ZADANIE 13
Dany jest schemat obwodu elektrycznego w układzie mostka Thomsona. Należy sporządzić
graf obwodu, wybrać z niego drzewo i wyrazić wszystkie prądy poprzez prądy gałęzi
łączących. Korzystając z tej zależności napisać równania I i II prawa Kirchhoffa.
RozwiÄ…zanie
Przyjmujemy dowolne strzałki kierunku prądu a następnie ustalamy strzałki napięć. Z grafu
obwodu wybieramy jedno z możliwych drzew (zaznaczone pogrubioną linią na rysunku
poniżej).
I6 I4
I7
I2 I8
I1 I3
I5
I1 ÷ I4 przyjÄ™to jako prÄ…dy gaÅ‚Ä™zi Å‚Ä…czÄ…cych, pozostaÅ‚e jako prÄ…dy gaÅ‚Ä™zi drzewa. Każdemu
z prÄ…dów I1 ÷ I4 odpowiada jedno oczko.
Macierz C wyrażająca zależność między prądami gałęzi łączących a prądami drzewa wygląda
następująco.
Nr oczek
I II III IV
Nr gałęzi
1 1 0 0 0
2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
4 0 0 0 1
5 0 0 1 1
6 -1 0 1 1
7 -1 0 1 0
8 -1 -1 1 0
UwzglÄ™dniajÄ…c, że I = C Å" J gdzie: I prÄ…dy wszystkich gaÅ‚Ä™zi, J prÄ…dy gaÅ‚Ä™zi Å‚Ä…czÄ…cych można
Å"
Å"Å"
napisać cztery równania I prawa Kirchhoffa
I5 = I3 + I4
= +
= +
= +
I6 = -I1 + I3 + I4
= - + +
= - + +
= - + +
I7 = -I1 + I3
= - +
= - +
= - +
I8 = -I1 - I2 + I3
= - - +
= - - +
= - - +
(Powyższe równania możemy interpretować w oparciu o geometrię oczek
następująco: np. prąd I5 jest sumą I3 i I4, gdyż gałąz
piąta należy do oczek
3 i 4 oraz jej kierunek jest zgodny z I3 i I4.)
oraz, że CtU = 0 można napisać cztery równania II prawa Kirchhoffa
U1 - - - = 0
-U6 -U7 -U8 =
- - - =
- - - =
U2 - = 0
-U8 =
- =
- =
U3 + U5 + + + = 0
+ +U6 +U7 +U8 =
+ + + + =
+ + + + =
U4 + U5 + = 0
+ +U6 =
+ + =
+ + =
które po uwzględnieniu prądów mają postać:
I1Å" R1 - I6 Å" R6 - I7 Å" R7 - I8 Å" R8 = 0
Å" - Å" - Å" - Å" =
Å"Å" - Å"Å" - Å"Å" - Å"Å" =
- - - =
I2 Å" R2 - I8 Å" R8 = 0
Å" - Å" =
Å"Å" - Å"Å" =
- =
I3 Å" R3 + I5 Å" R5 - E + I6 Å" R6 + I7 Å" R7 + I8 Å" R8 = 0
Å" + Å" - + Å" + Å" + Å" =
Å"Å" + Å"Å" - + Å"Å" + Å"Å" + Å"Å" =
+ - + + + =
I4 Å" R4 + I5 Å" R5 - E + I6 Å" R6 = 0
Å" + Å" - + Å" =
Å"Å" + Å"Å" - + Å"Å" =
+ - + =
ZADANIE 14
Obliczyć prąd w przekątnej mostka pokazanego na rysunku, korzystając z metody prądów
oczkowych Maxwella.
Dane: E = 10V, R1 = 20&!, R2 = 10&!, R3 = 10&!, R4 = 20&!, R5 = 20&!, R6 = 10&!.
RozwiÄ…zanie
I1(R1 + R2 + R6)- I2 Å" R1 - I3Å" R2 = E
( + + )- Å" - Å" =
( + + )- Å"Å" - Å"Å" =
( + + )- - =
- I1Å" R1 + I2(R1 + R3 + R5)- I3 Å" R5 = 0
- Å" + ( + + )- Å" =
- Å"Å" + ( + + )- Å"Å" =
- + ( + + )- =
- I1Å" R2 - I2 Å" R5 + I3(R2 + R4 + R5)= 0
- Å" - Å" + ( + + )=
- Å"Å" - Å"Å" + ( + + )=
- - + ( + + )=
Po podstawieniu danych liczbowych
I1Å" - I2 Å" 20 - I3 Å"10 = 10
Å" - Å" - Å" =
Å"Å"40 - Å"Å" - Å"Å" =
- - =
- I1Å" 20 + I2 Å" - I3 Å" 20 = 0
- Å" + Å" - Å" =
- Å"Å" + Å"Å"50 - Å"Å" =
- + - =
- I1Å"10 - I2 Å" 20 + I3 Å" = 0
- Å" - Å" + Å" =
- Å"Å" - Å"Å" + Å"Å"50 =
- - + =
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
I2 = 0,235A, I3 = 0,177A
PrÄ…d na przekÄ…tnej mostka
Ip = I2 - I3 = 0,235 - 0,177 = 0,058A
= - = - =
= - = - =
= - = - =
ZADANIE 15
W poniżej podanym układzie dobrać tak wartość Rz, aby napięcie na SPM wynosiło
Uz = 4,38V. Do rozwiązania należy wykorzystać metodę prądów oczkowych Maxwella.
RozwiÄ…zanie
Dla oznaczenia prądów oczkowych podanego na rysunku, równania prądów oczkowych będą
miały postać
( + )- Å" = -Uz
I1(2 + 3)- I2 Å" 3 = 5 -
( + )- Å"Å" = -
( + )- = -
- I1Å" 3 + I2(Rz + 3)= 10 +
- Å" + ( + )= +Uz
- Å"Å" + ( + )= +
- + ( + )= +
I2 - I1 = 1
- =
- =
- =
RozwiÄ…zujÄ…c otrzymujemy Rz = 4&!.
ZADANIE 16
Obliczyć zakres zmienności oporności R potrzebny do zapewnienia zmian napięcia
U w granicach 10 ÷ 20V w ukÅ‚adzie podanym na rysunku.
RozwiÄ…zanie
Przykład ten można rozwiązać korzystając np. z metody prądów oczkowych lub metody
potencjałów węzłowych. W sposób najszybszy można uzyskać wyniki jeżeli wykorzystamy
zasadę Thevenina doprowadzając w ten sposób układ do postaci:
R1Å" R2 10Å" 20 200
Å" Å"
Å"Å" Å"Å"
Ro = = = = 6,67&!
= = = =
= = = =
= = = =
R1 + R2 10 + 20 30
+ +
+ +
+ +
E1 + E2 130 + 50
+ +
+ +
+ +
Uo = Å" R2 - E2 = Å" 20 - 50 = 70V
= Å" - = Å" - =
= Å"Å" - = Å"Å" - =
= - = - =
R1 + R2 10 + 20
+ +
+ +
+ +
R
U = Å"Uo
= Å"
= Å"Å"
=
Ro + R
+
+
+
U jest rosnącą funkcją R, więc
Uo
Umin = 10V; Umin = Å" Rmin
= = Å"
= = Å"Å"
= =
Ro + Rmin
+
+
+
70
10 = Å" Rmin Ò! Rmin = 1,11&!
= Å" Ò! =
= Å"Å" Ò! =
= Ò! =
6,67 + Rmin
+
+
+
Uo
Umax = 20V; Umax = Å" Rmax
= = Å"
= = Å"Å"
= =
Ro + Rmax
+
+
+
70
20 = Å" Rmax Ò! Rmax = 2,68&!
= Å" Ò! =
= Å"Å" Ò! =
= Ò! =
6,67 + Rmax
+
+
+