Roman KIEROŃSKI
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
WPŁYW PRĄDU 2, 2005
TOM 24. ZESZYTODKSZTAŁCONEGO NA PROCES POWIERZCHNIOWEGO...
Roman KIEROŃSKI*
WPŁYW PRĄDU ODKSZTAŁCONEGO
NA PROCES POWIERZCHNIOWEGO NAGRZEWANIA INDUKCYJNEGO
W DWUTAKTOWYCH FALOWNIKACH NAPIĘCIA
STRESZCZENIE
Rozwój energoelektroniki przyczynił się do coraz powszechniejszego stosowania nagrzewania indukcyjnego, stwa-
rzając możliwoS
ć budowy stosunkowo tanich i niezawodnych w działaniu przemienników częstotliwoS
ci. Do takich
należą falowniki napięcia z dwoma taktami pracy. Dla tego typu pracy falownika przeanalizowano zależnoS
ci na
wyższe harmoniczne prądu. Podano wzory oraz wykreS
lono ich przebiegi dla sposobu regulacji mocy falownika.
Oceniono wpływ prądu odkształconego na proces powierzchniowego nagrzewania indukcyjnego.
Słowa kluczowe: falownik napięcia, nagrzewanie indukcyjne, wyższe harmoniczne prądu, prąd odkształcony
THE EFFECT OF DEFORMED CURRENT ON THE PROCESS OF SURFACE INDUCTION HEATING
IN A TWO-STROKES VOLTAGE INVERTERS
The development of power engineering electronics has contributed to increasingly wide application of induction
heating offering the possibility of constructing relatively cheep and reliable frequency converters. One of such in-
struments is the voltage inverters with two strokes of work. Dependences of the higher harmonics of the current
have been analysed for the inverter of this type work. Formulae are given and their courses traced for mode of
controlling the power of the inverter. The effect of deformed current on the process of induction surface heating
has been assessed.
Keywords: voltage inverter, induction heating, higher harmonics of the current, deformed current
1. WSTĘP możemy dowolnie ustawiać na stałe lub zmieniać w trakcie
pracy falownika w celu regulacji mocy. W artykule rozwa-
Prąd nagrzewnicy indukcyjnej zasilanej przez dwutaktowy
żono przypadek szczególny taki, że dla długoS
ci poszcze-
falownik napięcia jest odkształcony. Aby dokładnie opisać
gólnych taktów: �1 = Ą, �2 = 2mĄ, czyli cały kąt sterowania
zjawiska elektryczne występujące we wsadzie nagrzewa-
�s = �1 + �2 = (2m+1)Ą. Wtedy przebieg prądu ma kształt
nym prądami odkształconymi, konieczna jest znajomoS
ć za-
taki jak na rysunku 1 przykładowo dla m = 3 oscylacji
wartoS
ci wyższych harmonicznych występujących w takich
w drugim takcie pracy.
prądach. Wyznaczenie rozkładu gęstoS
ci mocy we wsadzie
Przy wyprowadzaniu wzorów dotyczących rysunku 1
przy uwzględnieniu wyższych harmonicznych prądu może
posłużono się względnymi wartoS
ciami prądów
mieć istotne znaczenie, np. w przypadku nagrzewania po-
i
wierzchniowego w procesie hartowania powierzchniowego.
iw =
(1)
Ud
�oLo
2. WYŻSZE HARMONICZNE PRĄDU
W DWUTAKTOWYCH FALOWNIKACH NAPIĘCIA
DO NAGRZEWANIA INDUKCYJNEGO
Jest wiele układów falownika napięcia do nagrzewania in-
dukcyjnego mających dwa takty pracy:
1) takt dostarczania energii,
2) takt wydzielania tej energii na odbiorniku.
Wtedy przebieg prądu odbiornika jest taki, że w pierw-
szym takcie energia jest dostarczania do kondensatora
(ładowanie kondensatora) obwodu połówką sinusoidy tłu-
mionej, zaS
w drugim takcie następuje wydzielanie tej ener-
gii na odbiorniku w obwodzie RLC dzięki rozładowywaniu
kondensatora poprzez nagrzewnicę tak, jak przedstawiono
to na rysunku 1.
W obwodzie rozładowywania, przebieg prądu przyjmuje
charakter drgań oscylacyjnych tłumionych o częstotliwoS
ci
Rys. 1. Przebieg prądu odbiornika w falowniku dwutaktowym
zależnej od parametrów tego obwodu. Liczbę oscylacji m
*
Akademia Górniczo-Hutnicza AGH w Krakowie, Wydział EAIiE, Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych
158
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 24. ZESZYT 2, 2005
Prąd przemienny względny iw odbiornika RoLo opisuje następujący wzór:
ż#
1- e-2mpĄ p�
e- sin � dla � " 0,Ą
�# ( )
( )
�#
1+ e- 2m+1 pĄ
iw = (2)
�#
1+ e- pĄ p �-Ą
�#
( )
e- sin �-Ą dla �" Ą#Ą, 2m +1 Ąń#
( ) ( )
�# Ł#Ś#
( )
1+ e- 2m+1 pĄ
�#
Przebieg tego prądu w zakresie kąta �s jednego cyklu przedstawiono na rysunku 1. Taki przebieg prądu można rozłożyć
na szereg trygonometryczny Fouriera w postaci
�s " �s
ao " �# ś# �# ś#
cosś# sinś#
iw = + Akw k �ź# + Bkw k �
""
2 �o k =1 �# �o ź#
�# # #
k =1
lub (3)
�o " �o
ao " �# ś# �# ś#
cosś# ź# sin
iw = + Akw k � + Bkw ś#k �
""
2 �s k =1 �# �s ź#
�# # #
k =1
przy czym amplituda względna k-tej harmonicznej prądu wynosi
2 2
(4)
Imkw = Akw + Bkw
ao
Składowa stała obliczona przy uwzględnieniu wzoru (1) jest równa zeru. Współczynniki Akw oraz Bkw wynoszą:
2
�s
22
Ą#Imw1F1 + Imw2e pĄF2 ń#
cos 2
Akw = iw � k � d� =
( ) ( )
+"
�s 0 �s Ł#Ś#
(5)
�s
22
Ą#Imw1G1 + Imw2epĄG2 ń#
sin 2
Bkw = iw k �) =
(�) ( d�
+"
�s 0 �s Ł#Ś#
gdzie:
Ą
�1
ż#cos 1+ k � Ł#Ś# �#
2 sin Ą# 1- k2 � + �2ń#
( )
( )
F1 = e- p� sin � cos k2 d� = - e- p� �#�# ,
�
( ) +
�#Ź#
+"
1+ k2 m2 �#
�#�#
�#
0
0
2m+1 Ą
( )
�s �s
ż#cos 1+ k2 Ł#Ś# �#
sin Ą# 1- k2 � + �2 ń#
� ( )
( )
F2 = e- p� sin � - Ą cos k2 d� = - e- p� sin � cos k2 d� = e- p� �#�# ,
� ��#Ź#
+
( ) ( ) ( )
+"+"
1+ k2 m2 �#
�#�#
�#
�1 �1
Ą
Ą
�1
ż#sin 1+ k � Ł#Ś# �#
�
2 sin Ą# 1- k2 - �4 ń#
( )
( )
G1 = e- p� sin � sin k2 d� = - e- p� �#�# ,
�
( ) +
�#Ź#
+"
1+ k2 m2 �#
�#�#
�#
0
0
2m+1 Ą
( )
�s �s
ż#sin 1+ k2 Ł#Ś# �#
sin Ą# 1- k2 �
� ( ) - �4 ń#
( )
G2 = e- p� sin � - Ą sin k2 d� = - e- p� sin � sin k2 d� = e- p� �#�# ,
� ��#Ź#
+
( ) ( ) ( )
+"+"
1+ k2 m2 �#
�#�#
�#
�1 �1
Ą
gdzie:
�s �o 2 ąo
k
2 ;;
k = k = k = �s = �1 + �2 p = ,
2 1
�o �s m + �o
2
1- k p
1- 2 ; tg ; tg ctg
m2 = p2 + k �2 = �4 = �2 = ,
( )2
2
p 1- k
, 2m ,
�1 = Ą �2 = Ą
2m 1 .
�s = + Ą
( )
159
Roman KIEROŃSKI
WPŁYW PRĄDU ODKSZTAŁCONEGO NA PROCES POWIERZCHNIOWEGO...
Prądy względne Imkw (m) k. harmonicznej dla p = 0,05
0,70
0,60
1
0,50
2
3
0,40
4
0,30
5
6
0,20
7
0,10
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Liczba oscylacji m
Rys. 2. Prądy względne Imkw k. harmonicznych dla parametru nagrzewnicy p = 0,05
Tabela 1. Prądy względne Imkw k. harmonicznych dla parametru nagrzewnicy p = 0,05
�1 = Ą Prądy względne Imkw k. harmonicznych
�2 = 2mĄ dla parametru nagrzewnicy p = 0,05
m 1 2 3 4 5 6 7
1 0,40 0,25 0,05 0,03 0,01 0,01 0,01
2 0,20 0,55 0,10 0,05 0,02 0,01 0,01
3 0,10 0,62 0,15 0,06 0,03 0,02 0,01
4 0,05 0,20 0,55 0,09 0,05 0,03 0,02
5 0,04 0,13 0,55 0,17 0,08 0,04 0,02
6 0,02 0,08 0,22 0,51 0,10 0,06 0,03
7 0,02 0,06 0,13 0,52 0,18 0,06 0,03
8 0,02 0,05 0,09 0,22 0,47 0,10 0,05
9 0,01 0,04 0,07 0,13 0,47 0,18 0,07
10 0,01 0,03 0,05 0,09 0,20 0,43 0,11
11 0,01 0,02 0,04 0,07 0,13 0,43 0,18
12 0,01 0,01 0,02 0,06 0,10 0,20 0,40
Wzory na współczynnik tłumienia ąo, pulsacje �o drgań rysunku 3. Główną różnicą w stosunku do rysunku 2 jest to,
własnych obwodu RoLoCs są podane w [4].
że dla pierwszej oscylacji największa harmoniczna wynosi
Z analizy powyższych wzorów wynika, że amplitudy
aż 0,6 i jest większa od wszystkich pozostałych harmonicz-
względne Imkw poszczególnych harmonicznych prądu zale-
nych dla wszystkich oscylacji.
żą od liczby oscylacji m i od parametru nagrzewnicy p. Na-
Z przeprowadzonych rozważań wynika, że:
stępnie obliczono wartoS
ci tych amplitud w funkcji liczby
oscylacji m dla dwóch różnych wartoS
ci p. Dla wartoS
ci pa-  zawartoS
ć harmonicznych prądu zależy głównie od
rametru p = 0,05 wykreS
lono przebiegi (rys. 2) na podsta- liczby m oraz parametru p,
wie wyników liczbowych z tabeli 1. Z przebiegów widać,  występują zarówno parzyste, jak i nieparzyste harmo-
że każda liczba m ma jedną harmoniczną znacznie większą niczne prądu,
od pozostałych, przy czym dla pierwszej i dwunastej oscy-  każda liczba m ma jedną harmoniczną znacznie więk-
lacji harmoniczna wynosi tylko 0,4.
szą od pozostałych,
Podobnie są zestawione wyniki liczbowe z tabeli 2 dla  im parametru p jest mniejszy, tym zawartoS
ć w.h. w prą-
wartoS
ci parametru p = 0,1, przedstawiono je graficznie na
dzie odbiornika jest większa dla m > 1.
160
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 24. ZESZYT 2, 2005
Tabela 2. Prądy względne Imkw k. harmonicznych dla parametru nagrzewnicy p = 0,1
Prądy względne Imkw k. harmonicznych
�1 = Ą
dla parametru nagrzewnicy p = 0,1
�2 = 2mĄ
m 1 2 3 4 5 6 7
1 0,60 0,25 0,06 0,03 0,02 0,01 0,01
2 0,20 0,50 0,10 0,05 0,04 0,02 0,01
3 0,10 0,55 0,15 0,06 0,05 0,02 0,01
4 0,05 0,20 0,43 0,08 0,05 0,02 0,01
5 0,03 0,12 0,44 0,16 0,06 0,03 0,02
6 0,02 0,08 0,20 0,37 0,10 0,04 0,02
7 0,02 0,06 0,13 0,37 0,16 0,06 0,03
8 0,01 0,04 0,09 0,20 0,31 0,10 0,05
9 0,01 0,04 0,07 0,13 0,30 0,16 0,06
10 0,01 0,03 0,05 0,09 0,18 0,27 0,10
11 0,01 0,02 0,04 0,07 0,12 0,25 0,15
12 0,01 0,02 0,04 0,06 0,09 0,17 0,23
13 0,01 0,01 0,02 0,04 0,07 0,12 0,23
Prądy względne Imkw (m) k. harmonicznej dla p = 0,1
0,70
0,60
1
2
0,50
3
0,40
4
5
0,30
6
0,20 7
0,10
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Liczba oscylacji m
Rys. 3. Prądy względne Imkw k. harmonicznych dla parametru nagrzewnicy p = 0,1
2Ą 1
3. WSPÓŁCZYNNIKI
�o = = obwodu rezonansowego LoCs głębo-
OKRER
LAJĄCE ILOR
Ć MOCY
To
LoCs
WYDZIELAJĄCEJ SIĘ
koS
ć wnikania wynosi
W WARSTWIE ZEWNĘTRZNEJ WSADU
2
O OKRER
LONEJ GRUBOR
CI
�=
(6)
�oł �
W STOSUNKU DO MOCY W CAŁYM WSADZIE
gdzie:
Prąd odkształcony zmieniający swój kształt w zależnoS
ci
ł  konduktywnoS
ć wsadu,
od zadanych przez automatykę falownika liczby oscylacji
�  przenikalnoS
ć magnetyczna wsadu.
m dla różnych wartoS
ci parametru nagrzewnicy p powoduje
inny rozkład mocy objętoS
ciowej we wsadzie nagrzewnicy
W walcu o S
rednicy d e" 6� wydziela się praktycznie cała
niż prąd sinusoidalny.
moc Pw nagrzewająca wsad, a jej procentowe zawartoS
ci
Załóżmy że wsadem jest walec. Dla przypadku sinusoidal-
w poszczególnych warstwach o gruboS
ci � obrazuje rysu-
nego prądu o częstotliwoS
ci drgań własnych równej
nek 4 na podstawie [3].
161
Roman KIEROŃSKI
WPŁYW PRĄDU ODKSZTAŁCONEGO NA PROCES POWIERZCHNIOWEGO...
Wzór ten jest ważny dla dowolnego prądu odkształcone-
go nagrzewającego wsad. Dany prąd odkształcony wcze-
S
niej trzeba poddać analizie Fouriera.
Dla przypadku sterowania taktami (wg rys. 1) takiego,
że kąty �1 = Ą, �2 = 2mĄ, czyli �s = �1 + �2 = (2m+1)Ą ,
wzór (7) przybierze postać
2k
"
-2
2
2m+1
Imkw k �"e
"
Pw� k =1
w� = = 1- (8)
Rys. 4. ZawartoS
ć procentowa mocy Pw nagrzewającej "
Pw
2
Imkw k
poszczególne warstwy o gruboS
ci � wsadu dla sinuso- "
k =1
idalnego przebiegu prądu odbiornika
Według obliczonych współczynników w�1 oraz w� za-
Falę cylindryczną padającą na taki wsad można wów-
wartych w tabeli 3 wykreS
lono przebiegi w�1(m), w�(m) dla
czas traktować jako falę płaską.
dwóch wartoS
ci parametru p (rys. 5).
Iloraz mocy Pw� w warstwie zewnętrznej wsadu o grubo-
Wpływ parametru p zawierającego się w przedziale od
S
ci równej głębokoS
ci wnikania � oraz mocy Pw wsadu
0,05 do 0,1 jak pokazuje rysunek 5 jest praktycznie niewielki.
oznaczono w� (wg [6])
Gdyby amplitudy w.h. przebiegu prądu odbiornika były po-
mijalnie małe w stosunku do pierwszej harmonicznej, to
"
2 wzory (7) i (8) uproszczą się do postaci
Imkw k �"e-2 k2
"
Pw� k =1
w� = = 1- =
" �o
Pw 2
2 -2
(9)
Imkw k
" �s -2 2m+1
w�1 = 1- e = 1- e
k =1
(7)
którego przebiegi słupkowe dla rosnącej liczby m maleją
�o
-2 k
"
(rys. 5). Krzywe te odbiegają wyrax
nie od przebiegów rze-
�s
2
Imkw k �"e
"
czywistych dla m > 1. Dla m = 1 słupek ten prawie pokrywa
k =1
=1-
się z słupkiem rzeczywistym. A więc z rysunku 5 widać, jak
"
2
duży wpływ mają amplitudy w.h. dla danej liczby oscyla-
Imkw k
"
k =1
cji m  utrzymują współczynnik w� na poziomie ok. 0,8.
Tabela 3. Współczynniki w�1 oraz w� dla dwóch wartoS
ci parametru p
�1 = Ą Współczynniki w�1 oraz w�
�2 = 2mĄ dla parametrów nagrzewnicy p:
w�
m w�1
p = 0,1 p = 0,05
1 0,83 0,84 0,80
2 0,83 0,83 0,72
3 0,79 0,78 0,66
4 0,80 0,80 0,61
5 0,78 0,78 0,57
6 0,78 0,79 0,54
7 0,77 0,77 0,52
8 0,77 0,78 0,50
9 0,77 0,77 0,48
10 0,77 0,77 0,46
11 0,76 0,76 0,45
12 0,76 0,77 0,43
13 0,75  0,42
162
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 24. ZESZYT 2, 2005
Współczynniki
0,9
0,8
0,7
0,6
p=0,10
0,5
p=0,05
0,4
w1
0,3
0,2
0,1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Liczba oscylacji
Rys. 5. ZależnoS
ć współczynnika w�1(m), w�(m) dla różnych wartoS
ci parametru p
Ten wpływ jest tym większy, im większe m. Udział w.h. jest to w� = 0,43 (rys. 5). ZaS
dla przypadku przebiegu sinu-
więc widocznie korzystniejszy dla zadawanego większe- soidalnie nietłumionego w� = 0,86, co zilustrowano w pro-
go kąta �2 = 2mĄ, czyli dla większej liczby oscylacji m centach całej mocy Pw wsadu na rysunku 6. Podobnie
w drugim takcie. Z rysunku 5 wynika, że dla dowolnych jest dla parametru p = 0,1 (rys. 7). Ponadto ciekawe
wartoS
ci m w warstwie zewnętrznej o gruboS
ci � jest mniej- jest porównanie rysunków 6a i 6b, tylko 2% mocy Pw
szy procentowy udział mocy Pw niż dla przypadku, gdy jest mniej dla pracy z jedną oscylacją w drugim takcie
ma miejsce przebieg sinusoidalny nietłumiony. Przykła- w porównaniu z przypadkiem, gdy przebieg jest sinu-
dowo dla p = 0,05 i liczby m = 12 w� = 0,77 (rys. 5), a gdy- soidalny. Podobnie jest dla parametru p = 0,1 na rysunkach
by pominąć udział amplitud wyższych harmonicznych, 7a i 7b.
a)b)c) d)
Rys. 6. ZawartoS
ci procentowe mocy Pw (w� %) nagrzewającej zewnętrzną warstwę wsadu o głębokoS
ci wnikania �
dla różnych kształtów (a d) prądów odbiornika dla p = 0,05
a)b)c) d)
Rys. 7. ZawartoS
ci procentowe mocy Pw (w� %) nagrzewającej zewnętrzną warstwę wsadu o głębokoS
ci wnikania �
dla różnych kształtów prądów (a d) odbiornika dla p = 0,1
163
Roman KIEROŃSKI
WPŁYW PRĄDU ODKSZTAŁCONEGO NA PROCES POWIERZCHNIOWEGO...
[2] Kurbiel A.: Induction heating with non-sinusoidal currents. Archi-
Z przeprowadzonych rozważań wynika, że:
ves of Electrical Engineering, vol. XLIV, No 3, 1995
 współczynnik w� zależy w małym stopniu od badanych
[3] Kurbiel A.: Indukcyjne urządzenia elektrotermiczne. Kraków, Wyd.
wartoS
ci liczby m oraz parametru p,
AGH 1992
 współczynnik w� dla wszystkich oscylacji m wynosi [4] Kurbiel A., Kieroński R.: Dwutyrystorowy falownik napięcia do na-
grzewania indukcyjnego. Przegląd Elektrotechniczny, Rok LXIX,
ok. 0,8,
nr 3, 1993
 współczynnika w� jest nieco większy dla p mniejszych,
[5] Pasternak J., Kieroński R.: Prąd odkształcony w dwułącznikowym
 współczynnik w�1  nie uwzględniający zawartoS
ć w.h.
falowniku napięcia do powierzchniowego nagrzewania indukcyjne-
prądu  maleje eksponencjalnie ze wzrostem m.
go. Materiały V Sympozjum nt.:  Symulacja, pomiary i diagnostyka
w elektrotermii , Hołny Mejera 25 28.09.1996, Politechnika Biało-
stocka
4. WNIOSKI
[6] Pasternak J., Kieroński R.: Wpływ prądu odkształconego na proces
powierzchniowego nagrzewania indukcyjnego. JakoS
ć i użytkowa-
Zjawiska elektryczne występujące we wsadzie nagrzewa-
nie energii elektrycznej, t. 2, z. 2, listopad 1996, 61 69
nym prądami odkształconymi podczas nagrzewania po-
[7] Sajdak C., Samek E.: Nagrzewanie indukcyjne. Katowice, Wyd.
wierzchniowego interesujące są w przypadku badań proce- R
ląsk 1985
sów zachodzących w zewnętrznej warstwie wsadu o grubo-
Wpłynęło: 15.07.2005
S
ci rzędu głębokoS
ci wnikania �. Z powyższych rozważań
nasuwa się pytanie: przy jakich m, p powinien pracować
falownik, aby w zewnętrznej warstwie wsadu o szerokoS
ci
Roman KIEROŃSKI
� wydzielała się jak największa iloS
ć mocy całkowitej Pw.
Z porównania rysunków 5, 6 i 7 wynika:
Urodzony w Krakowie 26.05.1963
 sterowanie mocy według liczby m jest korzystne w ca-
roku. Studia na Wydziale Elektro-
łym analizowanym zakresie, ponieważ współczynniki
techniki Automatyki i Elektroniki
w� maleją nieznacznie ze wzrostem m;
Akademii Górniczo-Hutniczej ukoń-
 korzystnie jest pracować dla liczby oscylacji m > 1, dla
czył w 1990 roku. Pracę magister-
nagrzewnic o małych wartoS
ciach parametru p, zaS
re-
ską wykonywał z zakresu elektro-
gulację mocy realizować innymi sposobami (np. zmie-
termii. Jest doktorantem Wydziału
niając napięcia Ud przez zmianę przerwy w prądzie od-
Elektrotechniki Automatyki Infor-
biornika).
matyki i Elektroniki AGH. Pracuje
w Katedrze Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysło-
Literatura
wych AGH w Krakowie. Zajmuje się tematyką nagrzewa-
nia indukcyjnego.
[1] Kurbiel A.: Analysis of a thyristor-diode series voltage inverter for
induction heating. Archives of Electrical Engineering, vol. XLIV,
No 3, 1995 e-mail: [e-mail]; [e-mail]
164