PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Luty 2008 r. Czas pracy: 180 minut
Zadanie 1. (3 pkt.)
Wykonaj działania: .
Zadanie 2. (7 pkt)
Z dwóch stacji wyjechały (po torach równoległych) jednocześnie naprzeciw siebie dwa pociągi.
Pierwszy jedzie z prędkością o 15 km/h większą niż drugi. Pociągi te spotkały się po 40 minutach
jazdy. Gdyby drugi pociąg wyjechał o 9 minut wcześniej od pierwszego, to pociągi spotkałyby się
w połowie drogi. Oblicz odległość między stacjami.
Zadanie 3. (4 pkt)
Układ równań symetrycznych
, ,
ma rozwiązania: , , , ,
gdzie z1 i z2 są rozwiązaniami równania kwadratowego .
Na przykład dla układu otrzymujemy .
Stąd oraz , a zatem rozwiązaniem układu są pary:
, , , .
Korzystając z tej informacji rozwiąż układ: .
Zadanie 4. (3 pkt)
Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie
kwadratów długości wszystkich jego boków.
Zadanie 5. (6 pkt)
Wykaż, że zbiorem wartości funkcji f, określonej wzorem:
jest przedział .
Zadanie 6. (5 pkt)
Przy kopaniu studni płacono 200 zł za pierwszy metr głębokości, a za każdy następny płacono o
50 zł więcej niż za poprzedni. Ponadto ryczałtowo dopłacono 1000 zł. Oblicz głębokość studni
wiedząc, że średni koszt 1 m głębokości studni to 725 zł.
Zadanie 7. (5 pkt)
W klasach drugich pewnego liceum przeprowadzono pod koniec roku szkolnego sprawdzian
dyrektorski w celu zbadania wiedzy i umiejętności uczniów z matematyki. Maksymalna liczba
punktów, jaką uczeń mógł uzyskać, była równa 40. Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki.
Liczba
0-20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
punktów
Liczba
6 2 5 4 1 6 3 8 5 10 3 2 4 1 0 1 2 2 1 3 1
uczniów
a) Oblicz średnią liczbę punktów 10 uczniów, którzy zdobyli największą liczbę punktów.
b) W tym liceum obowiązuje następujący sposób przeliczania punktów na oceny:
0% 50% niedostateczny
51% 59% dopuszczający
60% 79% dostateczny
80% 89% dobry
90% 95% bardzo dobry
96% 100% celujący
Przedstaw w postaci diagramu słupkowego liczbę poszczególnych ocen uzyskanych przez
uczniów.
c) Jaka jest średnia ocen uzyskanych ze sprawdzianu?
d) Jaki procent uczniów otrzymało ocenę co najmniej dostateczną?
Zadanie 8. (3 pkt)
Na ogrodzenie parkingu w kształcie prostokąta przeznaczono 300 metrów bieżących siatki.
Ozdobna metalowa brama wjazdowa ma mieć szerokość 12 m. Jakie wymiary powinien mieć ten
parking, aby jego pole powierzchni było największe? Oblicz to pole.
Zadanie 9. (4 pkt)
Położenie dwóch żołnierzy w czasie akcji zwiadowczej można opisać w układzie współrzędnych.
Żołnierz A znajduje się w punkcie i porusza się po prostej ze stałą prędkością daną
wektorem , żołnierz B znajduje się w punkcie i jego wektor prędkości to .
(Przyjmujemy za jednostkę prędkości km/h).
Wyznacz współrzędne punktu, w którym żołnierze spotkają się, tzn. punkt, gdzie przetną się ich
drogi oraz drogę przebytą przez każdego z nich.
Zadanie 10. (6 pkt)
W prostopadłościennym pudełku należy umieścić 24 okrągłe kredki w następujący sposób:
Wiedząc, że kredki mają długość 20 cm, a średnica ich przekroju ma 9 mm, oblicz wymiary
pudełka. Wynik podaj z dokładnością do 0,5 cm.
Zadanie 11. (4 pkt)
Partię 100 sztuk towaru poddaje się losowej kontroli. Warunkiem odrzucenia tej partii jest
znalezienie co najmniej jednej sztuki wadliwej, podczas trzech kolejnych losowań bez zwracania.
Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii zawierającej 5% sztuk wadliwych?
Zadania wybrała: Dorota Rakowska
2