Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
rok szkolny 2005/06
Zadania zawodów I stopnia
1. Dowieść, \
e 3 - 8 + 5 - 24 + 7 - 48 = 1.
2. Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:
" w czworokÄ…t mo\
na wpisać okrąg,
" przekątne czworokąta są prostopadłe.
Dowieść, \
e jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.
3. W kole o promieniu 10 wybrano 99 punktów. Dowieść, \
e wewnątrz koła istnieje
punkt odległy od ka\
dego z wybranych punktów o więcej ni\
1.
4. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań:
Å„Å‚
25x2 + 9y2 = 12yz
ôÅ‚
2
9y2 + 4z = 20xz
òÅ‚
2
ôÅ‚4z + 25x2 = 30xy
ół
w liczbach rzeczywistych x, y, z.
5. Ogrodnik wło\
ył 121 jabłek do 15 wiader tak, \
e w ka\
dym wiadrze znalazło się co
najmniej jedno jabłko. Czy jest mo\
liwe, \
e w ka\
dym wiadrze znajduje siÄ™ inna
liczba jabłek?
6. Wiadomo, \
e prawdziwa moneta wa\
y 10 gramów, a fałszywa 9 gramów. Mamy 5
monet o łącznej wadze 48 gramów i dysponujemy wagą elektroniczną. Wykonując
wa\
enie mo\
emy poło\
yć na wagę dowolną liczbę wybranych przez nas monet i
odczytać ich łączną wagę. Czy wykonując nie więcej ni\
3 wa\
enia mo\
emy zawsze
rozpoznać, które z danych monet są fałszywe, a które prawdziwe?
7. Na płaszczyz
nie dane są punkty A, B, C, D. Punkt B jest środkiem odcinka AC, przy
tym AB = BC = BD = 17 oraz AD = 16. Obliczyć długość odcinka CD.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
zawody II stopnia
28 stycznia 2006
czas: 180 minut
Zadanie 1.
Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków ni\
pewien ostrosłup. Który z tych
wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
Zadanie 2.
Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. Wyka\
, \
e spośród nich mo\
na wybrać 11
takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.
Zadanie 3.
Dany jest trójkÄ…t ostrokÄ…tny ABC, w którym kÄ…t BAC ma miarÄ™ 45°. WysokoÅ›ci tego trójkÄ…ta
przecinajÄ… siÄ™ w punkcie H. Wyka\
, \
e AH = BC .
Zadanie 4.
Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba 14n - 9 jest pierwsza.
Zadanie 5.
Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF o kątach przy wierzchołkach A, B, C, D równych
odpowiednio 90°, 128°, 142°, 90°. Wyka\
, \
e pole tego sześciokąta jest mniejsze ni\

1 2
Å" AD .
2
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody trzeciego stopnia)
25 marca 2006 r.
1. Ile jest czwórek (a, b, c, d) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie:
ab + bc + cd + da = 55? Odpowiedz
uzasadnij.
2. Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E nale\
y do boku AB, a punkt F do boku AD.
Prosta EF przecina prostÄ… CB w punkcie P, a prostÄ… CD w punkcie Q. Wyka\
, \
e pole
trójkąta CEF jest równe polu trójkąta APQ.
3. W przestrzeni danych jest takich n punktów (n e" 4), \
e \
adne 4 nie le\
Ä… na jednej
płaszczyz
nie. Ka\
de dwa z tych punktów połączono odcinkiem niebieskim lub
czerwonym. Udowodnij, \
e mo\
na tak wybrać jeden z tych kolorów, aby ka\
de dwa
punkty były połączone odcinkiem lub łamaną wybranego koloru.
4. Dany jest taki czworościan, \
e ka\
dy kąt dwuścienny wyznaczony przez jego
sąsiednie ściany jest ostry lub prosty. Wierzchołki tego czworościanu le\
Ä… na sferze o
środku S. Czy punkt S mo\
e le\
eć na zewnątrz tego wielościanu? Odpowiedz

uzasadnij.
5. Dane są ró\
ne liczby pierwsze p, q oraz takie dodatnie liczby całkowite a, b, \
e liczba
aq daje resztÄ™ 1 przy dzieleniu przez p, a liczba bp daje resztÄ™ 1 przy dzieleniu przez q.
a b
Wyka\
, \
e + > 1.
p q
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
Zadania II Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
1 września 2006 r.  16 paz
dziernika 2006 r.
(zawody stopnia pierwszego)
1. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, \
e suma cyfr ka\
dej z nich jest równa
2006, a suma cyfr liczby a Å" b jest równa 20062? Odpowiedz
uzasadnij.
2. Dany jest trójkÄ…t ABC, w którym miara kÄ…ta ACB wynosi 90° oraz AC`" BC. Punkty P
i Q sÄ… takie, \
e czworokÄ…t APBQ jest kwadratem. Udowodnij, \
e proste CP i CQ sÄ…
prostopadłe.
3. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r spełniające układ równań:
Å„Å‚
q = p2 + 6
.
òÅ‚
ółr = q2 + 6
4. W trójkÄ…cie ABC punkt M jest Å›rodkiem boku AB oraz miara kÄ…ta ACB wynosi 120°.
3
Udowodnij, \
e CM e" Å" AB .
6
5. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: Dla ka\
dej
pary liczb rzeczywistych dodatnich x, y zachodzi nierówność xyn < x4 + y4 .
6. Czy istnieje taki czworościan, w którym przynajmniej jedna ściana jest trójkątem
rozwartokątnym, a środek sfery opisanej na tym czworościanie le\
y w jego wnętrzu?
Odpowiedz
uzasadnij.
7. Spośród wszystkich wierzchołków 17-kąta foremnego wybrano dziesięć. Wyka\
, \
e
wśród wybranych punktów są cztery będące wierzchołkami trapezu.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia drugiego)
13 stycznia 2007 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniających układ równań:
Å„Å‚
a2 + b2 + c2 = 23
òÅ‚
a + 2b + 4c = 22
ół
2. Miara ka\
dego kÄ…ta szeÅ›ciokÄ…ta ABCDEF jest równa 120°. Udowodnij, \
e symetralne
odcinków AB, CD, EF przecinają się w jednym punkcie.
3. W przestrzeni danych jest 6 punktów, z których \
adne cztery nie le\
Ä… na jednej
płaszczyz
nie. A
ącząc niektóre z tych punktów narysowano 10 odcinków. Wyka\
, \
e w
ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
4. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, c, d, \
e liczba
(a + b)(b + c)(c + d)(d + a) jest w systemie dziesiętnym zakończona cyframi  10 ?
Odpowiedz
uzasadnij.
5. Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym miary kątów ASB, BSC i CSA
sÄ… równe 20°. Wyka\
, \
e obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości ka\
dej z
krawędzi AS, BS i CS.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia trzeciego)
10 marca 2007 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki (a,b,c) liczb rzeczywistych spełniające układ równań:
ab = a + b
Å„Å‚
ôÅ‚bc = b + c
òÅ‚
ôÅ‚ca = c + a
ół
2. Ka\
demu wierzchołkowi 100-kąta foremnego trzeba przyporządkować pewną
dodatniÄ… liczbÄ™ rzeczywistÄ…. Czy mo\
liwe jest takie przyporządkowanie, w którym
ka\
da liczba jest równa wartości bezwzględnej ró\
nicy liczb, które z nią sąsiadują?
Odpowiedz
uzasadnij.
3. W trójkącie ostrokątnym ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i
BC. Wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C przecina odcinek MN w
punkcie D. Symetralna boku AB przecina odcinek MN w punkcie E. Wyka\
, \
e
MD = NE .
4. Ile jest takich liczb n nale\
ących do zbioru {1,2,...,2007}, dla których liczba n4 -1 jest
podzielna przez 9? Odpowiedz
uzasadnij.
5. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego ka\
da ściana boczna jest trójkątem
prostokÄ…tnym? Odpowiedz
uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zawody stopnia pierwszego
(10 września 2007 r.  29 paz
dziernika 2007 r.)
1. RozwiÄ…\
równanie: x -1 - 2 - 3 - 4 = 0 .
2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD o polu 1. Punkt K jest symetryczny do punktu B
względem punktu A, punkt L jest symetryczny do punktu C względem punktu B, punkt
M jest symetryczny do punktu D względem punktu C, punkt N jest symetryczny do
punktu A względem punktu D. Oblicz pole czworokąta KLMN.
a b c
3. Liczby a, b, c sÄ… dodatnie. Wyka\
, \
e + + < 1.
a +1 (a +1)(b +1) (a +1)(b +1)(c +1)
4. Dana jest liczba ośmiocyfrowa a. Liczba ośmiocyfrowa b powstaje z liczby a poprzez
przestawienie cyfry jedności liczby a na początek. Wyka\
, \
e jeśli liczba a jest
podzielna przez 101, to liczba b jest tak\
e podzielna przez 101.
5. Okrąg o promieniu 1 jest wpisany w czworokąt wypukły ABCD. Okrąg ten jest
styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N. Wiadomo,
\
e miara kąta KLM jest 4 razy większa od miary kąta AKN, zaś miara kąta KNM jest 4
razy większa od miary kąta BKL. Oblicz długość odcinka LN.
6. Ile jest liczb 15-cyfrowych k o następującej własności: Ka\
de trzy kolejne cyfry liczby
k są ró\
ne oraz w ka\
dej trójce kolejnych cyfr liczby k występuje 0? Odpowiedz

uzasadnij.
7. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny oraz taka płaszczyzna przecinająca wszystkie
jego krawędzie boczne, \
e pole uzyskanego przekroju jest większe od pola podstawy
ostrosłupa? Odpowiedz
uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia drugiego)
12 stycznia 2008 r.
1. Liczby dodatnie a, b spełniają warunek:
a + b
= ab + 3 .
2
Wyka\
, \
e co najmniej jedna z liczb a, b jest niewymierna.
2. W ka\
de pole tablicy o wymiarach 4×4 wpisano liczbÄ™ 0 lub 1. NastÄ™pnie obliczono
sumy liczb stojÄ…cych w ka\
dym wierszu, w ka\
dej kolumnie i na obu przekÄ…tnych.
Wyka\
, \
e co najmniej trzy sumy sÄ… jednakowe.
3. Punkt S le\
y wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnij, \
e suma pól
trójkątów ABS, CDS, EFS jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF.
4. Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której liczbę 2n mo\
na przedstawić
w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych?
Odpowiedz
uzasadnij.
5. Czy mo\
na tak przeciąć sześcian płaskim cięciem na dwie bryły o równych
objętościach, aby w przekroju otrzymać pięciokąt? Odpowiedz
uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia trzeciego)
8 marca 2008 r.
1. Dane sÄ… takie liczby rzeczywiste a, b, c, \
e liczby:
ab + bc, bc + ca, ca + ab
sÄ… dodatnie. Udowodnij, \
e liczby a, b, c majÄ… jednakowy znak, tzn. wszystkie sÄ…
dodatnie lub wszystkie sÄ… ujemne.
2. Udowodnij, \
e istnieje nieskończenie wiele trójek (a, b, c) dodatnich liczb
całkowitych spełniających równość:
a3 + 3b6 = c2 .
3. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC > BC. Punkt P jest rzutem prostokątnym punktu
B na dwusieczną kąta ACB. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Wiedząc, \
e
BC = a, CA = b, AB = c,
oblicz długość odcinka PM.
4. Czy wierzchołki 20-kąta foremnego mo\
na tak ponumerować liczbami 1, 2, & , 20,
aby u\
yć wszystkich tych liczb oraz aby dla ka\
dych czterech kolejnych
wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od 43? Odpowiedz
uzasadnij.
5. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego ka\
da krawędz
ma długość 1.
Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i
uzyskano w przekroju czworokąt wypukły ABCD nie będący trapezem. Proste AB i
CD przecinają się w punkcie P. Wyznacz wszystkie wartości, jakie mo\
e przyjąć
odległość punktu P od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zawody stopnia pierwszego
(1 września 2008 r.  27 paz
dziernika 2008 r.)
1. Wyznacz w zale\
ności od a liczbę rozwiązań układu równań:
Å„Å‚ x + y = 1
òÅ‚
x + a = y
ół
2. Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Przekątna tego
prostopadłościanu ma długość d, a jego pole powierzchni jest równe b. Oblicz sumę
długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu.
3. Dany jest kwadrat ABCD o boki 1 oraz prosta l przechodząca przez jego środek. Niech
a, b, c, d oznaczają odpowiednio odległości punktów A, B, C, D od prostej l. Wyka\
,
\
e
2
a2 + b2 + c2 + d = 1
4. Wyznacz wszystkie takie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, \
e liczba a + b jest
liczbÄ… pierwszÄ… oraz liczba a3 + b3 jest podzielna przez 3.
5. W trójkącie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Długości
boków BC i AC są równe odpowiednio a i b, a długość odcinka CD jest równa d.
Wykazać, \
e
2ab
d <
a + b
6. Ka\
dy punkt płaszczyzny pokolorowano na niebiesko lub czerwono. Udowodnij, \
e
istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego wierzchołki są tego samego
koloru.
7. Czy istnieje taki wielościan, którego rzuty prostokątne na pewne trzy płaszczyzny są
odpowiednio czworokątem, sześciokątem i ośmiokątem? Odpowiedz
uzasadnij.
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów mo\
na zamawiać: [e-mail]
IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zawody stopnia drugiego
17 stycznia 2009 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki (a,b,c) liczb nieparzystych dodatnich spełniających
zale\
ność:
a + c - b a
=
b + c - a b
2. Ka\
da z liczb x1, x2 ,..., x101 jest równa 1 lub -1. Wyznacz najmniejszą mo\
liwÄ…
wartość wyra\
enia
x1x2 + x2 x3 + x3x4 + ... + x100 x101 + x101x1
3. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt E nale\
Ä…cy do boku BC. Przez punkt D
prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE. Na prostej k obieramy takie punkty K,
L, \
e czworokąt AEKL jest równoległobokiem. Udowodnij, \
e równoległoboki ABCD
i AEKL mają równe pola.
4. W turnieju tenisa stołowego wzięło udział 50 zawodników. Ka\
dy zawodnik rozegrał
jeden mecz z ka\
dym innym zawodnikiem, nie było remisów. Czy mo\
liwe jest, aby
ka\
dy z zawodników wygrał tę samą liczbę meczów? Odpowiedz
uzasadnij.
5. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie
jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły ABCDEF.
Wyka\
, \
e proste AD, BE i CF przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie.