Spis treści
1. Cel i zakres pracy ..................................................................................................... 3
2. Dane wykorzystane w ćwiczeniu ............................................................................. 3
3. Definicje wskaz
ników niezawodności ..................................................................... 3
a) Średni czas odnowy To................................................................................................ 3
b) Średni czas bezawaryjnej pracy Tp ............................................................................. 3
c) Parametr strumienia uszkodzeń ................................................................................... 3
d) Wskaz
nik gotowości Kg .............................................................................................. 4
e) Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy między uszkodzeniami P(t)...................... 4
f) Prawdopodobieństwo odnowy Po(t)............................................................................ 4
4. Wzory do wyznaczenia wskaz
ników niezawodności na podstawie danych z
eksploatacji ............................................................................................................................. 5
a) Średni czas odnowy To................................................................................................ 5
b) Średni czas bezawaryjnej pracy Tp ............................................................................. 5
c) Parametr strumienia uszkodzeń ................................................................................... 5
d) Wskaz
nik gotowości Kg .............................................................................................. 5
e) Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy między uszkodzeniami P(t)...................... 6
f) Prawdopodobieństwo odnowy Po(t)............................................................................ 6
5. Wyznaczenie estymatorów wskaz
ników niezawodności......................................... 6
6. Uwagi końcowe ..................................................................................................... 10
str. 2
1. Cel i zakres pracy
Wyznaczenie wskaz
ników niezawodności zbiornika wodociągowego na
podstawie danych z eksploatacji.
2. Dane wykorzystane w ćwiczeniu
tio[h]: 2, 4, 8, 10, 16, 7, 2, 5, 20, 5, 4, 13, 6, 9, 20, 12, 5, 11, 2, 3, 5, 6, 9
tpi[h]: 16010, 14010, 13040, 15390, 66210, 14290, 32505, 21610, 11700, 71903,
22330, 42400, 34950, 52190, 13720, 238910, 41000, 2991, 1990, 44910, 22201,
3382, 3890
t= D�8 lat
3. Definicje wskaz
ników niezawodności
a) Średni czas odnowy To
Parametr ten jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej T o określającej czas
odnowy obiektu. Wskaz
nik ten opisuje wzór:
Ą�
To =� E(T'o) =�
��tfo(t)dt
0
gdzie: fo(t) jest gęstością czasu odnowy
b) Średni czas bezawaryjnej pracy Tp
Parametr ten jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej Tpi, określającej czas
pracy obiektu między dwoma kolejnymi uszkodzeniami. Wskaz
nik ten opisuje się
wzorem:
Ą�
Tp =� E(T' p) =� �� fp(t)dt
��t
0
gdzie: fp(t)  jest gęstością czasu pracy
c) Parametr strumienia uszkodzeń
Wskaz
nik ten określa prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu w przedziale
czasu (t, t+D�t) niezależnie od tego czy w momencie t obiekt był sprawny czy też nie.
Parametr strumienia odnowy jest więc pochodną funkcji odnowy E[v(t)] co
można zapisać następująco:
dE[�n(t)]� Q(t,t +� D�t)
�� ł�
v� (t) =� =� lim
ę� ś�
D�t ��0
dt D�t
�� ��
gdzie:
Q(t,t+D�t)  średnia liczba uszkodzeń w przedziale czasu D�t.
str. 3
d) Wskaz
nik gotowości Kg
Przy założeniu, że czas pracy Tp i czas odnowy To mają rozkłady wykładnicze,
stacjonarny wskaz
nik gotowości będzie miał postać:
Kg = �/(�+�)
e) Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy między uszkodzeniami P(t)
Wskaz
nik ten definiuje się jako prawdopodobieństwo tego, że w przedziale
czasu (0,t) między kolejnymi uszkodzeniami, licząc od momentu uruchomienia po
uszkodzeniu, obiekt nie uszkodzi się. Jednocześnie przyjmuje się założenie, że na
początku rozpatrywanego przedziału czasu tj. t=0 obiekt był sprawny tzn. P(0) =1.
Stąd prawdopodobieństwo pracy można zapisać w postaci wzoru:
P(0,t) = P(0)*P(t) = P(t)
gdzie: P(0,t)  prawdopodobieństwo tego, że obiekt nie uszkodzi się w przedziale
czasu (0,t) i w momencie t=0 był sprawny.
W przyjętym dwustanowym modelu niezawodności: sprawność-niesprawność
nie uszkodzenia się obiektu w rozpatrywanym przedziale czasu (0,t) oznacza, że czas
pracy nie będzie krótszy od dowolnego zadanego czasu tj:
P(t)=P(0,t)=P(Tp >t)
gdzie:
Tp  zmienna losowa opisująca czas pracy obiektu
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy wyraża się wzorem:
P(t)=exp(-v���t)
gdzie:
v� - parametr strumienia uszkodzeń
Dopełnienie do jedności prawdopodobieństwa bezawaryjnej pracy jest (w modelu
dwustronnym) prawdopodobieństwa uszkodzeń tj.:
F(t)=1-P(t)=1-exp(-v���t)
Jest to postać prawdopodobieństwa przy założeniu, że proces odnowy jest stacjonarny
i bez następstw i pojedynczy.
f) Prawdopodobieństwo odnowy Po(t)
Wskaz
nik ten określa prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że
w przedziale czasu (0,t) usuwanie uszkodzenia będzie zakończone:
t
ó�
Po (t) =� P(To <� t) =� fo (t� )dt�
��
0
gdzie:
T o  czas odnowy
fo(t) - gęstość czasu odnowy
W przypadku gdy czas odnowy ma rozkład wykładniczy, prawdopodobieństwo
odnowy przyjmuje postać:
Po(t) = 1  exp (-�t)
str. 4
w którym � jest intensywnością odnowy (wartość stała). Z powyższego wzoru wynika,
że:
1/� = To
4. Wzory do wyznaczenia wskaz
ników niezawodności na podstawie danych z
eksploatacji
a) Średni czas odnowy To
Wartość czasu odnowy można oszacować na podstawie danych z eksploatacji
korzystając ze wzoru:
no
1
�� ł�
T *o =�
��toi
ę�noś�
�� ��
1
gdzie: no  liczba odnów(uszkodzeń),
toi  czas trwania i-tej odnowy
b) Średni czas bezawaryjnej pracy Tp
Wartość czasu pracy można oszacować na podstawie danych z eksploatacji
korzystając ze wzoru:
np
ć� ��
1
�� ��
T * p =� ��
��(tpi)
�� ��
np
i=�1
Ł� ł�
gdzie: np  liczba czasów pracy
tpi  czas trwania i-tego czasu pracy
c) Parametr strumienia uszkodzeń
Na podstawie danych z eksploatacji parametr strumienia uszkodzeń można
oszacować według wzoru:
n(t,t +� D�t)
v� * (t) =�
N �� D�t
gdzie:
n(t,t+D�t)  liczba uszkodzeń w przedziale czasu D�t
D�t  przedział czasu na jaki podzielono okres badań (obserwacji)
N- liczba badanych obiektów
d) Wskaz
nik gotowości Kg
Stacjonarną wartość wskaz
nika gotowości można oszacować na podstawie
danych z eksploatacji korzystając ze wzoru:
Kg = T*p/(T*p + T*o)
gdzie:
T*p, T*o  średni czas odpowiednio pracy i odnowy
Można również wskaz
nik ten oszacować ze wzoru:
Kg = tp/(tp + to)
str. 5
w którym:
tp  sumaryczny czas pracy (sprawności) w badanym okresie
to  sumaryczny czas odnów (niesprawności) w badanym okresie
e) Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy między uszkodzeniami P(t)
Prawdopodobieństwo pracy sieci można oszacować empirycznie, tj. na postawie
danych zebranych z eksploatacji na podstawie wzoru:
P*(t)=1-n(t)/Np.
gdzie:
n(t)  liczba zdarzeń polegających na tym że zarejestrowana wartość czasu pracy tpi
jest mniejsza od założonej wartości czasu t
Np.  liczba wszystkich zarejestrowanych wartości czasu
f) Prawdopodobieństwo odnowy Po(t)
Wartość prawdopodobieństwa odnowy P*(t) można oszacować na podstawie
danych z eksploatacji wg wzoru:
P*(t) = [n(t)]/n
gdzie: n(t)  liczba zdarzeń polegających na tym, że czas usuwania niesprawności
(odnowy) jest mniejszy lub co najwyżej równy czasowi t
n  liczba wartości wszystkich wartości czasów odnowy rozpatrywanych
obiektów
5. Wyznaczenie estymatorów wskaz
ników niezawodności
Dane czasów pracy z eksploatacji podzielono na 8 klas co 10000h. Natomiast
dane czasów odnów z eksploatacji podzielono na 6 klas co 4h. Poniżej przedstawiono
tabele wraz z szeregiem obliczeń pozwalających na wyznaczenie wskaz
ników
niezawodności.
str. 6
Zestawienie obliczeń dla wartości czasów pracy
Częstość
Gestoś Empiryczna
Liczeb skumulowana
Środek ć funkcja
Granice ność (dystrybuanta
Lp. przedziału ni*tśr ni(tśri-t*)^2 empiry nieawodności
przedziału "t[h] przedz empiryczna)
tśri czna P*i(t)=P(Tp>
iału ni F(t)=F(Tppi=ni/n =t)=1-Spi
pi
1
0-10000) 4 5000 20000 1984297521 0,18 0,18 0,82
2
<10000-20000) 7 15000 105000 1054338843 0,32 0,50 0,50
3
<20000-30000) 3 25000 75000 15495867,77 0,14 0,64 0,36
4
<30000-40000) 2 35000 70000 119421487,6 0,09 0,73 0,27
5
<40000-50000) 3 45000 135000 942768595 0,14 0,86 0,14
6
<50000-60000) 1 55000 55000 768801652,9 0,05 0,91 0,09
7
<60000-70000) 1 65000 65000 1423347107 0,05 0,95 0,05
8
<70000-80000) 1 75000 75000 2277892562 0,05 1,00 0,00
suma
22 600000 8586363636 1
Rozkład czasu pracy
8
7
6
5
4
n
3
2
1
0
t[h]
Średni czas pracy między uszkodzeniami t* oszacowano na podstawie podanego wcześniej
wzoru:
"
Odchylenie standardowe:
"
" "
Współczynnik zmienności:
str. 7
Parametr strumienia uszkodzeń:
Dystrybuanta empiryczna czasu pracy
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000
Granica przedziału "t[h]
Empiryczna funkcja niezawodności
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000
Granica przedziału "t[h]
str. 8
P(Td"t)
P(Td"t)
Zestawienie obliczeń dla wartości czasów odnów
Granice Środek Gestość
Liczebność Prawdopodobieństwo
przedziału przedziału ni*tśr ni(tśri-t*)^2 empiryczna
przedziału ni odnowy P(t)=P(Tp"t[h] tśri pi=ni/n
Lp.
1 0-4) 4 2 8 184,02 0,17 0,17
2 <4-8) 9 6 54 69,69 0,39 0,57
3 <8-12) 5 10 50 7,41 0,22 0,78
4 <12-16) 2 14 28 54,44 0,09 0,87
5 <16-20) 1 18 18 84,96 0,04 0,91
6 <20-24) 2 22 44 349,40 0,09 1,00
suma 23 202 749,92
Rozkład czasu odnowy
10
9
8
7
6
5
n
4
3
2
1
0
0-4) <4-8) <8-12) <12-16) <16-20) <20-24)
t[h]
Średni czas odnowy t* oszacowano na podstawie podanego wcześniej wzoru:
"
Odchylenie standardowe:
"
" "
str. 9
Wskaz
nik gotowości:
( )
Prawdopodobieństwo odnowy
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0-4) <4-8) <8-12) <12-16) <16-20) <20-24)
6. Uwagi końcowe
Przeprowadzone w projekcie obliczenia zapoznają ze sposobem przeprowadzania analizy
niezawodności obiektów inżynierskich na podstawie danych z eksploatacji. Dokładność takiej
analizy rośnie wraz z ilością zarejestrowanych cykli pracy urządzenia. Dla opisywanego
zbiornika wodociągowego dostępne były 23 wartości czasów pracy oraz odnowy. Ponieważ
jedna wartość czasu pracy (238910) znacząco odstaje od pozostałych zachodzi
prawdopodobieństwo, że jest to błąd gruby dlatego też wartość została pominięta w
obliczeniach. Ilość pomiarów przekraczała 20 dlatego dane zostały ustawione w szeregu
rozdzielczym i podzielone na klasy  8 (co 10000h) w przypadku czasów pracy oraz 6 (co 4h)
odnośnie czasów odnów.
W projekcie objaśniono a następnie wyliczono wartości wskaz
ników:
- średniego czasu odnowy
- średniego czasu bezawaryjnej pracy
- jednostkowego parametru strumienia uszkodzeń
- wskaz
nika gotowości
Sporządzono wykresy empiryczne dla prawdopodobieństwa czasu bezawaryjnej pracy oraz
prawdopodobieństwa odnowy, które są graficznym przedstawieniem prawdopodobieństwa
wystąpienia awarii oraz czasu w jakim może być usunięta.
Na podstawie uzyskanych wyników możemy wnioskować, że badany zbiornik wodociągowy
jest urządzeniem mało awaryjnym, a czas w którym są usuwane nie jest długi.
str. 10