mgr Joanna Botor
TRYGONOMETRIA
POZIOM PODSTAWOWY
NR ZAD 1 2 3 4 5 6 7
ODP B B D A D A C
Zad. 8.  =
Zad. 9. " " = -
" "
Zad. 10. 3 + 2 "= 3
Zad. 11. " +1 =
Zad. 12. Å" =
Zad. 13. 30°, 30°, 120°
Zad. 14. Å" =
TRYGONOMETRIA
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. 114°
Zad. 2. " - { }
0
Zad. 3. D-d
Zad. 4. -
Zad. 5. " , , ,
7, 3 *" 3, 7
Zad. 6. " -" -" " "
46
Opracowała mgr Joanna Botor
GEOMETRIA
POZIOM PODSTAWOWY
NR ZAD 1 2 3 4 5 6
ODP A C A B C C
Zad. 7. Brak punktów wspólnych
Zad. 8. - 3 + + 5 = 9
Zad. 9. - 3 + + 5 = 34
Zad. 10. - 2 + - 5 = 25
Zad. 11. = -2
Zad. 12. A Zad. 13. D Zad. 14. C
Zad. 15. = 65
"
Zad. 16. A
Zad. 17. = 2 - 4
Zad. 18. = 2
| | | |
Zad. 19. `"
| |
Zad. 20. = 1
Zad. 21. = 6, 0 , = -10, 0
Zad. 22. = - , , = ,
Zad. 23. B Zad. 24. C
Zad. 25. =
Zad. 26. A Zad. 27. B Zad. 28. C
NR ZAD 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
ODP A B C A B A C B C C B
Zad. 37. Poprowadz
wysokość trójkąta i oblicz jej długość. Oblicz długość promienia okręgu
wpisanego w trójkąt. Oblicz długości odcinków na jakie podzieliły boki trójkąta punkty
styczności z okręgiem wpisanym. Trójkąt utworzony z odcinka CM i wysokości jest
| |
prostokÄ…tny. ! = 24, = 10, = 2 145.
"
Zad. 38. " <" " . = .
Zad. 39. 36°, 72°, 72°.
Zad. 40. 30°, 30°, 120°.
Zad. 41. 65°
Zad. 42. = 60
Zad. 43. = 10
Zad. 44. = 10 (" = 6
Zad. 45. = 8 (" = 2 34
"
Zad. 46. = 5 (" = 6
| |
Zad. 47. = 16
Zad. 48. Stanowi 108%.
Zad. 49. a) o 8%, b) = 15
NR ZAD 58 59 60 61 62 63 65 66
ODP A D D C D C A A
47
Opracowała mgr Joanna Botor
Zad. 64. = 162
"
Zad. 67. sin "=
| |
Zad. 68. = 9
Zad. 69. = 20 313
"
Zad. 70. = 484,9
"
Zad. 71. =
Zad. 72. =
Zad. 73. B
Zad. 74. B
Zad. 75. B
Zad. 76. = 60
GEOMETRIA
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. a) = - + 6 b) = 6
Zad. 2. - 2 + - 3 =
Zad. 4. 4, 5
" "
Zad. 5. a) 0, -5 , 5, 0 , , b) 45°, 67,5°, 67,5°
Zad. 6. 9 2
"
Zad. 7. " ("
| |
Zad. 8. = " + + 2 "
Zad. 10.
"
| |
Zad. 11. a) = b) "" =
| |
Zad. 12. = H" 585
°
Zad. 13. Zauważ, że " ~" oraz " ~" i =
Zad. 14.
Zad. 16. = 15
" "
Zad. 17. "= , "= - , "= -"
2
"
Zad. 18. = .
48
Opracowała mgr Joanna Botor
KOMBINATORYKA. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA. STATYSTYKA.
POZIOM PODSTAWOWY
NR ZAD 1 2 3 4 5 7
ODP B A C B B D
Zad. 6. 2125
Zad. 8. 9
Zad. 9. 72
Zad. 10. 30 trójkątów
Zad. 11. 10 392
Zad. 12. B Zad. 13. A
Zad. 14. = 0,9
Zad. 15. = 7
Zad. 16. = 3, = 3
Zad. 17. B Zad. 18. A Zad. 19. A
Zad. 20. = 1
Zad. 21 = 1
Zad. 22. C Zad. 23. B
Zad. 24. )" = , - =
Zad. 25. *" = 0,4
Zad. 26. \ = 0,4
Zad. 27. B Zad. 28. A
Zad. 29. )" = 0,2
Zad. 30. =
Zad. 31. =
Zad. 32. =
Zad. 33. =
Zad. 34. =
Zad. 35. =
Zad. 36. = 0,7
49
Opracowała mgr Joanna Botor
KOMBINATORYKA. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA. STATYSTYKA.
POZIOM ROZSZERZONY
Zad. 1. + + + 1 = 42
Zad. 2. a) Liczb parzystych jest + 2, liczb nieparzystych jest + 3.
Wybieramy 2 parzyste lub 2 nieparzyste. Zatem: + = + 2 .
b) Stwierdzamy, że obie liczby muszą być parzyste. Z poprzedniego podpunktu
wiemy, że jest ich , więc jest takich par.
" " "
Zad. 3. = , =
" " "
Zad. 4. = 3,9, = 1,5
Zad. 5. =
50
Opracowała mgr Joanna Botor