Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 1
W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w
eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
" Zwycięzca eliminacji, nazywany graczem nr. 1 otrzymuje 10 losów,
" Osoba, która zajęła drugie miejsce w eliminacjach, nazywana graczem nr. 2,
otrzymuje 9 losów,
" Osoba, która zajęła trzecie miejsce w eliminacjach, nazywana graczem nr. 3,
otrzymuje 8 losów,
" ..........................................................................................
" Osoba, która zajęła dziesiąte miejsce w eliminacjach, nazywana graczem nr.
10, otrzymuje 1 los.
Jeden spośród 55 losów przynosi wygraną. Oblicz wartość oczekiwaną numeru
gracza, który posiada wygrywający los.
(A) 4
(B) 3
10
(C)
3
(D) 5
(E) 6
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 2
Niech zmienna losowa Sn będzie liczbą sukcesów w n próbach Bernoulliego z
prawdopodobieństwem sukcesu p . O zdarzeniu losowym A wiemy, że
k
Pr(A | Sn = k) = a dla k = 0,1,...,n ,
n
gdzie a jest znanÄ… liczbÄ…, 0 < a d" 1. Oblicz E(Sn | A) .
(A) pn +1- p
(B) ap(n +1)
(C) p(n +1)
(D) pn +1
(E) apn +1
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 3
Rozważmy próbkÄ™ X1,..., X z rozkÅ‚adu jednostajnego na odcinku [0,¸ ] (z
n
nieznanym prawym koÅ„cem ¸ ). Niech M = max(X1,..., X ) . Należy zbudować
n
przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla ¸ na poziomie 90%. Chcemy, żeby ten przedziaÅ‚ byÅ‚
postaci [aM ,bM ] , gdzie liczby a i b są tak dobrane, żeby
Pr(¸ < aM ) = Pr(¸ > bM ) = 0.05.
Podaj długość tego przedziału.
n n
(A) ( 0.95 - 0.05 ) M
ëÅ‚ öÅ‚
n
(B) ìÅ‚ 20 -1 ÷Å‚ M
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ 20 öÅ‚
n
n
(C) ìÅ‚ 20 - ÷Å‚ M
ìÅ‚ ÷Å‚
19
íÅ‚ Å‚Å‚
n
(D) ( 19 ) M
ëÅ‚ 20 öÅ‚
n
n
(E) ìÅ‚ 20 - ÷Å‚ ¸
ìÅ‚ ÷Å‚
19
íÅ‚ Å‚Å‚
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 4
Rozważmy sumę losowej liczby zmiennych losowych:
N
S = SN = X .
" i
i=1
Przyjmijmy typowe dla kolektywnego modelu ryzyka założenia: składniki Xi
mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, są niezależne od siebie nawzajem
i od zmiennej losowej N . Przyjmijmy oznaczenia:
2 2
E(X ) = µ, Var(Xi ) = Ã , E(N) = m, Var(N) = d .
i
Podaj współczynniki a*,b* funkcji liniowej a*S + b* , która najlepiej przybliża
zmienną losową N w sensie średniokwadratowym:
E{(a*S + b* - N)2}= min E{(aS + b - N)2}
a,b
1
(A) a* = , b* = 0
µ
2 2
µd m2Ã
(B) a* = , b* =
2 2 2 2 2 2
µ d + mà µ d + mÃ
2 2 2
µ d mÃ
(C) a* = , b* =
2 2 2 2 2 2
µ d + mà µ d + mÃ
2 2 2
md µ Ã
(D) a* = , b* =
2 2 2 2 2 2
µ d + mà µ d + mÃ
2 2 2
md µ Ã
(E) a* = , b* =
2 2 2 2
m2d + µÃ m2d + µÃ
Wskazówka: Oblicz Cov(N, S) i Var(S) .
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 5
Niech X1,..., X16 będzie próbką z rozkładu jednostajnego o gęstości danej wzorem:
1/¸ dla 0 d" x d" ¸;
Å„Å‚
f¸ (x) =
òÅ‚0 w przeciwnym przypadku.
ół
Zmienne losowe X1,..., X16 nie są w pełni obserwowalne. Obserwujemy zmienne
losowe Yi = min(Xi ,10) . Oblicz estymator najwiÄ™kszej wiarogodnoÅ›ci ¸Ć parametru
¸ na podstawie nastÄ™pujÄ…cej próbki:
(Y1,...,Y16 ) = ( 4, 8, 10, 5, 10, 9, 7, 5, 8, 10, 6, 10, 3, 10, 6, 10)
(A) ¸Ć = 13.333
(B) ¸Ć = 16
(C) ¸Ć = 10
(D) ¸Ć = 20
(E) nie można zastosować metody największej wiarogodności do tych danych
Wskazówka: Zauważ, że w próbce jest 10 obserwacji mniejszych od 10 oraz 6
obserwacji o wartości równej 10.
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 6
Rozważmy następujące zagadnienie testowania hipotez statystycznych. Dysponujemy
próbkÄ… X1,..., X z rozkÅ‚adu normalnego o nieznanej Å›redniej µ i znanej wariancji
n
równej 1. Przeprowadzamy najmocniejszy test hipotezy H0 : µ = 0 przeciwko
alternatywie H1 : µ = 1 na poziomie istotnoÅ›ci Ä… = 1/ 2 . OczywiÅ›cie, moc tego testu
zależy od rozmiaru próbki. Niech ²n oznacza prawdopodobieÅ„stwo bÅ‚Ä™du drugiego
rodzaju, dla rozmiaru próbki n .
Wybierz poprawne stwierdzenie:
²n
(A) lim = 1 (wraz ze wzrostem n , prawdopodobieÅ„stwo ²n maleje do zera z
n"
1/ n
podobną szybkością, jak ciąg 1/ n ).
²n
(B) lim = 1 (wraz ze wzrostem n , prawdopodobieÅ„stwo ²n maleje do zera z
n"
1/ n2
podobną szybkością, jak ciąg 1/ n2 ).
²n
(C) lim = 1 (wraz ze wzrostem n , prawdopodobieÅ„stwo ²n maleje do zera z
2
n"
e-n / 2
2
podobną szybkością, jak ciąg e-n / 2 ).
²n
(D) lim = 1 (wraz ze wzrostem n , prawdopodobieÅ„stwo ²n maleje do
n"
e-n / 2 / 2Ä„ Å" n
zera z podobnÄ… szybkoÅ›ciÄ…, jak ciÄ…g e-n / 2 / 2Ä„ Å" n ).
(E) żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 7
Wybieramy losowo 5 kart spośród 52. Rozważmy następujące zdarzenia losowe:
Ae"1 = { wśród wybranych kart jest przynajmniej 1 as };
Ae"2 = { wśród wybranych kart są przynajmniej 2 asy };
A = { wśród wybranych kart jest as pikowy }.
pik
Oblicz prawdopodobieństwa warunkowe Pr(Ae"2 | Ae"1) i Pr(Ae"2 | A ) .
pik
Wybierz prawidłową odpowiedz
:
(A) Pr(Ae"2 | Ae"1) = Pr(Ae"2 | A ) = 0.1222
pik
(B) Pr(Ae"2 | Ae"1) = 0.2214 i Pr(Ae"2 | A ) = 0.1222
pik
(C) Pr(Ae"2 | Ae"1) = 0.1222 i Pr(Ae"2 | A ) = 0.2214
pik
(D) Pr(Ae"2 | Ae"1) = Pr(Ae"2 | A ) = 0.2214
pik
(E) Pr(Ae"2 | Ae"1) = 0.3214 i Pr(Ae"2 | A ) = 0.4537
pik
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 8
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych,
przy tym E[X ] = E[Y ] = 0 , Var[X ] = 1 i Var[Y ] = 3.
Oblicz Pr[| X | < | Y |] .
(A) Pr[| X | < | Y |] = 0.6333
(B) Pr[| X | < | Y |] = 0.7500
(C) Pr[| X | < | Y |] = 0.5000
(D) Pr[| X | < | Y |] = 0.6667
(E) Pr[| X | < | Y |] = 0.7659
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 9
Niech X1,..., X będzie próbką z rozkładu o gęstości danej wzorem:
n
Å„Å‚
x1/¸ -1
dla 0 < x < 1;
ôÅ‚
¸
ôÅ‚
f¸ (x) =
òÅ‚
ôÅ‚0 w przeciwnym przypadku.
ôÅ‚
ół
Znajdz
estymator najwiÄ™kszej wiarogodnoÅ›ci ¸Ć parametru ¸ i oblicz bÅ‚Ä…d
średniokwadratowy (ryzyko) tego estymatora,
R(¸ ) = E¸ [(¸Ć -¸ )2 ] .
1 1
ëÅ‚¸ öÅ‚
(A) R(¸ ) = +
ìÅ‚ ÷Å‚
n2 íÅ‚ ¸
Å‚Å‚
2
¸
(B) R(¸ ) =
n
1
(C) R(¸ ) =
n¸
1 1
ëÅ‚¸ öÅ‚
(D ) R(¸ ) = +
ìÅ‚ ÷Å‚
n ¸
íÅ‚ Å‚Å‚
1
(E) R(¸ ) =
2
n¸
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Zadanie 10
Rozpatrzmy następujący model regresji liniowej bez wyrazu wolnego:
Yi = ² Å" xi + µi (i = 1,....,n ),
gdzie xi sÄ… znanymi liczbami, ² jest nieznanym parametrem, zaÅ› µi sÄ… bÅ‚Ä™dami
losowymi. Zakładamy, że
2
E[µi ] = 0 i Var[µi ] = xi2Ã (i = 1,....,n ).
Ć
Skonstruuj estymator ² parametru ² o nastÄ™pujÄ…cych wÅ‚asnoÅ›ciach:
n
Ć Ć
² jest liniowÄ… funkcjÄ… obserwacji, tzn. jest postaci ² = Yi ,
"c
i
i=1
Ć Ć
² jest nieobciążony, tzn. E² = ² ,
Ć
² ma najmniejszÄ… wariancjÄ™ spoÅ›ród estymatorów liniowych i nieobciążonych.
Yi
"xi
Ć
(A) ² =
2
"xi
- x)Yi
1
"(xi
Ć
(B) ² = , gdzie x =
"xi
- x)2 n
"(xi
"Yi
Ć
(C) ² =
"xi
1 Yi
Ć
(D) ² =
"
n xi
xiYi
"
Ć
(E) ² =
"xi
Wskazówka: Można wyprowadzić poprawny wzór rozwiązując zadanie minimalizacji,
albo skorzystać z Twierdzenia Gaussa-Markowa.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r.
Egzamin dla Aktuariuszy z 11 paz
dziernika 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko ........................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
PESEL ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 A
2 A
3 C
4 B
5 B
6 D
7 C
8 D
9 B
10 D
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11