AiR III rok środa parzysta godz. 11:15
Podstawy automatyki - ćwiczenia
Lista nr 2
1) Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla równań
2
d y dy
a) 5 6y u
dt2 dt
2 2
d3y d y dy d3u d u du
b) 6 11 6y 8 17 8u
dt3 dt2 dt dt3 dt2 dt
2) Dla przykładu z zadania 1a wyznaczyć macierz tranzycyjną:
a) metodą odwrotnego przekształcenia Laplace a
b) metodÄ… diagonalizacji macierzy
3) Rozwiązać równania stanu z zadania 1a przy następujących założeniach:
a) u(t)=0, y (0)=0, y(0)=1
b) u(t)=2*1(t), y (0)=y(0)=0
4) Wyznaczyć transmitancję operatorową dla równań stanu wyznaczonych w
zadaniu 1
OPIS UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH W PRZESTRZENI STANÓW
1
G(s) C[sI A] B D
Wyznaczanie równań stanu na podstawie równania różniczkowego
Metoda ogólna
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego
dny dn-1y dy
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= b0u
z prostym składnikiem wymuszającym, jako zmienne stanu przyjmuje się
x1 y, x2 y , Kð, xn y(n 1)
Wówczas otrzymujemy równania stanu
x1 x2
x2 x3
Lð
xn 1 xn
n 1
xn ai xi 1 b0u
i 0
i równanie wyjścia
y x1
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego z wymuszeniem zawierającym
pochodne
dny dn-1y dy dmu dm-1u du
dtn + an-1 dtn-1 +...+ a1 dt +a0y= bm dtm + bm-1 dtm-1 +...+ b1 dt +b0u
wyznacza się opis metodą ogólną w postaci
&ð
x1 0 1 0 Lð 0 x1 c1
&ð
x2 0 0 1 Lð 0 x2 c2
Mð Mð Mð Mð Oð Mð Mð Mð u
&ð
xn 1 0 0 0 Lð 1 xn 1
&ð
xn a0 a1 a2 Lð an 1 xn cn
x1
x2
y 1 0 Lð 0 c0u
Mð
xn
Następnie stosujemy podstawienie : y x1 cou , y' x'1 cou' x2 c1u cou , .........
Powyższe wyrażenia należy podstawić do równania różniczkowego, porównać stronami i
wyliczyć współczynniki co ,c1,c2 ,....cx
Rozwiązywanie równań stanu
&ð
Rozwiązanie równania x Ax Bu spełniające warunek początkowy x(t0) x0 ma postać:
t
x(t) eA(t t0 )x0 eA(t )Bu( )d
t0
(t) eAt - macierz tranzycyjna.
W przypadku gdy u(t) 0 rozwiązanie ma postać:
x(t) eAtx0 (t)x0
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda odwrotnego przekształcenia Laplace a
eAt =L-1[(sI-A)-1]
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda diagonalizacji macierzy
Metoda ta oparta jest na następującej zależności
Minorem Mij nazywamy wyznacznik (n-1) - szego stopnia otrzymanego przez opuszczenie i-
tego wiersza i j-tej kolumny z wyznacznika n-tego stopnia
Dopełnienie algebraiczne Dij określa się z zależności Dij=(-1)i+ jMij
Macierz dołączoną macierzy kwadratowej Ad otrzymuje się przez transpozycję macierzy,
w której każdy element A zastąpiono przez jego dopełnienie algebraiczne
A Ad =Ad A=|A| I
Macierz odwrotna A-1 jest macierzą dołączoną podzieloną przez wyznacznik macierzy
Ad
1
A
| A |
A-1 A=A A-1 =I
Jeśli A jest macierzą o wymiarach n x n, to wyznacznik |A- I| nazywa się wielomianem
charakterystycznym macierzy A
I - macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1
Równanie |A- I|=0 nazywa się równaniem charakterystycznym
Pierwiastki równania charakterystycznego stanowią wartości własne macierzy A
1, 2,..., n
Wektor niezerowy Vi który spełnia równanie AVi= Vi nazywa się wektorem własnym
i
macierzy A związanym z wartością własną
i
Wektory własne wyznacza się z następującego równania [A- I ] Vi =0
i
Jeśli są pojedynczymi wartościami własnymi macierzy A, a wektory V1, V2,..., Vn
1, 2,..., n
są wektorami własnymi macierzy A, to kolumny macierzy przekształcenia
diagonalizującego P stanowią wektory własne macierzy A
P=[V1, V2,..., Vn ]
Jeśli macierz A ma postać
i wartości własne macierzy A są pojedyncze to macierz diagonalizująca P ma
1, 2,..., n,
postać