MO Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15 1
Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15
Z2/15.1. Zadanie 15
Wyznaczyć analitycznie reakcje w przegubach rzeczywistych A i C oraz prętach podporowych numer
1 i 2 układu trójprzegubowego przedstawionego na rysunku Z2/15.1.
1
2
20,0 kN
12,0 kN
II
16,0 kN
I
C
8,0 kN
[m]
A
2,0 5,0 2,0
Rys. Z2/15.1. Układ trójprzegubowy
Z2/15.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego
Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.
Dwa przeguby rzeczywiste A i C oraz dwa pręty podporowe numer 1 i 2 odbierają razem także sześć stopni
swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).
1
B
"
2
II
I
C
A
Rys. Z2/15.2. Układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i C oraz przegubem fikcyjnym B
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
1,0
3,5
2,0
1,5
1,0
2,0
C
A
MO Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15 2
Pręty podporowe numer 1 i 2 tworzą przegub fikcyjny B znajdujący się poziomo w nieskończoności.
Przedstawia to rysunek Z2/15.2. Dwa przeguby rzeczywiste A i C leżą na prostej ukośnej natomiast przegub
fikcyjny B leży na prostej poziomej. Możemy więc stwierdzić, że wszystkie trzy przeguby nie leżą na jednej
prostej. Został tym samym spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.
Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z2/15.1 spełnia warunek konieczny i
dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie
wyznaczalnym.
Z2/15.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego
W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej
musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A
i C przedstawia rysunek Z2/15.3.
1
2
20,0 kN
12,0 kN
II
16,0 kN
I
C
8,0 kN HC
VC
Y HA A
[m]
X
VA
2,0 5,0 2,0
Rys. Z2/15.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C
Rysunek Z2/15.4 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę sztywną numer I.
Rysunek Z2/15.5 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę sztywną numer II. Jak widać w
prętach podporowych numer 1 i 2 na każdą z tarcz sztywnych działają reakcje o takich samych wartościach
ale przeciwnych zwrotach.
Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A wyznaczymy z równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek
zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/15.4 równanie to będzie miało postać
śąI źą
²Ä… Y =V -20,0=0
A
. (Z2/15.1)
V =20,0 kN
A
Składowa ta ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
1,0
3,5
2,0
1,5
1,0
2,0
2,0
MO Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15 3
E
R1
1
R2
D
2
20,0 kN
I
8,0 kN
[m]
Y HA A
X
VA
2,0
Rys. Z2/15.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A oraz w prętach podporowych numer 1 i
2 działające na tarczę sztywną numer I
R1
1
R2
2
12,0 kN
II
16,0 kN
Y
C HC
X
VC
[m]
2,0
Rys. Z2/15.5. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym C oraz w prętach podporowych numer 1 i
2 działające na tarczę sztywną numer II
Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek
zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/15.5 równanie to będzie miało postać
śąII źą
²Ä… Y =V -12,0=0
C
. (Z2/15.2)
V =12,0 kN
C
Składowa ta ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
1,0
3,5
2,0
2,0
1,5
1,0
2,0
MO Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15 4
Pionowe składowe reakcji w przegubach rzeczywistych spełniają równania sumy rzutów wszystkich
sił działających na tarczę sztywną numer I i II na oś pionową Y. Będą one także spełniały równanie sumy
rzutów wszystkich sił działających na układ trójprzegubowy na tę oś.
Składową poziomą reakcji w przegubie rzeczywistym A wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni moment kręci zgodnie z
ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/15.3 równanie to będzie miało postać
²Ä… M =-H Å"2,0ƒÄ…V Å"9,0-20,0Å"7,0-12,0Å"2,0ƒÄ…16,0Å"2,0=0
C A A
-H Å"2,0ƒÄ…20,0Å"9,0-20,0Å"7,0-12,0Å"2,0ƒÄ…16,0Å"2,0=0
. (Z2/15.3)
A
H =24,0 kN
A
Składowa ta ma więc zwrot zgodny z założonym.
Składową poziomą reakcji w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni moment kręci zgodnie z
ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/15.3 równanie to będzie miało postać
²Ä… M =-H Å"2,0-V Å"9,0ƒÄ…8,0Å"2,0ƒÄ…20,0Å"2,0ƒÄ…12,0Å"7,0ƒÄ…16,0Å"4,0=0
A C C
-HCÅ"2,0-12,0Å"9,0ƒÄ…8,0Å"2,0ƒÄ…20,0Å"2,0ƒÄ…12,0Å"7,0ƒÄ…16,0Å"4,0=0 . (Z2/15.4)
H =48,0 kN
C
Składowa ta ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X.
Zgodnie z rysunkiem Z2/15.3 równanie to będzie miało postać
²Ä… X =H -HCƒÄ…8,0ƒÄ…16,0=24,0-48,0ƒÄ…24,0=0
. (Z2/15.5)
A
Równanie (Z2/15.5) zostało spełnione więc obliczenia składowych poziomych reakcji w przegubach
rzeczywistych A i C sÄ… poprawne.
Rysunek Z2/15.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczy-
wistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na obie tarcze sztywne znajdują się w
równowadze.
Reakcję w pręcie podporowym numer 1 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na tarczę sztywną numer I względem punktu D przedstawionego na rysunku Z2/15.4. Punkt ten
jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w pręcie podporowym numer 2 oraz pionowej składowej
reakcji w przegubie rzeczywistym A. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z
rysunkiem Z2/15.4 równanie to będzie miało postać
śą I źą
²Ä… M =R1Å"1,0-H Å"5,5ƒÄ…20,0Å"2,0-8,0Å"3,5=0
D A
R1Å"1,0-24,0Å"5,5ƒÄ…20,0Å"2,0-8,0Å"3,5=0 . (Z2/15.6)
R1=120,0 kN
Reakcję w pręcie podporowym numer 2 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na tarczę sztywną numer I względem punktu E przedstawionego na rysunku Z2/15.4. Punkt ten
jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w pręcie podporowym numer 1 oraz pionowej składowej
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15 5
reakcji w przegubie rzeczywistym A. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z
rysunkiem Z2/15.4 równanie to będzie miało postać
1
2
20,0 kN
12,0 kN
II
16,0 kN
I
C
8,0 kN
48,0 kN
12,0 kN
A
24,0 kN
[m]
20,0 kN
2,0 5,0 2,0
Rys. Z2/15.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C
120,0 kN
E
1
D 2
152,0 kN
20,0 kN
I
120,0 kN
1
8,0 kN
2
152,0 kN
12,0 kN
A II
16,0 kN
24,0 kN
20,0 kN
2,0
C
48,0 kN
12,0 kN
[m]
2,0
Rys. Z2/15.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C oraz w prętach
podporowych numer 1 i 2
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
1,0
3,5
2,0
1,5
1,0
2,0
2,0
1,0
3,5
2,0
2,0
1,5
1,0
2,0
MO Z2/15. PODSTAWY STATYKI NA PA
ASZCZYy
NIE  ZADANIE 15 6
śą źą
I
²Ä… M =-R2Å"1,0-H Å"6,5ƒÄ…20,0Å"2,0-8,0Å"4,5=0
E A
-R2Å"1,0-24,0Å"6,5ƒÄ…20,0Å"2,0-8,0Å"4,5=0 . (Z2/15.7)
R2=-152,0 kN
Reakcja w pręcie podporowym numer 1 ma zwrot zgodny z założonym natomiast reakcja w pręcie
podporowym numer 2 ma zwrot przeciwny do założonego.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równania sum rzutów wszystkich sił działających na tarcze
sztywne numer I i II na oÅ› poziomÄ… X. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X.
Zgodnie z rysunkiem Z2/15.4 pierwsze równanie będzie miało postać
śąI źą
²Ä… X = H ƒÄ…R1ƒÄ…R2ƒÄ…8,0=24,0ƒÄ…120,0-152,0ƒÄ…8,0=0 . (Z2/15.8)
A
Zgodnie z rysunkiem Z2/15.5 drugie równanie będzie miało postać
śą źą
I
²Ä… X =-R1-R2-HCƒÄ…16,0=-120,0-śą-152,0źą-48,0ƒÄ…16,0=0 . (Z2/15.9)
Równania (Z2/15.8) i (Z2/15.9) zostały spełnione. Możemy więc stwierdzić, że obliczenia reakcji w prętach
podporowych numer 1 i 2 zostały wykonane poprawnie.
Rysunek Z2/15.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach
rzeczywistych A i C oraz w prętach podporowych numer 1 i 2. Reakcje te oraz siły czynne działające na
każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni