WYDZIAA
ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI
KATEDRA URZ
DZEC
ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ
GEOMETRIA I GRAFIKA INŻYNIERSKA
Przykładowe zadania z rozwiązaniami - część 4
z
Zad. 15. Przeciąć sześcian płaszczyzną
określoną trzema punktami leżącymi na
jego krawędziach ą
ą(1,2,3).
ą
ą
1
Trzy punkty określające płaszczyznę tnącą
są usytuowane na krawędziach różnych
ścian sześcianu. Bez elementów
pomocniczych nie można narysować
2
3 żadnej krawędzi należącej do przekroju.
x
Rys. 9.1. Rzuty główne
Rys. 15.1. Aksonometria sześcianu (kawalerska
bryły powstałej przez
lewoskrętna) z zaznaczonymi punktami należącymi do
y wycięcia z sześcianupłaszczyzny tnącej
 Aby wyznaczyć dowolną krawędz

z
przecięcia płaszczyzny tnącej i płaszczyz-
ny wyznaczonej przez ścianę sześcianu
1
musimy znalez
ć przynajmniej dwa punkty
należące jednocześnie do obu płaszczyzn.
Prosta przechodząca przez punkty 1 i 3
należy do płaszczyzny tnącej (bo punkty 1
2
3
x i 3 do niej należą), nie należy jednak do
A(1/2, 1, 1/2)
żadnej ściany sześcianu. Wyznaczając rzut
1'
tej prostej na płaszczyznę poziomą -
P
B(1, 1/2, 1/2)
3'
punkty 1 i 3 są rzutami poziomymi
y
punktów 1 i 3 - możemy wyznaczyć punkt
Rys. 15.2. Punkt P jest punktem przebicia płaszczyz-
P będący punktem przebicia płaszczyzny
ny poziomej przez prostą wyznaczoną punktami 1 i 3.
poziomej przez prostą 1,3.
Prosta 1,3 i punkt P należą do płaszczyzny tnącej
Punkt P należy jednocześnie do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny poziomej. Punkt 2 tak-
że należy jednocześnie do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny poziomej. Przez punkty P i 2
będzie więc przechodzić krawędz
przecięcia się podstawy sześcianu (leżącej na płaszczyz
nie
poziomej) i płaszczyzny tnącej.
Rysując prostą przechodzącą przez punkty 2 i P wyznaczamy punkt 4 leżący na krawędzi
podstawy sześcianu i należący do przekroju (rys. 15.3).
 Po wyznaczeniu punktu 4 otrzymujemy drugi punkt (obok punktu 3) należący jednocześnie
do płaszczyzny tnącej i ściany sześcianu leżącej na płaszczyz
nie zy. Możemy zatem narysować
odcinek 3-4 należący do przekroju sześcianu.
Na ścianie sześcianu równoległej do płaszczyzny zy, krawędz
przecięcia musi być równoległa
do odcinka 3-4. Ponieważ na krawędzi tej ściany mamy punkt 1, możemy przez ten punkt
poprowadzić krawędz
równoległą do odcinka 3-4. Otrzymujemy punkt 5 należący do przekroju.
1,5 || 3,4
z
z
1
1
5
2
3 2
x
3 x
4
4
1'
1'
P
P
3'
3'
y
y
Rys. 15.3. Odcinek 2-4 jest krawędzią przecięcia Rys. 15.4. Kolejne krawędzie: 3-4 - krawędz
prze-
podstawy sześcianu przez płaszczyznę tnącą cięcia ściany sześcianu przylegającej do płaszczyz-
ny zy i równoległa do niej krawędz
1-5
 Na górnej ścianie sześcianu możemy narysować kolejną krawędz
. Odcinek 1-6 musi być
równoległy do odcinka 2-4 - ściany, na których leżą, są do siebie równoległe.
Figurę będącą przekrojem sześcianu zadaną płaszczyzną, otrzymamy po narysowaniu krawędzi
3-6 i 3-5. Odcinki te leżą na ścianach równoległych, muszą więc też być do siebie równoległe.
1,5 || 3,4 1,5 || 3,4
1,6 || 2,4 1,6 || 2,4
z z
2,5 || 3,6
1 1
6 6
5 5
2 2
3 x 3 x
4 4
1' 1'
P P
3' 3'
y y
Rys. 15.5. Kolejne etapy wykreślania aksonometrii przekroju sześcianu zadaną płaszczyzną
Rysunek 15.6 przedstawia bryły powstałe przez przecięcie sześcianu zadaną płaszczyzną
z z
1 1
6 6
5 5
2 2
3 3
x x
4 4
y y
Rys. 15.6. Widok brył powstałych przez przecięcie sześcianu zadaną płaszczyzną
Zad. 16. Przeciąć sześcian płaszczyzną określoną trzema punktami leżącymi na jego ścianach
ą(1,2,3), przy czym:
ą
ą
ą
punkt 1 należy do ściany sześcianu przylegającej do płaszczyzny zy,
punkt 2 należy do ściany sześcianu przylegającej do płaszczyzny zx,
punkt 3 należy do podstawy sześcianu (płaszczyzna xy).
Aby wykonać przekrój bryły, musimy
z
wyznaczyć krawędzie przecięć płaszczyzny
tnącej z poszczególnymi ścianami bryły.
Aby wyznaczyć te krawędzie przecięć,
musimy znalez
ć punkty leżące na krawędziach
1
2 sześcianu i należące do płaszczyzny tnącej.
Możemy skorzystać ze sposobu pokazanego
w zadaniu poprzednim. Wyznaczymy rzuty
x
punktów 1 i 2 na płaszczyznę poziomą.
3
Przeprowadzimy przez punkty 1 i 2 prostą a, a
przez rzuty tych punktów 1 i 2 rzut a tej
prostej na płaszczyznę xy.
y
Rys. 16.1. Aksonometria kawalerska prawoskrętna sześcianu. Przez punkty
leżące na ścianach sześcianu przechodzi płaszczyzna tnąca
 Prosta a przeprowadzona przez punkty 1 i 2 i jej rzut a wyznaczony przez punkty 1 i 2 ,
przecinają się w punkcie przebicia płaszczyzny xy przez prostą a. Na rysunku 16.2, punkt ten
oznaczony jest literą P - należy on także do płaszczyzny tnącej.
Do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny podstawy należy jednocześnie także punkt 3. Przez
punkty P i 3 będzie przechodzić krawędz
przecięcia podstawy sześcianu przez płaszczyznę
tnącą. Otrzymujemy punkty 4 i 5 leżące na krawędziach sześcianu i należące do przekroju.
z z
a a
1 1
2 2
P P
2' 2'
x x
4
3 3
1' 1'
a' a'
5
y y
Rys. 16.2. Prosta a i jej rzut poziomy a na Rys. 16.3. Przez punkt P i punkt 3 przechodzi
płaszczyznę xy, wyznaczają punkt przebicia krawędz
przecięcia podstawy sześcianu
płaszczyzny xy przez tą prostą przez płaszczyznę tnącą ą
ą.
ą
ą
z z
6 6
a a
1 1
2 2
7
P P
4
4
2' 2'
x x
3 3
1' 1'
a' a'
5 5
y y
Rys. 16.4. Przez punkty 4 i 2 przechodzi Rys. 16.5. Punkty 1 i 6 wyznaczają kolejną
krawędz
przecięcia ściany sześcianu krawędz
przecięcia sześcianu przez płasz-
przylegającej do płaszczyzny xz czyznę tnącą
Punkt 4 i punkt 2 należą jednocześnie do ściany sześcianu i do płaszczyzny tnącej - wyzna-
czają więc kolejną krawędz
przecięcia. Otrzymujemy punkt 6 leżący na krawędzi sześcianu
i należący jednocześnie do płaszczyzny tnącej i do płaszczyzny zy. Na ścianie sześcianu
przylegającej do płaszczyzny zy leży punkt 1 należący także do płaszczyzny tnącej. Możemy
wyznaczyć więc kolejną krawędz
i punkt 7 leżący na krawędzi sześcianu.
 A
ącząc punkt 7 i punkt 5 otrzymujemy ostatni bok figury będącej szukaną aksonometrią
przekroju sześcianu zadaną płaszczyzną ą
ą.
ą
ą
Rysunek 16.7. Pokazuje jedną z części przeciętego sześcianu.
z
6
6
a
1 a
1
2
2
7
7
P
P
4
2'
x
4 2'
x
3
3
1'
1'
a'
5
a'
5
y
y
Rys. 16.6. Aksonometria przekroju Rys. 16.7. Jedna z części sześcianu
sześcianu zadaną płaszczyzną przeciętego zadaną płaszczyzną
Zad. 17. Przeciąć sześcian płaszczyzną ą
ą = aA określoną przez prostą a leżącą w
ą
ą
płaszczyz
nie podstawy (xy) i punkt A leżący na płaszczyz
nie zy.
z
A
Płaszczyzna ą
ą Przecina płaszczyznę xy
ą
ą
w prostej a, przecina też osie x i y leżące
w tej płaszczyz
nie. Punkt przecięcia
płaszczyzny tnącej z osią y przynależy też
do płaszczyzny zy. Oznaczmy ten punkt
literą B (rys. 17.2). Do płaszczyzny zy
należy też dany punkt A.
y
Rys. 17.1. Aksonometria wojskowa prawoskręt-
na sześcianu. Przez punkt A i prostą a przecho-
dzi płaszczyzna tnąca ą
ą
ą
ą
x
'
a
=
a
 ą
Przez punkty A i B przechodzi krawędz
przecięcia płaszczyzny tnącej ą z płaszczyzną zy.
ą
ą
Płaszczyzna tnąca przecina ścianę sześcianu leżącą na płaszczyz
nie zy w punktach 1 i 2.
Przedłużając krawędz
podstawy sześcianu do przecięcia z prostą a otrzymujemy punkt C
leżący na tej prostej. Punkt ten należy do tej samej płaszczyzny co ściana czołowa sześcianu
i punkt 1 leżący na krawędzi tej ściany. Możemy narysować więc odcinek 1-4 należący do
przekroju bryły.
z
A
2
1
y
B
Rys. 17.3. Punkt 4 wyznacza prosta przechodzą-
Rys. 17.2. Płaszczyzna tnąca przecina płasz-
czyznę określoną osiami zy w prostej przecho- ca przez punkty 1 i C
dzącej przez punkty A i B
x
a
'
=
a
 Kolejne etapy wykonywania przekroju to wykreślanie krawędzi równoległych na ścianach
równoległych:
krawędz
4-5 || 1-2 (rys. 17.4),
krawędz
5-6 || 1-4 (rys. 17.5).
4-5 || 1-2 4-5 || 1-2
5-6 || 1-4
Rys. 17.4. Prosta przechodząca przez punkty 1 i 5 Rys. 17.5. Prosta przechodząca przez punkty 5 i 6
jest równoległa do prostej przechodzącej przez jest równoległa do prostej przechodzącej przez
punkty 1 i 2 punkty 1 i 4
 Figurę będącą aksonometrią przekroju sześcianu kończy narysowanie odcinka łączącego
punkty 6 i 2.
4-5 || 1-2
5-6 || 1-4
Rys. 17.6. Figura 1-4-5-6-2-1 jest aksonometrią Rys. 17.7. Bryła powstała po odcięciu części
przekroju sześcianu zadaną płaszczyzną sześcianu zadaną płaszczyzną
Zad. 18. Przeciąć bryłę płaszczyzną ą
ą (1,2,3) określoną przez trzy punkty leżące na jej
ą
ą
krawędziach.
Punkty 2 i 3 leżą na
krawędziach tej
samej ściany bryły.
Odcinek 2-3 jest
zatem krawędzią
przecięcia się tej
ściany z płaszczyz-
ną tnącą.
Prowadząc przez
punkty 2 i 3 prostą,
otrzymamy punkty
przecięcia się
płaszczyzny tnącej
z osiami x i z
(punkty A i B).
Rys. 18.1. Aksonometria wojskowa Rys. 18.2. Płaszczyzna tnąca przecina
prawoskrętna bryły. Przez punkty 1, 2 płaszczyznę określoną osiami zx w pros-
i 3 przechodzi płaszczyzna tnąca ą tej przechodzącej przez punkty 2 i 3
ą
ą
ą
Krawędz
1-4 należąca do przekroju jest częścią prostej przechodzącej przez punkty A i 1. Punkty
te leżą na płaszczyz
nie xy do której należy także podstawa przecinanej bryły. Krawędz
5-6
wyznaczamy prowadząc prostą przez punkty B i 1 należące do płaszczyzny zy.
Rys. 18.3. Prosta przechodząca przez Rys. 18.4. Prosta przechodząca przez
punkty A i 1 jest krawędzią przecięcia punkty B i 1 jest krawędzią przecięcia
płaszczyzny xy przez płaszczyznę tnącą płaszczyzny zy przez płaszczyznę tnącą
Wiedząc, że na ścianach równoległych krawędzie przecięć też są równoległe, punkt 5 można było
wyznaczyć także prowadząc krawędz
3-5 równolegle do 1-4. A
ącząc punkty 2 i 4 otrzymujemy
kolejną krawędz
należącą do aksonometrii przekroju.
Następną krawędz
znajdujemy prowadząc przez punkt 6 prostą równoległą do 2-3
3-5 || 1-4 3-5 || 1-4
2-4 || 5-6 2-4 || 5-6
6-7 || 2-3
Rys. 18.5. Odcinki 3-5 i 2-4 należą do Rys. 18.6. Odcinek 6-7 || 2-3 należy do
aksonometrii przekroju bryły aksonometrii przekroju bryły
A
ącząc punkty 1 i 7 - leżą na krawędziach tej samej ściany - otrzymujemy ostatni fragment
szukanego przekroju.
3-5 || 1-4 3-5 || 1-4
2-4 || 5-6 2-4 || 5-6
6-7 || 2-3 6-7 || 2-3
Rys. 18.7. Odcinek 7-1 należy do Rys. 18.8. Aksonometria przekroju bryły
aksonometrii przekroju bryły zadaną płaszczyzną
Dziękuję za uwagę