ma t e ma t y k a
Czysta geometria, prawda? Nie chciało mi się
Nie milkną spory o maturze, która w nowym
myS
leć. Włączyłem program, który narysował mnie taki
ujęciu czeka uczniów (a więc wielu naszych
rysunek, jak wyżej i jeszcze  zanimował . Wszystko się
ruszało. Trójkąt zmieniał kształt, a proste AE i CF za-
Czytelników) za kilka miesięcy. Przez ten czas
wsze stały do siebie ortogonalnie. Jak drut.  No, to się
w kąciku matematycznym będzie o tej matu- zgadza , pomyS
lałem i właS
ciwie straciłem zaintereso-
wanie. Wszyscy widzimy, że się zgadza. Po co więc da-
rze - ale ogólnie. Poradników szczegółowych
lej rozdzielać włos na czworo? Istnieje powiedzenie, że
jest bardzo dużo. A mnie chodzi o ogólne spoj- dowody twierdzeń matematycznych są w ogóle niepo-
trzebne, bo jeżeli twierdzenie jest prawdziwe, to po co
rzenie - przyda się ono i młodym, i starszym.
jeszcze dowód, a jeżeli nieprawdziwe, to i tak się udo-
rodowisko naukowe i nauczycielskie jest konserwa- wodnić nie da.
tywne. To dobrze. Wychowanie i nauczanie powinno Program, o którym mówię, jest autorstwa nie-
Śsię opierać na solidnych, sprawdzonych podsta- mieckiego profesora Grothmanna. Jest freeware, w
wach. Reformy winny być powolne i starannie przygo- wersji angielskiej nazywa się c.a.r (compass and ruler),
towane. Ale konserwatyzm ma swoje złe strony. Wciąż w niemieckiej Z.u.L (Zirkel und Lineal). Można go (pro-
bronimy siÄ™ przed dopuszczeniem na egzaminy urzÄ…- gram, nie profesora, i to w wersji polskiej) legalnie za-
dzeń liczących, z kalkulatorami na czele. Wielu uczo- instalować na swoim komputerze, wyszukując po na-
nych i wielu wykładowców starszej daty nie dostrzega, zwisku lub po nazwie programu.
że komputery po prostu są, że uczyć trzeba inaczej.
Mi c h a Å‚ S z u r e k
KOMPUTER I ZADANIE
Z OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ
Jak? W tym właS
nie problem - nie na Å‚amy  MÅ‚odego No tak, ale to niegodne matematyka. ZaczÄ…Å‚em
Technika . myS
leć, ale w moim wieku nie jest to już takie łatwe.
Jerzy Hajdukiewicz, polski himalaista lat szeS
ćdziesią-
SkalÄ™ trudnoS
ci ujmuje autentyczna historia z za- tych XX wieku, napisał kiedyS
artykuł  Stary człowiek
daniem z Olimpiady Matematycznej (pax
dziernik 2004). w górach . Nie wiem, czy napiszę artykuł  Stary czło-
Ubarwię nieco fabułę, zachowując istotę sprawy. Zada- wiek i matematyka , ale że myS
leć mi się nie chce, to
nie było oto takie: fakt.
W trójkącie ostrokątnym (rysunek) punkt D jest Bo można obejS
ć się bez myS
lenia. Wprowadzi-
spodkiem wysokoS
ci poprowadzonej z C na AB, punkt łem układ współrzędnych tak, by punkty A, B, C miały
E jest rzutem D na CB, zaS
punkt F dzieli odcinek odpowiednio współrzędne (a, 0), (b, 0), (0, c), zaS
po-
czątek układu by był w punkcie D. Nauczyłem program
AB EF
DE tak, że = . Mathematica, jak prowadzić prostą przez dwa punkty
DB FD
(to znaczy jak obliczyć jej równanie!), jak prostą prosto-
Wykazać, że proste AE i CF są prostopadłe. padłą itp. Po naciS
nięciu Enter, nim mój kot merdnął
ogonem, miałem na ekranie wszystkie współrzędne
i równania:
C
punktE = {b*c^2/(b^2+c^2), b^2*c/(b^2+c^2)};
punktF = {b^2*c^2/(b a)/(b^2+c^2), b^3*c/(b a)/(b^2+c^2)};
Nawet nie chciało mi się sprawdzić, czy rzeczy-
wiS
cie CF jest prostopadłe do AE. Mógłbym obliczyć
stosowny iloczyn skalarny, ale czy to warto? Na pewno
wyjdzie zero - więc po co jeszcze chleb, Króliku? Dla
rozrywki wyliczyłem równania prostych (dokładniej:
 lewe strony tych równań):
E
G
´
²
µ
F
A D H B
52
5
2
MA
ODY TECHNIK
11/2004
Komput ery po prost u są i moż e coś z t ego powi nno
wreszci e wyni kać
In[1]= Simplify [(Tan[beta] + q*Sin[beta]*Cos[beta] / (p + q*Sin[beta]^2))/
(1  Tan[beta] * (q*Sin[beta]*Cos[beta]) / (p + q*Sin[beta]^2))]
(p + q) T
Out[1]=            .
      pan[beta]
ale nie odkryłem niczego specjalnie ciekawego i zaczą-
łem się zastanawiać nad rozwiązaniem bardziej god- Zadanie rozwiązane, bo właS
nie to jest tangens ´.
nym matematyka. OciężałoS
ć umysłowa znów dała
znać o sobie. Wziąłem się za trygonometrię - tam my- W tym momencie już zupełnie odechciało mi się
S
leć nie trzeba, bo samo idzie. Oznaczyłem punkty jak myS
leć... Ale po chwili zacząłem - lecz już nie jak roz-
na rysunku. Punkt G to punkt wspólny prostych AE wiązać zadanie, tylko nad sprawami ogólniejszymi. Czy
i CF. Trzeba wykazać, że kąt G ma 90 stopni. Komitet Olimpiady Matematycznej uznałby takie roz-
Zauważmy, że kÄ…t CDE jest też równy ², kÄ…towi wiÄ…zanie (to znaczy: wex
komputer i wylicz)? A po dru-
trójkąta przy wierzchołku B. Popatrzmy na trójkąty pro- gie: sposób drugi jest tak prosty i bezmyS
lny, że algo-
stokątne CED i CEF. Z warunków zadania i definicji rytm da się przesłać SMS-em. Próbowałem: umiem się
tangensa wynika, że z zapasem zmieS
cić w trzech (po 160 znaków). Czy da
się kompletny dowód (bo rachunki są oczywiste) zmie-
tg ´ CE CE DE FE + DF q p + q
S
cić w jednym SMS-ie? Czy Komitet będzie kiedyS

= : = = = 1+ =
,
uznawać tak opracowane dowody?
tg ² FE DE FE FE p p
NIECH H RZUT E NA AB NIECH G WSPOLNY
gdzie p jest długoS
ciÄ… odcinka AD, zaS
q - długoS
ciÄ… AE,CF WTEDY KAT CDE= CDB Z WAR ZAD POROWN
odcinka DB. Wyliczmy stÄ…d tangens ´ : TG CFE I TG CDE WYLICZ LATWIUTKO DH I TG EAB
W 4KACIE AGFD SUMA 360 STOPNI ZASTOS WZOR
p + q
NA SUME TG (EDC+EAB)I WYLICZ ZE AGF PROSTY.
tg ´ = Å"tg ²
.
Coraz więcej zadań z konkursów umiem rozwią-
p
zać właS
nie tak. Czy to oznaka starzenia siÄ™? Mojego
Na końcu okaże się, że to było ważne. czy... konkursów?
Nie tylko w matematyce, ale w każdej nauce
Standardowa analiza zależnoS
ci w trójkątach i może we wszystkim, co robimy, piękne jest stosowa-
DEB i HEB daje - myS
leć prawie nie trzeba - zależnoS
ci: nie nowych, nieoczekiwanych i pomysłowych metod.
Dotyczy to naprawdę wszystkich obszarów działalnoS
ci
DE = q sin ² ; EB = q cos ² ; EH = DE sin (90°  ²) = q ludzkiej. Przypomnijmy sobie rewolucyjne zmiany, które
sin ² cos ² ; dokonaÅ‚y siÄ™ w muzyce za sprawÄ… Bacha, a póx
niej Mo-
zarta. Przypomnijmy sobie wymyS
lony przez Johna
HD = DE cos (90°  ²) = DE sin ² = q sin2 ² . Fossbury ego powszechny dziS
styl skakania wzwyż
( flop ). Przypomnijmy sobie kubistów w malarstwie
Zatem patrząc na trójkąt AEH i stosując definicję tan- (oczywiS
cie zdarza siÄ™ bezsensowne nowatorstwo, za
gensa, mamy: które piszący te słowa uważa turpizm, czyli zachwyt
nad brzydotą, np. twórczoS
ć Jerzego Dudy-Gracza).
EH q sin ² cos ²
W samej matematyce rozwiÄ…zanie 350-letniego proble-
tg µ = = .
mu Fermata było możliwe dzięki zastosowaniu metod
AH p + q sin2 ²
z zupełnie innej dyscypliny matematycznej, mianowicie
A teraz skierujmy wzrok na czworokÄ…t AGFD. geometrii algebraicznej. I tak dalej.
Jak by tu wykazać, że kąt przy wierzchołku G jest pro- JeS
li ktokolwiek zastanawia siÄ™ nad  praktycznÄ…
sty? Ojej, co za problem? Oznaczmy ten kÄ…t przez ¾. To filozofiÄ… matematyki, to dostrzega dwie przeciwne
ładna grecka litera. Lubię ją. Suma kątów czworokąta tendencje: ograniczania stosowanych metod i rozpatry-
AGFD jest równa 360 stopni. No, to dodawajmy: wania zagadnień w jak najszerszej ogólnoS
ci. SÄ… to
µ + ¾ + (180°  ´) + (² + 90°) = 360° . przeciwne, ale nie sprzeczne tendencje. Zawodowych
A zatem jeS
li wykażemy, że ² + µ = ´ , to bÄ™dzie matematyków raduje zarówno dowód taki, w którym
dobrze. Nie myS
leć, nie myS
leć... Jak w jednym z opo- używamy jak najskromniejszych S
rodków, jak i ten, w
wiadań Stanisława Lema - tam robot poruszał się na którym szczegółowe zadanie okazuje się nam w całej
planecie z zamrożonej rtęci, a że myS
lenie powodowało ogólnoS
ci - niekiedy w bardzo ogólnej ogólnoS
ci....
wzrost temperatury, więc warunkiem przetrwania była Ale każdy z radoS
ciÄ… patrzy na zagadnienia,
bezmyS
lnoS
ć. Jakie to współczesne... Jako żywo, histo- w których można powiedzieć:  Dorysuj jedną kreskę,
ria est magistra vitae. a rozwiążesz! . Przeczuwałem, że w tym zadaniu wy-
Oczywiste: wystarczy porównać tangensy - czy starczy taką kreskę narysować. Ale gdzie?
tangens ² + µ jest równy tg ´. To jeszcze pamiÄ™tam ze Honorarium, jakie dostanÄ™ za ten artykuÅ‚, z na-
szkoły: wiązką przewyższy koszt telefonów do kolegi ze Szcze-
cina. Bo to on dostawił ową kreskę. Cóż, młodoS
ć...
tg² + tg µ
Trzeba poprowadzić DK równolegle do AE, punkt K to
tg(² + µ ) =
.
ten, gdzie owa prosta przecina CB. W trójkącie DEK kąt
1- tg² tgµ
przy wierzchoÅ‚ku K jest równy ² + µ .
Komputerze, nie kuS
... program Mathematica dał odpo-
wiedx
.
53
5
3
MA
ODY TECHNIK
11/2004
ma t e ma t y k a
Bardzo zwraca siÄ™ na to uwagÄ™ w szkole amery-
C
kańskiej i w ogóle w amerykańskim wychowaniu. Pra-
ca w zespole. Teamwork. To prawda, że niekiedy prze-
szkadzamy sobie wzajemnie - jak tych stu robotników
kopiÄ…cych studniÄ™ w 10 minut... Ale tylko niekiedy. Nie
wszystko, co pochodzi z Ameryki, jest niedobre.
I jeszcze jeden wniosek. Może najważniejszy. JeS
li
robimy coS
razem, daje to po prostu więcej satysfakcji.
A dla Czytelników, którzy chcieliby jakieS
Å‚a-
twiejsze zadanie, zwiÄ…zane z tym zagadnieniem, pole-
cam następujące: w trójkącie równobocznym przepro-
E
G
wadzamy analogiczną konstrukcję na każdym boku; to
´
²
K
znaczy rzutujemy wierzchołek na przeciwległy bok,
µ
spodek wysokoS
ci rzutujemy na bok i otrzymujemy - jak
F
A D H B
wyżej punkty G1, G2, G3. Tworzą one trójkąt równo-
I dalej jak po maS
le: tangens tego kąta to boczny. Jaką długoS
ć ma jego bok?
* * *
DE DE DE AB
= = = tg ² Å" Podsumujmy. Komputer  pomógÅ‚ ,  podsunÄ…Å‚ po-
.
EB - DB
EK EB - BK AD
mysł , a wreszcie dzięki swojej mocy obliczeniowej
EB -
AB
 rozwiązał całe zadanie. To oczywiS
cie nieprawda. To
I mamy cel: dowód jak najprostszymi metodami. Wynik nie komputer. Tylko ja. Człowiek. Komputer potrzebny
pracy zespołowej jest zwykle większy niż suma wyni- był mi jak tyczka Siergiejowi Bubce. Ani Bubka bez
ków, które osiągnęliby w pojedynkę członkowie zespo- tyczki nie skoczyłby 6 metrów. Ale tyczka bez Bubki sa-
Å‚u. JeS
li pięciu robotników wnosi fortepian na piąte ma by nawet pół metra nie przeskoczyła. Ba, nawet...
piętro w 15 minut, to w jakim czasie jeden robotnik Komputery prędzej czy póx
niej wkroczą do szkół
wniósłby fortepian na 60. piętro? Takie zadanie umiemy pełnym frontem, nie tylko jako końcówki do Internetu.
rozwiązać. W 15 godzin. Bez komentarza.
54
5
4
MA
ODY TECHNIK
11/2004