AiR II rok czwartek nieparzysty
Podstawy automatyki - ćwiczenia
Lista nr 2
1) Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla równań
2
d y dy
a) +ð 2 -ð 3y =ð u
2
dt dt
3 2 3 2
d y d y dy d u d u du
b) +ð 3 +ð 2 +ð 4y =ð +ð 5 +ð 3 +ð 3u
2 2
dt3 dt dt dt3 dt dt
2) Dla przykładu z zadania 1a wyznaczyć macierz tranzycyjną:
a) metodą odwrotnego przekształcenia Laplace a
b) metodÄ… diagonalizacji macierzy
3) Rozwiązać równania stanu z zadania 1a przy następujących założeniach:
a) u(t)=0, y (0)=0, y(0)=1
b) u(t)=2*1(t), y (0)=y(0)=0
4) Wyznaczyć transmitancję operatorową dla równań stanu wyznaczonych w
zadaniu 1
OPIS UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH W PRZESTRZENI STANÓW
G(s) =ð C[sI -ð A]-ð1 B +ð D
Wyznaczanie równań stanu na podstawie równania różniczkowego
Metoda ogólna
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego
dny dn-1y dy
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= b0u
z prostym skladnikiem wymuszajÄ…cym, jako zmienne stanu przyjmuje siÄ™
óð
x1 =ð y, x2 =ð y , Kð, xn =ð y(n-ð1)
Wówczas otrzymujemy równania stanu
óð
x1 =ð x2
óð
x2 =ð x3
Lð
óð
xn-ð1 =ð xn
n-ð1
óð
xn =ð -ð xi+ð1 +ð b0u
åðai
i=ð0
i równanie wyjścia
y =ð x1
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego z wymuszeniem zawierającym
pochodne
dny dn-1y dy dmu dm-1u du
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= bm dtm + bm-1 dtm-1 +...+ b1 dt +b0u
wyznacza się opis metodą ogólną w postaci
&ð
x1 0 1 0 Lð 0 x1 c1
éð Å‚ð éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð
&ð
x2 0 0 1 Lð 0 x2 Å›ð Ä™ðc2 Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð =ð Mð Mð Mð Oð Mð Mð +ð Mð u
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
&ð
0 0 0 Lð 1
Ä™ðxn-ð1Å›ð Ä™ð Å›ðÄ™ðxn-ð1Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð a0 -ð a1 -ð a2 Lð -ð an-ð1Å›ðÄ™ð xn Å›ð Ä™ðcn Å›ð
&ð
xn
ëð ûð ëð ûðëð ûð ëð ûð
x1
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
2
y =ð [ð1 0 Lð 0]ðÄ™ðxMð Å›ð +ð c0u
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëðxn ûð
NastÄ™pnie stosujemy podstawienie : y =ð x1 +ð cou , y'=ð x'1+ðcou'=ð x2 +ð c1u +ð cou , .........
Powyższe wyrażenia należy podstawić do równania różniczkowego, porównać stronami i
wyliczyć współczynniki co ,c1,c2,....
Rozwiązywanie równań stanu
&ð
RozwiÄ…zanie równania x =ð Ax +ð Bu speÅ‚niajÄ…ce warunek poczÄ…tkowy x(t0) =ð x0 ma postać:
t
A(t-ðtð )
0
x(t) =ð eA(t-ðt )x0 +ð
òðe Bu(tð )dtð
t0
Fð(t) =ð eAt - macierz tranzycyjna
W przypadku gdy u(t) ºð 0 rozwiÄ…zanie ma postać:
x(t) =ð eAt x0 =ð Fð(t)x0
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda odwrotnego przekształcenia Laplaca
eAt =L-1[(sI-A)-1]
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda diagonalizacji macierzy
Metoda ta oparta jest na następującej zależności
Minorem Mij nazywamy wyznacznik (n-1) - szego stopnia otrzymanego przez opuszczenie i-
tego wiersza i j-tej kolumny z wyznacznika n-tego stopnia
Dopełnienie algebraiczne Dij określa się z zależności Dij=(-1)i+ jMij
Macierz dołączoną macierzy kwadratowej Ad otrzymuje się przez transpozycję macierzy,
w której każdy element A zastąpiono przez jego dopełnienie algebraiczne
A Ad =Ad A=|A| I
Macierz odwrotna A-1 jest macierzą dołączoną podzieloną przez wyznacznik macierzy
Ad
A-ð1 =ð
| A |
A-1 A=A A-1 =I
JeÅ›li A jest macierzÄ… o wymiarach n x n, to wyznacznik |A-lðI| nazywa siÄ™ wielomianem
charakterystycznym macierzy A
I - macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1
Równanie |A-lðI|=0 nazywa siÄ™ równaniem charakterystycznym
Pierwiastki równania charakterystycznego lð1, lð2,..., lðn stanowiÄ… wartoÅ›ci wÅ‚asne macierzy A
Wektor niezerowy Vi który speÅ‚nia równanie AVi=lðiVi nazywa siÄ™ wektorem wÅ‚asnym
macierzy A zwiÄ…zanym z wartoÅ›ciÄ… wÅ‚asnÄ… lði
Wektory wÅ‚asne wyznacza siÄ™ z nastÄ™pujÄ…cego równania [A-lði I ] Vi =0
JeÅ›li lð1, lð2,..., lðn sÄ… pojedynczymi wartoÅ›ciami wÅ‚asnymi macierzy A, a wektory V1, V2,..., Vn
są wektorami własnymi macierzy A, to kolumny macierzy przekształcenia
diagonalizującego P stanowią wektory własne macierzy A
P=[V1, V2,..., Vn ]
Jeśli macierz A ma postac
i wartoÅ›ci wÅ‚asne macierzy A sÄ… pojedyncze lð1, lð2,..., lðn, to macierz diagonalizujÄ…ca P ma
postac