MO Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16 1
Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16
Z2/16.1. Zadanie 16
Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich podporach układu prętowego przedstawionego na
rysunku Z2/16.1.
B
21,0 kN
15,0 kN
I
9,0 kN
1
12,0 kN
II
A
C
[m]
1,0 3,0 2,0 3,0
Rys. Z2/16.1. Układ prętowy
Analiza kinematyczna układu prętowego przedstawionego na rysunku Z2/16.1 znajduje się w zadaniu
Z1/4.
Z2/16.2. Analiza statyczna układu prętowego
Na początek będziemy, zgodnie z analizą kinematyczną, rozpatrywali układ prętowy jako całość. Na
podporze przegubowo-nieprzesuwnej A będą działy dwie reakcje: pozioma i pionowa. Na podporze
przegubowo-przesuwnej C działać będzie jedna pionowa reakcja. Założone zwroty tych reakcji przedstawia
rysunek Z2/16.2.
Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na układ prętowy na oś X. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze
zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.2 równanie to będzie miało postać
²Ä… X =H ƒÄ…15,0ƒÄ…12,0=0
A
. (Z2/16.1)
H =-27,0 kN
A
Pozioma reakcja na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A ma w rzeczywistości zwrot przeciwny do
założonego.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy
momentów wszystkich sił działających na układ prętowy względem punktu C. Dodatni moment będzie
kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.2 równanie to będzie miało postać
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
2,0
4,0
2,0
3,0
2,0
1,0
MO Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16 2
B
21,0 kN
15,0 kN
I
9,0 kN
1
12,0 kN
II
HA
Y
C
A
[m]
VA
X VC
1,0 3,0 2,0 3,0
Rys. Z2/16.2. Założone zwroty reakcji na podporach A i C
²Ä… M =V Å"9,0-9,0Å"8,0ƒÄ…15,0Å"5,0-21,0Å"3,0ƒÄ…12,0Å"2,0=0
C A
. (Z2/16.2)
V =4,0kN
A
Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej C wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na układ prętowy względem punktu A. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem
wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.2 równanie to będzie miało postać
²Ä… M =-V Å"9,0ƒÄ…9,0Å"1,0ƒÄ…15,0Å"5,0ƒÄ…21,0Å"6,0ƒÄ…12,0Å"2,0=0
A C
. (Z2/16.3)
V =26,0 kN
C
Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
układ prętowy na oś Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem
Z2/16.2 równanie to będzie miało postać
²Ä… Y =V ƒÄ…V -9,0-21,0=4,0ƒÄ…26,0-30,0=0
. (Z2/16.4)
A C
Równanie (Z2/16.4) zostało spełnione więc obliczenia reakcji na podporach przegubowo-
nieprzesuwnej A i przegubowo-przesuwnej C sÄ… poprawne.
Rysunek Z2/16.3 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji na podporach A i C. Reakcje te
oraz siły czynne działające na układ prętowy znajdują się w równowadze.
Rysunek Z2/16.4 przedstawia założone zwroty reakcji: na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A,
przegubie rzeczywistym B i pręcie podporowym numer 1 działające na pręt numer I.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
2,0
4,0
2,0
3,0
2,0
1,0
MO Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16 3
B
21,0 kN
15,0 kN
I
9,0 kN
1
12,0 kN
II
27,0 kN
C
A
[m]
4,0 kN
26,0 kN
1,0 3,0 2,0 3,0
Rys. Z2/16.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji na podporach A i C
HB(I)
B
VB(I)
15,0 kN
I
9,0 kN
R1(I)
1
D
HA
Y
[m]
A
X VA
1,0 3,0
Rys. Z2/16.4. Założone zwroty reakcji działających na pręt numer I
Pionową reakcję przegubie rzeczywistym B wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na pręt I na oś Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z
rysunkiem Z2/16.4 równanie to będzie miało postać
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
2,0
4,0
2,0
3,0
2,0
1,0
2,0
2,0
3,0
MO Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16 4
śąI źą śą źą
I
²Ä… Y =V ƒÄ…V -9,0=0
B A
śą źą
I
V ƒÄ…4,0-9,0=0 . (Z2/16.5)
B
śą I źą
V =5,0kN
B
Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.
Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym B wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich
sił działających pręt numer I względem punktu D przedstawionego na rysunku Z2/16.4. Punkt ten jest
punktem przecięcia się kierunków pionowej reakcji w przegubie B oraz reakcji w pręcie podporowym
numer 1. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.4
równanie to będzie miało postać
śą źą
I I
²Ä… M =-HśąB źąÅ"4,0ƒÄ…V Å"4,0-H Å"3,0ƒÄ…15,0Å"2,0-9,0Å"3,0=0
D A A
I
-HśąB źą . (Z2/16.6)
Å"4,0ƒÄ…4,0Å"4,0-śą-27,0źąÅ"3,0ƒÄ…15,0Å"2,0-9,0Å"3,0=0
śąI źą
H =25,0kN
B
Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.
Reakcję w pręcie podporowym numer 1 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających pręt numer I względem punktu B. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Zgodnie z rysunkiem Z2/16.4 równanie to będzie miało postać
śą źą
I
²Ä… M =-RśąI źą
Å"4,0ƒÄ…V Å"4,0-H Å"7,0-15,0Å"2,0-9,0Å"3,0=0
B 1 A A
źą
-RśąIÅ"4,0ƒÄ…4,0Å"4,0-śą-27,0źąÅ"7,0-15,0Å"2,0-9,0Å"3,0=0 . (Z2/16.7)
1
Rśą2I źą=37,0 kN
Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających pręt
numer I na oÅ› poziomÄ… X. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z
rysunkiem Z2/16.4 równanie to będzie miało postać
śąI źą I
²Ä… X = H ƒÄ…Rśą Iźą-HśąB źąƒÄ…15,0=-27,0ƒÄ…37,0-25,0ƒÄ…15,0=0 . (Z2/16.8)
A 1
Równanie (Z2/16.8) zostało spełnione. Możemy ostatecznie stwierdzić, że pręt numer I znajduje się w
równowadze.
Pozostaje nam tylko sprawdzić równowagę pręta numer II. Rysunek Z2/16.5 przedstawia założone
zwroty reakcji działające na ten pręt. Reakcje te mają takie same wartości ale przeciwne zwroty jak reakcje
działające na pręt numer I. Wynika to bezpośrednio z równowagi założonych zwrotów składowych reakcji w
przegubie rzeczywistym B przedstawionych na rysunku Z2/16.6. Możemy więc napisać, że
śą źą śą źą
II I
H =H =25,0 kN , (Z2/16.9)
B B
śą źą śą źą
II I
V =V =5,0kN . (Z2/16.10)
B B
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16 5
HB(II)
B
VB(II)
21,0 kN
R1(II)
1
12,0 kN
Y II
X
C
[m]
VC
2,0 3,0
Rys. Z2/16.5. Założone zwroty reakcji działających na pręt numer II
B
HB(I) HB(II)
VB(I) VB(II)
Rys. Z2/16.6. Założone zwroty reakcji działające w przegubie rzeczywistym B
B B
25,0 kN
25,0 kN
5,0 kN
21,0 kN
5,0 kN
15,0 kN
I
9,0 kN
37,0 kN
1 1
37,0 kN
12,0 kN
II
27,0 kN
C
A
4,0 kN
26,0 kN
[m]
1,0 3,0
2,0 3,0
Rys. Z2/16.7. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji działające na pręty numer I i II
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
4,0
2,0
1,0
2,0
4,0
2,0
3,0
2,0
1,0
MO Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 16 6
B
25,0 kN 25,0 kN
5,0 kN
5,0 kN
Rys. Z2/16.8. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji działające w przegubie rzeczywistym B
W celu sprawdzenia równowagi pręta numer II zastosujemy równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na ten pręt na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze
zwrotami tych osi. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.6 pierwsze z równań ma postać
śąII źą II
²Ä… X =HśąB źą-Rśą IIźąƒÄ…12,0=25,0-37,0-12,0=0 . (Z2/16.11)
1
Drugie z nich będzie miało postać
śąII źą
²Ä… Yśą II źą=V -V -21,0=26,0-5,0-21,0=0 . (Z2/16.12)
C B
Równania (Z2/16.11) i (Z2/16.12) zostały spełnione. Możemy więc stwierdzić, że pręt numer II znajduje się
w równowadze.
Rysunek Z2/16.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji działających na pręty numer I i II,
które znajdują się w równowadze. Rysunek Z2/16.8 przedstawia równowagę przegubu rzeczywistego B.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni