WYDZIAA
ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI
KATEDRA URZ
DZEC
ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ÅšWIETLNEJ
GEOMETRIA I GRAFIKA INŻYNIERSKA
Przykładowe zadania z rozwiązaniami - część 3
Zad. 9. Wykreślić aksonometrię kawaler-
ską wielościanu mając dane jego trzy
rzuty główne. Przyjąć y = 1/2, ł
 Å‚ = 45°.
 Å‚
 Å‚
Wielościan należy umieścić w prostokąt-
nym układzie współrzędnych. Do każde-
go rzutu należy wprowadzić i wyskalować
osie układu współrzędnych. Ponieważ
rzutowana bryła powstała przez wycięcia
Rys. 9.1. Rzuty główne
z sześcianu, najwygodniej za jednostkę
bryły powstałej przez
długości przyjąć długość krawędzi
wycięcia z sześcianu
sześcianu.
Jak wynika z rysunku wycięcia z sześ-
cianu wymagają podziału krawędzi
sześcianu na dwie części.
Powstała bryła jest symetryczna, spróbuj-
my zatem wyznaczyć współrzędne tylko
dwóch punktów pokazanych na rysunku
obok.
Punkty te, to wierzchołki kwadratu
pokazanego w rzucie poziomym liniÄ…
A(1/2, 1, 1/2)
kreskową (krawędzie niewidoczne w tym
rzucie). Współrzędne punktu A, odczytane
B(1, 1/2, 1/2)
z rzutu poziomego, to xA = 1/2, yA = 1.
Analizując rzut pionowy i boczny można
Rys. 9.2. Rzuty główne
wyznaczyć współrzędną zA = 1/2.
bryły w układzie
współrzędnych Oxyz
Współrzędna z punktu A nie może być równa 1 - bo w widoku z góry punkt A wyznaczony
jest przez krawędzie niewidoczne. Nie może być również zA = 0, ze względu na symetrię
bryły.
Podobną analizę można przeprowadzić dla punktu B, a także pozostałych dwóch wierzchoł-
ków kwadratu niewidocznego w widoku z góry.
Konstrukcję najlepiej zacząć od narysowania aksonometrii kawalerskiej sześcianu, a następnie
pokazać na jego tle szukaną bryłę przez odmierzenie współrzędnych punktów i wykonanie
wycięć zgodnie z zadanymi rzutami.
Punkt A będzie środkiem ściany czołowej sześcianu - patrz rzut pionowy czyli widok z przodu.
Punkt B będzie środkiem ściany bocznej sześcianu - patrz widok z boku (rzut boczny).
Środek ściany (kwadratu) najlepiej wyznaczyć rysując jego przekątne. Można więc w ten
sposób wyznaczyć położenia punktów A i B zamiast odmierzać współrzędne.
Rys. 9.2. Rzuty główne
bryły w układzie
Rys. 9.3. Aksonometria sześcianu z
współrzędnych Oxyz
naniesionymi widokami z przodu i z boku
- powtórzenie
na jego ścianach: czołowej i bocznej
Punkty A i B należy połączyć - wykreślamy krawędz
pokazanÄ… liniÄ… kreskowÄ… na rzucie
poziomym. Na rzucie aksonometrycznym krawędz
ta będzie widoczna. Biorąc pod uwagę
symetrię bryły, można wyznaczyć pozostałe krawędzie łączące środki ścian pionowych bryły. Z
rzutów można domniemywać, że istnieją wszystkie wierzchołki sześcianu, istnieją także
krawędzie utworzone przez przekątne ścian widoczne w rzucie pionowym i bocznym.
Wykreślając krawędzie bryły przy uwzględnieniu jej symetrii otrzymujemy bryłę pokazaną na
rysunku poniżej.
Rysunek z prawej strony pokazuje bryłę po usunięciu wyciętych części (wymazaniu
nieistniejących krawędzi).
Rys. 9.4. Aksonometria zadanej bryły na tle sześcianu (a) i bryła (wielościan) wycięta z sześcianu (b)
Zad. 10. Wykreślić aksonometrię wojskową wielościanu mając dane jego trzy rzuty główne.
Rys. 10.1. Rzuty główne
wielościanu powstałego
przez wycięcia z sześcianu
Wielościan należy umieścić w prostokątnym układzie współrzędnych. Do każdego rzutu
należy wprowadzić i wyskalować osie układu współrzędnych. Ponieważ rzutowana bryła
powstała przez wycięcia z sześcianu, najwygodniej za jednostkę długości przyjąć długość
krawędzi sześcianu.
Wykonanie wycięć związane jest z po-
działem krawędzi sześcianu na trzy
części. Dlatego też, jednostkę długości
(którą stanowi długość krawędzi
sześcianu) odmierzoną na osiach
układu współrzędnych, też podzielimy
na trzy części. Taki podział wystarczy
do określenia współrzędnych
wszystkich wierzchołków zadanej
bryły.
Ponieważ, zadana bryły ma dość dużo
wierzchołków i wiele z nich się
pokrywa, spróbujmy narysować bryłę
bez określania współrzędnych
poszczególnych punktów pomagając
wyobraz
ni w inny sposób.
Rys. 10.2. Rzuty główne wielościanu w układzie
współrzędnych Oxyz
Narysujmy aksonometrię wojskową sześcianu i na widokach: z przodu, z góry i z boku
naszkicujmy rzuty: pionowy, poziomy i boczny. Wyobraz
nia powinna nam
podpowiedzieć w jaki sposób zrealizować wycięcia aby wykreślić szukaną bryłę.
Rysunek 10.3 pozwala nam na narysowanie
aksonometrii zadanego wielościanu zgodnego
z danymi rzutami głównymi. Krawędzie
widoczne rysujemy liniÄ… grubÄ… a niewidoczne
liniÄ… cienkÄ… kreskowÄ….
Rys. 10.3. Aksonometria sześcianu z nanie-
sionymi widokami bryły: z przodu, z boku
i z góry, na jego ścianach: czołowej, bocz-
nej i górnej
Rys. 10.4. Aksonometria wojskowa wielościanu
otrzymana przez wycięcia z sześcianu
Zad. 11. Wykreślić aksonometrię wojskową wielościanu mając dane jego trzy rzuty główne.
Podobnie jak przy poprzednich zadaniach wielo-
ścian należy umieścić w prostokątnym układzie
współrzędnych. Do każdego rzutu należy dory-
sować i wyskalować osie układu współrzędnych.
Ponieważ rzutowana bryła powstała przez
wycięcia z sześcianu, najwygodniej za jednostkę
długości przyjąć długość krawędzi sześcianu.
Widoczne krawędzie związane z wycięciem na
widoku z przodu i z boku, mają współrzędną
z= 1/2, wynikają więc z podziału krawędzi
sześcianu na połowy.
Rys. 11.1. Rzuty główne bryły powstałej przez
wycięcia z sześcianu
Wyznaczono współrzędne tylko
dwóch punktów, A i B, będących
wierzchołkami szukanego wielościa-
nu a które nie są wierzchołkami
sześcianu. Punkty te zostały
następnie zaznaczone na aksono-
metrii sześcianu pokazanej na
rysunku 11.3.
Rys. 11.2. Rzuty główne wielościanu w układzie
współrzędnych Oxyz
Ponieważ krawędz
AB jest na głównych
rzutach prostokÄ…tnych widoczna (narysowana
jest linią grubą ciągłą), musi być więc też
widoczna w rzucie aksonometrycznym.
Wykonane wycięcie pokazuje rysunek 11.4.
Rys. 11.3. Aksonometria sześcianu z na-
niesionymi punktami A i B oraz
naniesionymi widokami z przodu i z boku
na ścianach: czołowej i bocznej
Rys. 11.4. Szukana aksonometria
wielościanu opisanego rzutami głównymi
Zad. 12. Wykreślić aksonometrię wojskową przekroju wielościanu (powstałego przez
wycięcia z sześcianu) płaszczyzną ą(1,2,3), określoną przez trzy punkty leżące na jego
Ä…
Ä…
Ä…
krawędziach.
Przez punkty należące jednocześnie do
dwóch nierównoległych płaszczyzn musi
przechodzić krawędz
przecięcia tych
płaszczyzn. Aby jednoznacznie określić
krawędz
przecięcia wystarczą dwa
punkty wspólne. Przez punkty 1, 2 i 3
przechodzi płaszczyzna tnąca,
zauważamy, że punkty 2 i 3 należą także
do ściany wielościanu leżącej na
płaszczyz
nie określonej osiami zy. Przez
punkty 2 i 3 musi przechodzić krawędz

przecięcia płaszczyzny tnącej i ściany
wielościanu a więc należąca do przekroju
wielościanu zadaną płaszczyzną.
Rys. 12.1. Aksonometria wielościanu z naniesionymi
trzema punktami należącymi do płaszczyzny tnącej
Możemy przedłużyć krawędz
Å‚Ä…czÄ…cÄ…
punkty 2 i 3 aż do przecięcia z osiami
z i y - będzie to krawędz
przecięcia
płaszczyzny tnącej z płaszczyzną
określoną osiami zy. Punkt A, leżący
na osi y, należy także do płaszczyzny
xy. Do płaszczyzny xy należy także
punkt 1. Ponieważ punkt A i 1 należą
także do płaszczyzny tnącej, przez
punkty te musi przechodzić krawędz

przecięcia tych płaszczyzn. Odcinek
1-4 jest krawędzią przecięcia płasz-
czyzny tnącej i ściany wielościanu
leżącej na płaszczyz
nie xy.
Rys. 12.2. Wyznaczanie aksonometrii przekroju
wielościanu - sposób wyznaczenia krawędzi 2-3 i 1-4
Wiedząc, że na płaszczyznach
równoległych, przecinanych płaszczyzną
tnącą, krawędzie przecięć są równoległe,
możemy przez punkt 3 poprowadzić
krawędz
równoległą do krawędzi 1-4.
Otrzymamy punkt 5 należący do
przekroju bryły. Zgodnie z tą zasadą,
możemy z punktu 1 poprowadzić
krawędz
równoległą do 2-3.
Otrzymujemy punkty 6 i 7 należące do
przekroju. A
Ä…czÄ…c punkty 2 i 4 oraz 5 i 6
należące jednocześnie do dwóch
płaszczyzn, otrzymujemy krawędzie na
ścianach równoległych do płaszczyzny
xz. Krawędzie te muszą być równoległe -
takie będą przy dokładnie wykonanej
konstrukcji.
Rys. 12.3. Wyznaczanie aksonometrii przekroju wielościanu -
sposób wyznaczenia krawędzi 5-3, 6-7, 2-4 i 5-6
Do wykonania przekroju brakuje nam jednego punktu - leżącego na krawędzi CE (rys. 12.4).
W celu wyznaczenia położenia tego punktu musimy posłużyć się pomocniczą konstrukcją.
Oznaczamy punktami B, C, D i E
wierzchołki wielościanu należące do
płaszczyzny ściany BCE. Przez punkty
D i E prowadzimy prostą aż do
przecięcia z prostą przechodzącą przez
punkty 1 i 4. Wyznaczony punkt F
należy jednocześnie do płaszczyzny
tnącej i do płaszczyzny ściany BCE - tak
jak punkt 7. Prowadzimy więc prostą
przez te punkty aż do przecięcia z
krawędzią CE. Otrzymujemy szukany
punkt 8 należący do przekroju.
Rysujemy brakujące krawędzie 1-8 i 7-8.
Punkty 1-2-3-4-5-6-7-8 tworzÄ… szukanÄ…
aksonometriÄ™ przekroju.
Po pogrubieniu krawędzi i zakreskowa-
niu otrzymujemy rzut przedstawiony na
rysunku 12.5.
Rys. 12.4. Wyznaczanie aksonometrii przekroju wielościanu -
sposób wyznaczenia krawędzi 1-8 i 7-8
Rys. 12.5. Aksonometria przekroju bryły - figura Rys. 12.5. Aksonometria wielościanu po
zakreskowana usunięciu jednej z części przeciętej bryły
Wykonując przekrój na kolokwium, nie należy wycierać żadnej z linii konstrukcyjnych.
Zad. 13. Wykreślić aksonometrię wojskową przekroju bryły (powstałej przez wycięcia
z sześcianu) płaszczyzną ą
ą(1,2,3), określoną przez trzy punkty leżące na jej krawędziach.
Ä…
Ä…
Punkty 1 i 3 należą jednocześnie do dwóch
płaszczyzn - płaszczyzny tnącej i ściany
bryły na krawędziach której punkty te leżą.
Przez punkty te możemy poprowadzić
krawędz
przecięcia. Odcinek 1-3 należy do
przekroju bryły.
Rys. 13.1. Aksonometria bryły z naniesionymi trzema
punktami należącymi do płaszczyzny tnącej
Prowadząc krawędz
przez przez punkty
1 i 3 aż do przecięcia z osią y,
otrzymujemy punkt A Punkt ten jest
punktem wspólnym trzech płaszczyzn:
płaszczyzny tnącej, płaszczyzny
określonej osiami zy i płaszczyzny
określonej osiami xy. Do dwóch
płaszczyzn - płaszczyzny tnącej i płasz-
czyzny xy należy punkt 2. A
Ä…czÄ…c punkt
A z punktem 2 znajdujemy krawędz
2-4
należącą do przekroju.
Trzecią krawędz
otrzymujemy Å‚Ä…czÄ…c
punkty 3 i 4. Należą one jednocześnie do
płaszczyzny tnącej i ściany bryły.
Rys. 13.2. Wyznaczanie aksonometrii przekroju bryły -
sposób wyznaczenia krawędzi 1-3, 2-4 i 3-4
Ponieważ krawędzie przekroju na
ścianach równoległych muszą być
równoległe, rysujemy odcinek 2-5
równoległy do odcinka 1-3.
Następnie z punktu 5 i z punktu 1
prowadzimy odcinki równoległe do
2-4 wyznaczajÄ…c punkty 6 i 7.
Wykreślając odcinki 6-7 i 5-7
otrzymujemy pozostałe krawędzie
szukanego przekroju.
Rys. 13.3. Wyznaczanie aksonometrii przekroju bryły -
sposób wyznaczenia pozostałych krawędzi przekroju
Rys. 13.4. Aksonometria przekroju bryły - Rys. 13.5. Aksonometria wielościanu po
figura zakreskowana usunięciu jednej z części przeciętej bryły
Zad. 14. Wykreślić aksonometrię wojskową przekroju wielościanu (powstałego przez
wycięcia z sześcianu) płaszczyzną ą(1,2,3), określoną przez trzy punkty leżące na jego
Ä…
Ä…
Ä…
krawędziach.
Wykreślanie przekroju należy zacząć
od krawędzi 1-2. Punkty te należą jed-
nocześnie do płaszczyzny tnącej i tylnej
ściany wielościanu. Przedłużając tę
krawędz
do przecięcia z osią x
otrzymujemy punkt A leżący na osi x
(rys. 14.2)
Rys. 14.1. Aksonometria bryły z naniesionymi trzema
punktami należącymi do płaszczyzny tnącej
Punkt A jest punktem wspólnym trzech
3-4 || 1-2
płaszczyzn: tnącej, xz i xy. Przez punkt 3
możemy poprowadzić drugą krawędz

przekroju rysując prostą równoległą do 1-2
- ponieważ na ścianach równoległych
krawędzie przekroju muszą być
równoległe. Na krawędzi wielościanu
otrzymujemy punkt 4.
Rys. 14.2. Wyznaczanie aksonometrii przekroju
wielościanu - sposób wyznaczenia krawędzi 1-2 i 3-4
Płaszczyzna tnąca przecina płaszczyznę xy
3-6 || 5-2
w prostej przechodzÄ…cej przez punkty A i 4.
Otrzymujemy punkt 5 i krawędz
4-5
należącą do przekroju.
Punkty 2 i 5 leżą na krawędziach tej samej
ściany i należą także do płaszczyzny tnącej,
musi więc przez te punkty przechodzić
krawędz
2-5 należąca do przekroju.
Przez punkt 3 prowadzimy krawędz

równoległą do 2-5 otrzymując punkt 6 na
krawędzi ściany równoległej i przyległej do
płaszczyzny zy.
Rys. 14.3. Wyznaczanie aksonometrii przekroju
wielościanu - sposób wyznaczenia krawędzi 5-4, 2-5 i 3-6
Przekrój zakończymy rysując krawędzie
równoległe na ścianach równoległych.
Kolejno:
6-7 || 4-5,
1-10 || 5-4,
10-9 || 1-2,
7-8 || 2-1,
8-9 || 4-5.
Rys. 14.4. Wyznaczanie aksonometrii przekroju bryły -
sposób wyznaczenia pozostałych krawędzi przekroju
Rys. 14.5. Aksonometria przekroju bryły - Rys. 14.6. Aksonometria wielościanu po
figura zakreskowana usunięciu jednej z części przeciętej bryły
Dziękuję za uwagę