PTS - Lista zadań nr 3
Student:
Tomasz Śniatowski Prowadzący:
Nr indeksu 157693 mgr inż. Grzegorz Filcek
Grupa wt/n 11:15
1 Charakterystyki
Charakterystyka impulsowa to odpowiedz
układu na wejście u(t) = �(t), a
charakterystyka skokowa - na wejście u(t) = (t). Transformaty tych wejść
1
przedstawiają się następująco: L {�(t)} = 1, L { (t)} = . Charakterystyką
s
amplitudowo-fazową nazywamy zaś wykres K(j�) na płaszczyz
nie zespolonej,
Y (s)
gdzie K to transmitancja układu, K(s) = .
U(s)
1 a) Układ inercyjny
Układ inercyjny opisany jest równaniem:
y(t) + T Ź(t) = ku(t)
Wyznaczamy transmitancję układu:
Y (s) + T (sY (s) - 0) = kU(s)
Y (s)(1 + T s) = kU(s)
k
Y (s) = U(s)
1 + T s
Y (s) k
K(s) = =
U(s) 1 + T s
1. Charakterystyka impulsowa
u(t) = �(t), U(s) = 1
k
Y (s) =
1 + T s
k
T
Y (s) =
1
+ s
T
k t
T
y(t) = e-
T
Wykres tej zależności znajduje się na rysunku 1
2. Charakterystyka skokowa
1
u(t) = (t), U(s) =
s
1 k k k kt 1 1
Y (s) = � = = - = k - k
1
s 1 + T s s(1 + T s) s st + 1 s s +
T
1 1
T T
y(t) = k - ke-t = k(1 - e-t )
Wykres tej zależności znajduje się na rysunku 2
2
k
T
y(t)
0
0
t
Rysunek 1: Charakterystyka impulsowa układu inercyjnego
k
y(t)
0
T
t
Rysunek 2: Charakterystyka skokowa układu inercyjnego
3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
k
K(s) =
1 + T s
k k � (1 - T j�) k - j � (T k�)
K(j�) = = =
2
1 + T j� (1 + T j�)(1 - T j�) 12 - T j2�2
k - jT k�
K(j�) =
2
T �2 + 1
Na płaszczyz
nie zespolonej mamy:
k
x(�) = ReK(j�) = > 0
2
T �2 + 1
T k�
y(�) = ImK(j�) = - < 0
2
T �2 + 1
2 2
k2 + T k2�2 k2(1 + T �2) k2
x(�)2 + y(�2) = = =
2 2 2
(T �2 + 1)2 (T �2 + 1)2 T �2 + 1 = kx(�)
3
Mamy więc:
x2 + y2 = kx
k2 k2
x2 - kx + + y2 =
2 2

k k2
x - + y2 =
2 2
k k
Szukaną krzywa jest więc ta część okręgu o środku w ( , 0) i promieniu , dla
2 2
której x > 0 i y < 0. Oprócz tego:
k
K(0) = oraz lim K(�j) = 0
2
�"
Z powyższego można wyznaczyć kierunek zmian K(�j) - w kierunku (0, 0).
Wykres K(i�) znajduje się na ryzunku 3.
ImK(i�) 0
k
-
2
k
0 k
2
ReK(i�)
Rysunek 3: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu inercyjnego
1 b) Układ całkujący
�
y(t) = k u(�)d�
0
1
Y (s) = k U(s)
s
Y (s) k
K(s) = =
U(s) s
1. Charakterystyka impulsowa
1
Y (s) = k
s
y(t) = k � (t)
Charakterystykę przedstawia wykres na rysunku 4.
4
k
y(t)
0
0
t
Rysunek 4: Charakterystyka impulsowa układu całkującego
2. Charakterystyka skokowa
1 k k
Y (s) = � =
s s s2
y(t) = k � (t) � t
Charakterystykę przedstawia wykres na rysunku 5.
y(t)
0
0
t
Rysunek 5: Charakterystyka skokowa układu całkującego
3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
k
K(s) =
s
k kj k
K(j�) = = = -j
j� j2� �
ReK(j�) = 0 , lim ImK(j�) = -" , lim ImK(j�) = 0
�0 �"
5
Wykresem tej zależności na płaszczyz
nie zespolonej jest więc półprosta - ujemna
półoś urojona (w granicy - wraz z (0, 0)). Dla rosnących � wartość K(i�) zbliża
się do 0. Wykres K(i�) znajduje się na rysunku 6.
ImK(i�)
0
0
ReK(i�)
Rysunek 6: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu całkującego
1 c) Układ całkujący z inercją
�
y(t) + T Ź(t) = k u(�)d�
0
1
Y (s) + T (sY (s) - 0) = k U(s)
s
1
Y (s)(1 + T s) = k U(s)
s
1
Y (s) = k U(s)
s(1 + T s)
Y (s) k
=
U(s) s(1 + T s)
1. Charakterystyka impulsowa
1
Y (s) = k
s(1 + T s)

1
Y (s) = k - T 1 + sT
s
t
T
y(t) = k(1 - e- )
Charakterystyka impulsowa układu całkującego z inercją jest więc taka sama,
jak charakterystyka skokowa układu inercyjnego - patrz wykres na rysunku 2.
6
2. Charakterystyka skokowa
1 1 k
Y (s) = � k =
s s(1 + T s) s2(1 + T s)

2
T 1 T
Y (s) = k + -
sT + 1 s2 s

1 1 1
Y (s) = k T + - T
1
s + s2 s
T
1
T
y(t) = kT e- + kt - kT
1
T
y(t) = kT (e- - 1) + kt
Wykres y(t) znajduje się na rysunku 7.
k
- k
T
y(t)
k
0
T
t
Rysunek 7: Charakterystyka skokowa układu całkującego z inercją
3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
k
K(s) =
s(1 + T s)
k k � j�(1 - T j�)
K(j�) = =
j�(1 + T j�) -�2(1 + (T �)2)
kT �w + k� kT k
K(j�) = = - - j
-�2(1 + (T �)2) 1 + (T �)2 �(1 + (T �)2)
kT
x(�) = ReK(j�) = -
1 + (T �)2
k
y(�) = ImK(j�) = - < 0
�(1 + (T �)2)
lim ReK(j�) = -kT , lim ReK(j�) = -"
�0 �0
lim ReK(j�) = 0 , lim ImK(j�) = 0
�" �"
Wykres K(i�) znajduje się na rysunku 8.
7
0
ImK(i�)
-kT 0
ReK(i�)
Rysunek 8: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu całkującego z inercją
1 d) Układ różniczkujący z inercją
y(t) + T Ź(t) = ku(t)
Ł
Y (s) + T sY (s) = ksU(s)
Y (s)(1 + T s) = kU(s)
k
Y (s) = U(s)
1 + T s
Y (s) ks
K(s) = =
U(s) 1 + T s
1. Charakterystyka impulsowa

ks k k k 1
Y (s) = = - = � 1 -
1 + T s T T (sT + 1) T sT + 1

k 1 1
Y (s) = 1 - �
1
T T s +
T

k 1 t
T
y(t) = �(t) - e-
T T

" dla t = 0,
y(t) =
t
k
- e- T
dla t = 0.

2
T
Wykres znajduje się na rysunku 9.
2. Charakterystyka skokowa
1 ks k
Y (s) = � =
s 1 + T s 1 + T s
k
T
Y (s) =
1
+ s
T
8
y(t) 0
0
t
Rysunek 9: Charakterystyka impulsowa układu różniczkującego z inercją
k t
T
y(t) = e-
T
Charakterystyka ta jest taka sama jak charakterystyka impulsowa dla układu
inercyjnego - patrz rysunek 1.
3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
ks
K(s) =
1 + T s
kj� kj�(1 - T j�) kj� - kj2T �)
K(j�) = = =
2
1 + T j� (1 + T j�)(1 - T j�) 12 - T j2�2
kT �2 k�
K(j�) = + j
2 2
1 + T �2 1 + T �2
Na płaszczyz
nie zespolonej mamy:
kT �2
x(�) = ReK(j�) = > 0
2
1 + T �2
k�
y(�) = ImK(j�) = > 0
2
1 + T �2
k2�2 k
x(�)2 + y(�2) = = x(�)
2
1 + T �2 T
2 2
k k k
x(�)2 - x(�) + + y(�2) =
T 2T 2T
2 2
k k
x(t) - + y(�2) =
2T 2T
k
Szukaną krzywa jest więc ta część okręgu o środku w (k , 0) i promieniu , dla
2 2
której x > 0 i y > 0. Oprócz tego:
k
K(0) = oraz lim K(�j) = 0
T
�"
Z powyższego można wyznaczyć kierunek zmian K(�j) - w kierunku (0, 0).
Wykres K(i�) znajduje się na rysunku 10.
9
k
2
ImK(i�) 0
k
0 k
2
ReK(i�)
Rysunek 10: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu różniczkującego z in-
ercją
2 Transmitancje
2 a) Transmitancje poszczególnych bloków
1
Blok 1 to układ RLC z R = 1, L = i C = 2. Transmitancja układu RLC
2
wyraża się wzorem:
1
K1(s) =
1
R + Ls +
Cs
Po podstawieniu:
1 2s 2s
K1(s) = = =
1 1
1 + s + 2s + s2 + 1 (s + 1)2
2 2s
Blok 2 to człon całkujący z inercją I rzędu o stałej czasowej T1 = 3 i wzmocnieniu
k1 = 1. Wiemy że transmitancja członu całkującego z inercją wyraża się wzorem:
k1 1
K2(s) = =
s(1 + T1s) s(1 + 3s)
Blok 3 to silnik elektryczny traktowany jako układ inercyjny 1 rzędu o stałej
czasowej T2 = 3 i wzmocnieniu k2 = kR.
k2 kR
K3(s) = =
1 + T2s 1 + 3s
Blok 4 to układ proporcjonalny idealny o współczynniku kR.
K4(s) = kR
2 b) Wzory na transmitancje zastępcze
1. Układy połączone szeregowo
Rozważmy dwa układy połączone szeregowo. Oznaczmy wejście pierwszego ukła-
du jako u1(t), wyjście pierwszego y1(t) = u2(t) (wejście drugiego), y2(t) - wyjście
drugiego układu.
10
Y2(s) = K2(s)U2(s) = K2(s)Y1(s) = K2(s)K1(s)U1(s)
Stąd transmitancja zastępcza wyraża się wzorem
KZ(s) = K1(s)K2(s)
co można łatwo uogólnić na połączenie szeregowe n układów:
n

KZ(s) = Ki(s)
i=1
2. Dwa układy połączone równolegle
Jeżeli wejścia n układów są takie same, a ich wyjścia sumują się, to mamy:
ui(t) = u(t) dla i = 1, 2, 3, . . . , n
n

y(t) = yi(t)
i=1

n n

Y (s) = L yi(s) = Yi(s)
i=1 i=1
n n n

YS(s) = Ui(s)Ki(s) = U(s)Ki(s) = U(s) Ki(s) = U(s)KZ(s)
i=1 i=1 i=1
Stąd transmitansja zastępcza n układów połączonych szeregowo KZ to:
n

KZ(s) = Ki(s)
i=1
3. Układ ze sprzężeniem zwrotnym ujemnym
Oznaczmy wejście układu jako u(t), a wyjście jako y(t). Wejściem członu o zna-
nej transmitancji K jest różnica us(t) = u(t) - y(t). Transformując uzyskujemy:
Y (s) = US(s)K(s) = (U(s) - Y (s))K(s) = U(s)K(s) - Y (s)K(s)
Y (s)(1 + K(s)) = U(s)K(s)
K(s)
Y (s) = U(s)
1 + K(s)
Stąd:
K(s)
KZ(s) =
1 + K(s)
11
2 c) Transmitancja zastępcza całego układu
K23 = K2 + K3 (połączenie równoległe)
K4

K4 = (sprz. zwrotne ujemne)
1 + K4

KZ = K1 � K23 � K4 (połączenie szeregowe)

2s 1 kR
+ kR
K1(K2 + K3)K4 (s+1)2 s(1+3s) 1+3s
KZ = =
1 + K4 1 + kR
2s 1+kRs
kR
(s+1)2 s(1+3s)
KZ =
1 + kR
2kr(1 + kRs)
KZ =
(s + 1)2(1 + 3s)(1 + kR)
3 Układy o zadanym opisie
Należy zaprojektować co najmniej dwa różne układy, których opis w postaci
równania różniczkowego przedstawia się następująco:
y + ay = bu + cu
przy założeniach: y(0) = 0, y (0) = 0, c > ab. Transformując zadane równanie
wyznaczamy transmitancję:
L {y (t)} + L {ay (t)} = L {bu (t)} + L {cu(t)}
s2Y (s) - sy(0) - y (0) + asY (s) - ay(0) = bsU(s) - bu(0) + cU(s)
Y (s)(s2 + as) = U(s)(bs + c) - bu(0) /przyjmuję u(0) = 0
Y (s) bs + c
K(s) = =
U(s) s(s + a)
Wykorzystując wiadomości z zadania 2., możemy łatwo podać kilka przykłado-
wych układów o takiej transmitancji.
3 a) Układ 1
Można spróbować tak dobrać parametry kilku bloków, aby w wyniku pomnoże-
nia ich transmitacji otrzymać szukaną transmitancję K (połączenie szeregowe).
Np. układ złożony z dwóch bloków połączonych szeregowo:
1. blok złożnony z dwóch podbloków połączonych równolegle:
(a) blok różniczkujący o wzmocnieniu k = b
K11(s) = ks = bs
(b) blok proporcjonalny o wzmocnieniu k = c
K12(s) = k = c
12
Transmitancja bloku 1 jest więc sumą:
K1(s) = K11(s) + K12(s) = bs + c
1
2. całkującego z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T1 = i wzmocnieniu
a
1
k = .
a
1
k 1
a
K2(s) = = =
1
s(1 + T s) s(1 + s) s(a + s)
a
Transmitancja całego układu wynosi:
1 bs + c
K(s) = K1(s)K2(s) = (bs + c) = ,
s(a + s) s(s + a)
co równe jest szukanej transmitancji.
Rysunek 11: Schemat układu 1
3 b) Układ 2
Możemy do docelowej transmitancji dojśc następująco:
1
1. blok inercyjny z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T = i wzmocnieniu
a
1
k =
a
1
k 1
a
K11(s) = = =
1
1 + sT 1 + s a + s
a
1
2. blok całkujący z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T = i wzmocnieniu
a
c
k = .
ab
c c
k
ab b
K12(s) = = =
1
s(1 + sT ) s(1 + s ) s(s + a)
a
3. blok proporcjonalny o wzmocnieniu k = b
K2(s) = k = b
Bloki 1 i 2 są połączone równolegle, a blok 3 - szeregowo z nimi. Transmitancja
całego układu to:

c
1 bs + c bs + c
b
K = (K11 + K12)K2 = + b = b =
a + s s(s + a) bs(a + s) s(a + s)
13
Rysunek 12: Schemat układu 2
14