Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1. Obserwujemy działanie pewnego urządzenia w kolejnych chwilach
t = 0,1,2,K.. Działanie tego urządzenia zależy od pracy dwóch podzespołów A i B.
Każdy z nich może ulec awarii w jednostce czasu z prawdopodobieństwem 0,1
niezależnie od drugiego. Jeżeli jeden z podzespołów ulega awarii, to urządzenie nie
jest naprawiane i działa dalej wykorzystując drugi podzespół. Jeżeli oba podzespoły
są niesprawne w chwili t, to następuje ich naprawa i w chwili t+1 oba są sprawne.
Prawdopodobieństwo, że podzespół B jest sprawny w chwili t dąży, przy t dążącym
do nieskończoności, do następującej liczby (z dokładnością do 0,001):
(A) 0,635
(B) 0,655
(C) 0,345
(D) 0,474
(E) 0,602.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2. Niech X1, X ,K, X ,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
2 n
jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
Å„Å‚Ä…e-Ä…x gdy x > 0
f (x) =
òÅ‚
0 gdy x d" 0,
ół
gdzie Ä… > 0 jest ustalonym parametrem.
Niech N będzie zmienną losową, niezależną od X1, X ,...., X ,..., o rozkładzie
2 n
n + r
ëÅ‚ -1
öÅ‚
ujemnym dwumianowym P(N = n) = ìÅ‚ ÷Å‚ pr (1 - p)n dla n = 0,1,2,...... , gdzie
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
r>0 i p " (0;1) sÄ… ustalonymi parametrami. Niech
min(X1, X ,K, X ) gdy N > 0
Å„Å‚
2 N
Z =
òÅ‚
N
0 gdy N = 0.
ół
Oblicz E(NZ ) i Var(NZ ) .
N N
1 1
(A) E(NZ ) = i Var(NZ ) =
N N
2
Ä… Ä…
1 - pr 1 - pr
(B) E(NZ ) = i Var(NZ ) =
N N
2
Ä… Ä…
1 - pr 1 - p2r
(C) E(NZ ) = i Var(NZ ) =
N N
2
Ä… Ä…
r(1- p) r(1 - p)
(D) E(NZ ) = i Var(NZ ) =
N N
2
pÄ…
p2Ä…
1 - pr 1 - p2r
(E) E(NZ ) = i Var(NZ ) = .
N N
Ä… Ä…
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3. Niech (X ,Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Å„Å‚
e- x gdy x > 0 i y "(0;1)
f (x, y) =
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku.
ół
Niech Z = X + 2Y . Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, X jest taki, że
(A) zmienne Z i X są niezależne;
(B) jego funkcja gęstości na zbiorze {(z, x) : 0 < x < z < 2} wyraża się wzorem
1
g(z, x) = e-x ;
4
(C) E(Z | X = 2) = 4 ;
(D) jego funkcja gęstości na zbiorze {(z, x) : 0 < x < z < 2 + x} wyraża się wzorem
1
g(z, x) = e- x ;
2
(E) jego funkcja gęstości na zbiorze {(z, x) : 0 < x < z < 1+ x} wyraża się wzorem
g(z, x) = e- x .
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4. Dysponujemy N + 1 (N>1) identycznymi urnami. Każda z nich zawiera
N kul białych i czarnych. Liczba kul białych w i - tej urnie jest równa i -1, gdzie
i =1,2,...., N + 1.
Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana
kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny
(bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę białą.
N -1
(A)
2(N +1)
N
(B)
2(N +1)
N -1
(C)
N +1
2
(D)
3
1
(E) .
2
(N -1)N(N +1)
Wskazówka: 1Å" 2 + 2 Å" 3 + 3Å" 4 +K + (N -1)N = .
3
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5. Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
2 n
Weibulla o gęstości
Å„Å‚
x2
ôÅ‚2
x exp(- ) gdy x > 0
f¸ (x) =
òÅ‚¸
¸
ôÅ‚
0 gdy x d" 0,
ół
gdzie ¸ > 0 jest nieznanym parametrem. Rozważamy nieobciążony estymator
2 2
parametru ¸ postaci Tn = aY , gdzie Y = min(X12 , X ,K, X ) i a jest odpowiednio
2 n
dobraną stałą (być może zależną od liczebności próby n).
Badając zgodność estymatora Tn otrzymujemy
(A) "¸ > 0 "µ > 0 lim P¸ {| Tn -¸ |> µ} = 0 ;
n"
ëÅ‚ µ µ öÅ‚
öÅ‚÷Å‚ ;
(B) "¸ > 0 "0 < µ < ¸ lim P¸ {| Tn -¸ |> µ} = 1 - exp(-1)ìÅ‚expëÅ‚ öÅ‚ - expëÅ‚- ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚
n"
¸
íÅ‚¸ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ µ µ öÅ‚
öÅ‚÷Å‚ ;
(C) "¸ > 0 "µ > 0 lim P¸ {| Tn -¸ |> µ} = 1 - exp(-1)ìÅ‚expëÅ‚ öÅ‚ - expëÅ‚- ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚
n"
¸
íÅ‚¸ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
µ
öÅ‚
(D) "¸ > 0 "0 < µ < ¸ lim P¸ {| Tn -¸ |> µ} = expëÅ‚-1- ÷Å‚
;
ìÅ‚
n"
¸
íÅ‚ Å‚Å‚
(E) "¸ > 0 "µ > 0 lim P¸ {| Tn -¸ |> µ} = 1.
n"
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. Każda ze zmiennych losowych X1, X ,K, X100 ma rozkład normalny
2
2 2
N(µ,à ) z nieznanÄ… wartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… i znanÄ… wariancjÄ… à . ZaÅ‚ożono, że
zmienne są niezależne i wyznaczono (przy tych założeniach) test jednostajnie
najmocniejszy dla testowania hipotezy H : µ = µ0 przy alternatywie H1 : µ > µ0 na
0
poziomie istotności 0,05.
W rzeczywistości zmienne losowe X1, X ,K, X100 mają łączny rozkład normalny, ale
2
1
są skorelowane i współczynnik korelacji Corr(X , X ) = dla wszystkich i `" j .
i j
10
Oblicz faktyczny błąd pierwszego rodzaju testu z dokładnością do 0,01.
(A) 0,75
(B) 0,25
(C) 0,31
(D) 0,69
(E) 0,48
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. Niech X1, X , X , X będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy
2 3 4
czym zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej m i wariancji
i
im2 , i=1,2,3,4, gdzie m `" 0 jest nieznanym parametrem. Rozważamy estymatory
parametru m postaci
Ć
m = a1 X1 + a2 X + a3 X + a4 X .
2 3 4
Znalez
ć współczynniki ai , i =1,2,3,4 , dla których estymator ma najmniejszy błąd
Ć
średniokwadratowy , czyli współczynniki minimalizujące funkcję Em (m - m)2
1
(A) a1 = a2 = a3 = a4 =
4
12 6 4 3
(B) a1 = , a2 = , a3 = , a4 =
25 25 25 25
4 3 2 1
(C) a1 = , a2 = , a3 = , a4 =
10 10 10 10
4 3 2 1
(D) a1 = , a2 = , a3 = , a4 =
12 12 12 12
12 6 4 3
(E) a1 = , a2 = , a3 = , a4 =
37 37 37 37
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. Niech X1, X ,K, X ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
2 n
rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 0,5 i niech N będzie zmienną
losową niezależną od X1, X ,K, X ,K, o rozkładzie Poissona z wartością
2 n
oczekiwaną równą 3.
Niech
0 gdy X d" d
Å„Å‚
i
Yi =
òÅ‚
- d gdy X > d,
ółX i i
gdzie d jest ustaloną liczbą dodatnią. Wyznaczyć funkcję tworzącą momenty
N
zmiennej Z = w punkcie 1, a więc E(eZ ) .
"Yi
i=1
-2 d
(A) e3(2e -1)
-2 d
(B) e3e
(C) e3
(D) (1 + e-2d )3
(E) 8e-6d .
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Zmienne losowe X1, X ,K, X są niezależne i mają jednakową wariancję
2 n
2
à . Niech U = 3X1 + X +K+ X i V = X1 + X + K+ X + 2X . Wyznaczyć
2 n 2 n-1 n
współczynnik korelacji między U i V .
1
(A)
n + 8
n + 3
(B)
n + 8
n + 3
(C)
(n + 2)(n + 1)
n + 3
(D)
n + 8
n + 3
(E) .
(n + 2)(n + 1)
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. Niech X1, X , X , X będzie próbą z rozkładu jednostajnego o gęstości
2 3 4
Å„Å‚
ôÅ‚1
gdy x "(0;¸ )
f¸ (x) =
òÅ‚
¸
ôÅ‚
ół0 w przeciwnym przypadku.
ZakÅ‚adamy, że nieznany parametr ¸ jest zmiennÄ… losowÄ… o rozkÅ‚adzie z funkcjÄ…
gęstości daną wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚4 4
¸ e-2¸ gdy ¸ > 0
Ä„ (¸ ) =
òÅ‚
3
ôÅ‚
0 gdy ¸ d" 0.
ół
HipotezÄ™ H :¸ d" 3 przy alternatywie H1 :¸ > 3 odrzucamy dla tych wartoÅ›ci
0
(x1, x2 , x3 , x4 ) , dla których prawdopodobieÅ„stwo a posteriori zbioru {¸ :¸ > 3 } jest
1
większe niż . Niech x4:4 = max(x1, x2 , x3, x4 ) .
2
Obszar krytyczny jest zbiorem postaci
(A) K = {(x1, x2 , x3 , x4 ) : x4:4 > 3}
(B) K ={(x1, x2 , x3 , x4 ) : x4:4 > 34 0,95}
ln 2
Å„Å‚(x üÅ‚
(C) K = , x2 , x3 , x4 ) : x4:4 > 3 -
òÅ‚ żł
1
2
ół þÅ‚
Å„Å‚ 3 üÅ‚
(D) K = , x2 , x3 , x4 ) : x4:4 <
òÅ‚(x żł
1
4
2
ół þÅ‚
(E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 11 paz
dziernika 2004 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko : ......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 A
2 C
3 D
4 D
5 B
6 C
7 E
8 B
9 B
10 C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11