Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Metody numeryczne w inżynierii
Krzysztof Marzjan
Literatura podstawowa
1. Germund Dahlquist, Ake Bjorck. Metody numeryczne. PWN Warszawa, 1983.
ISBN 83-01-04276-1.
2. David Kincaid, Ward Chehey. Analiza numeryczna. WNT Warszawa, 2006. ISBN 83-
204-3078-X.
3. Anthony Ralston. Wstęp do analizy numerycznej. PWN Warszawa, 1983. ISBN 83-
01-01626-4.
4. Josef Stoer. Wstęp do metod numerycznych, tom 1. PWN Warszawa, 1979. ISBN
83-01-00077-5.
5. Josef Stoer, Roland Bulirsch. Wstęp do metod numerycznych, tom 2. PWN
Warszawa, 1980. ISBN 83-01-00078-3.
6. Zenon Fortuna, Bohdan Macukow, Janusz Wąsowski. Metody numeryczne. WNT
Warszawa, 1993. ISBN 83-204-1875-5.
7. Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Metody numeryczne dla
studentów elektroniki i technik informacyjnych. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa, 1997. ISBN 83-87012-62-9.
8. Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Wstęp do metod
numerycznych dla studentów elektroniki i technik informacyjnych. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1999. ISBN 83-7207-150-0.
2
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Literatura uzupełniająca
1. Andrzej Kiełbasiński, Hubert Schwetlick. Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzenie
do obliczeń zautomatyzowanych. WNT Warszawa, 1992. ISBN 83-204-1260-9.
2. Janina Jankowska, Michał Jankowski. Przegląd metod i algorytmów numerycznych.
Część 1. WNT Warszawa, 1981. ISBN 83-204-0226-3.
3. Maksymilian Dryja, Janina Jankowska, Michał Jankowski. Przegląd metod
i algorytmów numerycznych. Część 2. WNT Warszawa, 1982. ISBN 83-204-0352-9.
4. Edward Kącki, Andrzej Małolepszy, Alicja Romanowicz. Metody numeryczne dla
inżynierów. Wydawnictwo Politechniki A
ódzkiej, 1997. ISBN 83-87198-32-3.
Literatura dotycząca Matlab'a
1. Jerzy Brzózka, Lech Dorobczyński. Programowanie w MATLAB.
Wydawnictwo MIKOM, 1998. ISBN 83-7158-120-3.
2. Jerzy Brzózka, Lech Dorobczyński. Matlab. Środowisko obliczeń naukowo-
technicznych. Wydawnictwo MIKOM, 2005. ISBN 83-7279-482-0.
3. Bogumiła Mrozek, Zbigniew Mrozek. MATLAB. Uniwersalne środowisko do obliczeń
naukowych i technicznych. PLJ Warszawa, 1996. ISBN 83-7101-325-6.
4. Bogumiła Mrozek, Zbigniew Mrozek. MATLAB 5.X, SIMULINK 2.X. Poradnik
użytkownika. Wydawnictwo PLJ, 1998. ISBN 83-7101-376-0.
5. http://www.contracosta.cc.ca.us/math/LMATLAB.htm
6. John H. Mathews, Kurtis D. Fink Numerical Methods Using MATLAB
3
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Nauka zajmująca się rozwiązaniem problemów matematycznych metodami arytmetycznymi.
Sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest  najlepiej dostosowana do
rozwiązania danego zadania.
Przez zadanie numeryczne rozumiemy jasny i niedwuznaczny opis powiązania funkcjonalnego
między danymi wejściowymi i szukanymi wynikami. Dane wejściowe i wyniki składają się ze
skończonej liczby wielkości rzeczywistych (ponieważ, liczba zespolona jest parą liczb rzeczywistych,
definicja ta obejmuje również zespolone dane wejściowe i wyniki).
ZADANIE
DANE WYNIKI
NUMERYCZNE
skończony zbiór
skończony zbiór
liczb rzeczywistych
liczb rzeczywistych
Algorytm numeryczny  to opis jednoznacznie uporządkowanego ciągu operacji, które
przekształcają zbiór danych wejściowych w zbiór wyników.
4
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Przykład:
Zadanie polegające na rozwiązaniu równania różniczkowego
2
d y
2
=� x2 +� y , y(�0)� =� 0, y(�5)� =� 1
dx2
w takim sformułowaniu nie jest zadaniem numerycznym, ponieważ dane wyjściowe y są funkcją
(której nie można w żaden sensowny sposób określić przez skończoną liczbę parametrów).
Natomiast stablicowanie tego rozwiązania tj. wyznaczenie y dla x=h, 2h, 3h, ... ,5-h i po zastąpieniu
pochodnej ilorazem różnicowym tworzy dopiero zadanie numeryczne.
y
ródła błędów
Na wyniki numeryczne wpływa wiele rodzajów błędów. Niektóre z nich trudno usunąć. Inne można
zredukować lub nawet wyeliminować, przekształcając wzory lub wprowadzając inne zmiany do
przebiegu obliczeń.
Rodzaje błędów:
1. błędy zaokrągleń w trakcie obliczeń
2. błędy danych wejściowych
3. błędy obcięcia
4. uproszczenie modelu matematycznego
5. błędy człowieka i błędy maszynowe
5
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Błędy bezwzględne i względne
~
a a
Niech będzie wartością przybliżoną wielkości, której dokładna wartość wynosi .
Określamy dwa rodzaje błędu
~
D�a =� a -� a
błąd bezwzględny
~ ~
D�a a -� a a
e�a =� =� e�a =� -�1,
a ą� 0
błąd względny , ,
a a a
~
a -� a
~ ~
e�a =�
a ��e�a =� a -� a, a =� a(1+� e� )
,
a
~
a a
W powyższych definicjach błędów, i nie muszą być liczbami rzeczywistymi, mogą to być również
��
wektory lub macierze. Jeżeli oznacza normę wektora, to moduły błędów bezwzględnego
~
a
i względnego dla wektora można określić następująco:
~
a -� a
~
a -� a
oraz
a
~
~
a -� a Ł� D�
a =� a ą� D�
Oznaczenie jest skrótem nierówności
a =� 0,5876 ą� 0,0014 0,5862 Ł� a Ł� 0,5890
oznacza
6
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Zaokrąglanie i ucinanie
Mówiąc o liczbie cyfr istotnych w ułamku dziesiętnym nie uwzględnia się zer na początku tego
ułamka, gdyż pomagają one określić tylko pozycję kropki dziesiętnej, także ewentualne zera między
kropką a pierwszą cyfrą różną od zera.
cyfry
Przykład:
cyfry
ułamkowe (5)
ułamkowe (2)
0,00147 12,34
cyfry
cyfry
istotne (3)
istotne (4)
1
~ ~
��10-�t =� 5 ��10-�(�t +�1)�
a a
Jeśli moduł błędu wartości nie przewyższa , to mówimy, że ma t poprawnych
2
~
a
cyfr ułamkowych. Cyfry istotne występujące w aż do pozycji t-tej po kropce nazywamy cyframi
znaczącymi.
7
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Przenoszenie się błędów
1. Analiza przedziałowa  krok po kroku
~ ~
z =� lnx +� y
x =� 10,3 y =� 4,42 ą� 0,02
Oblicz wartość wyrażenia , jeżeli jest poprawnie zaokrąglona i
~
x
Ponieważ ma wszystkie cyfry poprawne, stąd oszacowanie błędu bezwzględnego tego
przybliżenia jest następujące:
D�x <� 0,05
~
D�y <� 0,02
y =� 4,42 ą� 0,02
Z postaci oszacowanie błędu bezwzględnego tej liczby
~ ~ ~
z =� ln x +� y =� 4,4345
ln10,25 +� 4,40 <� ln x +� y <� ln10,35 +� 4,44
4,4249 <� ln x +� y <� 4,4441
~ ~
D�z =� max{�z -� zmin;zmax -� z}�=� max{�4,4345 -� 4,4249; 4,4441-� 4,4345}�=�
=� max{�0,0096; 0,0096}�<� 0,0096
D�z 0,0096
e�z <� =� =� 0,0022
zmin 4,4249
8
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów
~ ~
y =� x1x2 x1, x1, e�1 x2, x2, e�2
Iloczyn: , ;
~ ~
x1x2 x1(1+� e�1)x2(1+� e�2 )
e�y =� -�1=� -�1=� (1+� e�1)(1+� e�2 ) -�1=� 1+� e�1 +� e�2 +� e�1e�2 -�1� e�1 +� e�2
x1x2 x1x2
e�y <� e�1 +� e�2
stąd
~
y =� x x, x, e�
Pierwiastek: ,
~
x x(1+� e� ) 1 1 1
2
e�y =� -�1=� -�1=� (1+� e� ) -�1=� 1+� e� -� e� +� ..... -�1� e�
2 8 2
x x
1
e�y <� e�
stąd
2
x1
~ ~
y =�
x1, x1, e�1 x2, x2, e�2
Iloraz: ;
x2 ,
~
x1
~
x1 x1x2 x1(1+� e�1)x2 1+� e�1 1+� e�1 -�1-� e�2 e�1 -� e�2
e� =� -�1 =� -�1 =� -�1 =� -�1 =� =� � e�1 -� e�2
y
~
~
x2
x1x2 x1x2(1+� e�2 ) 1+� e�2 1+� e�2 1+� e�2
x2
e�y <� e�1 +� e�2
stąd
9
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
~ ~
y =� x1 ą� x2 x1, x1, e�1 x2, x2, e�2
Suma: ;
~ ~
x1 ą� x2 x1(1+� e�1) ą� x2(1+� e�2) x1e�1 x2e�2
e�y =� -�1=� -�1=� ą�
x1 ą� x2 x1 ą� x2 x1 ą� x2 x1 ą� x2
x1 x2
e�y <� e�1 +� e�2
stąd
x1 ą� x2 x1 ą� x2
~
y =� lnx x, x, e�
Logarytm:
2 3 4
~
x x(1+� e� ) e� e� e�
~
D�y =� lnx -� lnx =� ln =� ln =� ln(1+� e� ) =� e� -� +� -� +�K� � e�
x x 2 3 4
D�y =� e�x
stąd
10
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
z =� lnx +� y
Sposób 1 Sposób 2
lnx y
D�z <� D�lnx +� D�
y
e�z <� e�lnx +� e�
y
lnx +� y lnx +� y
D�z <� e�x +� y e�
y
lnx D�lnx y 1
e�z <� +� e�y
1
D�z <� e�x +� y e�y
lnx 2
lnx +� y lnx +� y
2
lnx e�x y 1 D�z
e�z <� +� e�y e�z =�
lnx 2 z
lnx +� y lnx +� y
y
1 1
y
1 1
e�z <� e�x +� e�y
e�z <� e�x +� e�y
2
lnx +� y ln x +� y
2
lnx +� y ln x +� y
1 0,05 4,42 1 0,02
e�z <� +� =� 0,0022
10,3 2 4,42
ln10,3 +� 4,42 ln10,3 +� 4,42
1 0,05 1 0,02
D�z <� e�x +� y e�y =� +� 4,42 =� 0,0096
2 10,3 2 4,42
11
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
3. Metoda przybliżona  metoda różniczki zupełnej
~
~ ~ ~ ~
D�y =� y(x) -� y(x)
x =� (x1,x2,..., xn ) x =� (x1,x2,..., xn ) y(x)
; ; ;
Błąd bezwzględny
n
ś�y
~
D�y � (x)D�x
��
i
ś�xi
i =�1
n
ś�y
~
D�y <� (x) D�x
��
i
ś�xi
i =�1
Błąd względny
D�y n xi ś�y ~ D�x n xi ś�y ~
i
e�y =� � (x) =� (x)e�x
�� ��
i
y y ś�xi xi i =�1 y ś�xi
i =�1
n
xi ś�y
~
e�y <� (x) e�x
��
i
y ś�xi
i =�1
12
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
ś�z ś�z
D�z <� D�x +� D�y
z =� lnx +� y
ś�x ś�y
ś�z 1
ś�z 1
=� =� 0,2378
=� =� 0,0971
x=�10,3 ś�y
2 y
ś�x x x =�10,3
y =�4,42
y =�4,42
D�x =� 0,05 D�y =� 0,02
D�z =� 0,0971�� 0,05 +� 0,2398�� 0,02 =� 0,0096
x ś�z y ś�z
e�z <� e�x +� e�y
z ś�x z ś�y
x ś�z 1 y ś�z y
=� =� 0,2255 =� =� 0,2370
z ś�x z ś�x
lnx +� y 2 ��(lnx +� y )
0,05 0,02
e�x =� =� 0,0049 e�y =� =� 0,0045
10,3 4,42
e�z =� 0,2255�� 0,0049+� 0,2370�� 0,0045 =� 0,0022
13
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Przykład 1:
~
ą� 0,05cm d =� 3,7cm
Zmierzono średnicę kuli z dokładnością do i otrzymano . Użyto przybliżonej
~
p� =� 3,14
wartości . Oszacuj błąd względny i bezwzględny obliczonego pola powierzchni kuli.
2
p� =� 3,14159265358979K� P =� 4p�r =� p�d2
,
~
~~2
P =� p�d =� 43,0084
0,05
e�d Ł� =� 0,0137
D�d Ł� 0,05
3,7 -� 0,05
-0,00159265358979
~
e�p� =� =� -5,0696��10-4
D�p� =� p� -� p� =� -0,00159265358979
3,14159265358979
D�p� Ł� 0,0016 e�p� Ł� 0,00051
Analiza przedziałowa:
3,14�� 3,652 <� P <� 3,14�� 3,752 41,8327 <� P <� 44,1563
D�P <� max{�44,1563 -� 43,0084, 43,0084 -� 41,8327}�=� max{�1,1479, 1,1757}�=� 1,1757
1,1757
e�P <� =� 0,0281
41,8327
14
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Wykorzystanie podstawowych wzorów:
e�P <� e�p� +� 2 e�d =� 0,00051+� 2��0,0137 =� 0,0279
~
~
~
e�P P
0,0279�� 43,0084 a
a
D�P <� =� =� 1,2344 a =�
e�a =� -�1,
bo
1-� e�P 1-� 0,0279 1+� e�a ,
a
~
a
�� e�a
D�a =� a ��e�a D�a =�
oraz
1+� e�
~
e�a a
D�a <�
Metoda różniczki zupełnej: stąd
1-� e�a
P =� P(p�,d)
ś�P ś�P
D�P <� �� D�p� +� �� D�d ;
ś�p� ś�d
ś�P ś�P
=� d2 =� 3,72 =� 13,69 =� 2p�d =� 2 �� 3,14 �� 3,7 =� 23,236
p� =�3,14 p� =�3,14
ś�p� ś�d
d =�3,7 d =�3,7
D�P <� 13,69�� 0,0016 +� 23,236�� 0,05 =� 1,1837
p� ś�P d ś�P
e�P <� �� e�p� +� �� e�d
P ś�p� P ś�d
3,1416 3,75
e�P <� ��13,69��0,00051+� �� 23,236��0,0137 =� 0,0291
41,8327 41,8327
15
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
Przykład 2:
x
~
y =� 1+�
x =� 1,00
Oszacuj błąd względny i bezwzględny wyrażenia , jeżeli i ma wszystkie cyfry
x +� 1
poprawne oraz 1 jest wartością dokładną.
x ��[�0,995 1,005]�
D�x Ł� 0,005
0,005
e�x <� =� 0,005025K� =� 0,0050
0,995
Są różne sposoby znalezienia rozwiązania, jeden z nich przedstawiono poniżej:
D�x+�1 =� D�x
D�x +�1 0,005
e�x+�1 =� <� =� 2,5 ��10-�3
x +� 1 0,995 +� 1
1 1
e� <� (� e�x +� e�x +�1 )�=� (�5,00 +� 2,50)���10-�3 =� 3,75 ��10-�3
x
2 2
x +�1
e�
x
~
x 3,75 ��10-�3 1,00
x+�1
D� <� =� =� 2,67 ��10-�3
x ~
x +� 1 1-� 3,75��10-�3 1,00 +� 1
x+�1
1-� e�
x
x+�1
16
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych
D�y =� D�
x
x+�1
D�y
2,65 ��10-�3
e�y =� =� =� 1,56 ��10-�3
~
y -� D�y
1,00
1+� -� 2,67 ��10-�3
1,00 +� 1
Przykład 3:
Skrócić podane liczby, aby zachować 3 cyfry poprawne. (Błąd bezwzględny musi być mniejszy od
0,5 ��10-�3
)
0,12395ą� 5 ��10-�6 �� 0,124 ą� 5,5 ��10-�5 (5,5 ��10-�5 <� 0,5 ��10-�3)
0,12315ą� 5 ��10-�6 �� 0,123 ą� 1,55 ��10-�4 (1,55 ��10-�4 <� 0,5 ��10-�3)
0,12350ą� 5 ��10-�6 �� 0,124 ą� 5,05 ��10-�4 (5,05 ��10-�4 >� 0,5 ��10-�3), 0,01235
Przykład 4:
Przekształcić wyrażenia tak, by uniknąć utraty cyfr znaczących:
x2 +� 1 +� 1 x2 +� 1-�1 x2
x2 +� 1 -�1=�(� x2 +� 1 -�1)� =� =�
x � 10-�4
, dla np.:
x2 +� 1 +� 1 x2 +� 1 +� 1 x2 +� 1 +� 1
x +� x2 -�1 x2 -� x2 +� 1 1
x -� x2 -�1 =�(�x -� x2 -�1)� =� =�
x � 104
, dla np.:
x +� x2 -�1 x +� x2 -�1 x +� x2 -�1
17
Metody numeryczne w inżynierii  błędy w obliczeniach numerycznych