AiR II rok czwartek nieparzysty
Podstawy automatyki - ćwiczenia
Lista nr 2
1) Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla równań
2
d y dy
a) +� 2 -� 3y =� u
2
dt dt
3 2 3 2
d y d y dy d u d u du
b) +� 3 +� 2 +� 4y =� +� 5 +� 3 +� 3u
2 2
dt3 dt dt dt3 dt dt
2) Dla przykładu z zadania 1a wyznaczyć macierz tranzycyjną:
a) metodą odwrotnego przekształcenia Laplace a
b) metodą diagonalizacji macierzy
3) Rozwiązać równania stanu z zadania 1a przy następujących założeniach:
a) u(t)=0, y (0)=0, y(0)=1
b) u(t)=2*1(t), y (0)=y(0)=0
4) Wyznaczyć transmitancję operatorową dla równań stanu wyznaczonych w
zadaniu 1
OPIS UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH W PRZESTRZENI STANÓW
G(s) =� C[sI -� A]-�1 B +� D
Wyznaczanie równań stanu na podstawie równania różniczkowego
Metoda ogólna
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego
dny dn-1y dy
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= b0u
z prostym skladnikiem wymuszającym, jako zmienne stanu przyjmuje się
ó�
x1 =� y, x2 =� y , K�, xn =� y(n-�1)
Wówczas otrzymujemy równania stanu
ó�
x1 =� x2
ó�
x2 =� x3
L�
ó�
xn-�1 =� xn
n-�1
ó�
xn =� -� xi+�1 +� b0u
��ai
i=�0
i równanie wyjścia
y =� x1
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego z wymuszeniem zawierającym
pochodne
dny dn-1y dy dmu dm-1u du
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= bm dtm + bm-1 dtm-1 +...+ b1 dt +b0u
wyznacza się opis metodą ogólną w postaci
&�
x1 0 1 0 L� 0 x1 c1
�� ł� �� ł��� ł� �� ł�
ę� ś� ę� ś�ę�
&�
x2 0 0 1 L� 0 x2 ś� ę�c2 ś�
ę� ś� ę� ś�ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�ę� ś� ę� ś�
M� =� M� M� M� O� M� M� +� M� u
ę� ś� ę� ś�ę� ś� ę� ś�
&�
0 0 0 L� 1
ę�xn-�1ś� ę� ś�ę�xn-�1ś� ę� ś�
ę� ś� ę�-� a0 -� a1 -� a2 L� -� an-�1ś�ę� xn ś� ę�cn ś�
&�
xn
�� �� �� ���� �� �� ��
x1
�� ł�
ę� ś�
2
y =� [�1 0 L� 0]�ę�xM� ś� +� c0u
ę� ś�
ę� ś�
��xn ��
Następnie stosujemy podstawienie : y =� x1 +� cou , y'=� x'1+�cou'=� x2 +� c1u +� cou , .........
Powyższe wyrażenia należy podstawić do równania różniczkowego, porównać stronami i
wyliczyć współczynniki co ,c1,c2,....
Rozwiązywanie równań stanu
&�
Rozwiązanie równania x =� Ax +� Bu spełniające warunek początkowy x(t0) =� x0 ma postać:
t
A(t-�t� )
0
x(t) =� eA(t-�t )x0 +�
��e Bu(t� )dt�
t0
F�(t) =� eAt - macierz tranzycyjna
W przypadku gdy u(t) �� 0 rozwiązanie ma postać:
x(t) =� eAt x0 =� F�(t)x0
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda odwrotnego przekształcenia Laplaca
eAt =L-1[(sI-A)-1]
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda diagonalizacji macierzy
Metoda ta oparta jest na następującej zależności
Minorem Mij nazywamy wyznacznik (n-1) - szego stopnia otrzymanego przez opuszczenie i-
tego wiersza i j-tej kolumny z wyznacznika n-tego stopnia
Dopełnienie algebraiczne Dij określa się z zależności Dij=(-1)i+ jMij
Macierz dołączoną macierzy kwadratowej Ad otrzymuje się przez transpozycję macierzy,
w której każdy element A zastąpiono przez jego dopełnienie algebraiczne
A Ad =Ad A=|A| I
Macierz odwrotna A-1 jest macierzą dołączoną podzieloną przez wyznacznik macierzy
Ad
A-�1 =�
| A |
A-1 A=A A-1 =I
Jeśli A jest macierzą o wymiarach n x n, to wyznacznik |A-l�I| nazywa się wielomianem
charakterystycznym macierzy A
I - macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1
Równanie |A-l�I|=0 nazywa się równaniem charakterystycznym
Pierwiastki równania charakterystycznego l�1, l�2,..., l�n stanowią wartości własne macierzy A
Wektor niezerowy Vi który spełnia równanie AVi=l�iVi nazywa się wektorem własnym
macierzy A związanym z wartością własną l�i
Wektory własne wyznacza się z następującego równania [A-l�i I ] Vi =0
Jeśli l�1, l�2,..., l�n są pojedynczymi wartościami własnymi macierzy A, a wektory V1, V2,..., Vn
są wektorami własnymi macierzy A, to kolumny macierzy przekształcenia
diagonalizującego P stanowią wektory własne macierzy A
P=[V1, V2,..., Vn ]
Jeśli macierz A ma postac
i wartości własne macierzy A są pojedyncze l�1, l�2,..., l�n, to macierz diagonalizująca P ma
postac