EGZAMIN Z METOD NUMERYCZNYCH TERMIN 1 GRUPA B
ZADANIE 1: Niech B=[0,1]*"
*"{2}
*"*"
1. Udowodnij, że przestrzeÅ„  ‚" C(B) speÅ‚nia warunek Haara. [5 pkt]
 ‚"‚"
  ‚"
1
2. Znajdz
element optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej w przestrzeni C(B) dla
funkcji f(x) = ln(x+1) względem przestrzeni  . [10 pkt]

 
1
3. Ile wynosi błąd aproksymacji? Czy element optymalny dla f jest wyznaczony
jednoznacznie. [5 pkt]
 2
ZADANIE 2: Dany jest wielomian w(x) = -x(x + + ), oraz funkcja
2 
Å„Å‚ -1 dlax e" 0,
ex
f (x) =
òÅ‚
sin x dlax d" 0
ół
1. Czy wielomian w interpoluje funkcję f w podwójnym węz
le 0? [5 pkt]
2. W ilu pojedynczych węzłach wielomian w interpoluje funkcję f? [5 pkt]
3. Czy wielomian w jest pierwszym lub drugim wielomianem optymalnym dla funkcji f w
przestrzeni C(B), gdzie B={-1,0,1}? [5 pkt]
4. Podaj współczynniki wielomianu w w bazie Lagrange a zdefiniowanej węzłami
 1, 0, 1 . [5 pkt]
5. Czy wielomian jest splajnem pierwszego lub drugiego, lub trzeciego rzędu dla siatki
węzłów (podstawowych) x =-1, x =0, x =1? [5 pkt]
0 1 2
6. Czy wielomian w jest B-splajnem pierwszego lub drugiego lub trzeciego rzędu
przy jakimkolwiek wyborze węzłów? [5 pkt]
7. Opisz sytuacje, w których obliczenie wartości w(x) (zgodnie z podanym wzorem),
może prowadzić do nadmiaru. [5 pkt]
ZADANIE 3: Współczynniki wielomianu w bazie Newtona zdefiniowanej węzłami
 2, -1, 1, 2 wynoszÄ… 7, 11, 13, 17, 19.
1. Zapisz ten wielomian. [5 pkt]
2. Zaprogramuj metodę siecznych do rozwiązania równania w(x)=0. Obliczenia należy
przerwać, jeÅ›li uzyskane przybliżenie xk rozwiÄ…zania speÅ‚nia warunek |w(xk)|d"µ ,
d"
d"d"
µ
lub wykonane zostanie więcej niż N iteracji. Liczby , N oraz punkty startowe są
podawane przez użytkownika. Algorytm powinien być możliwe tani. [15 pkt]
EGZAMIN Z METOD NUMERYCZNYCH TERMIN 1 GRUPA A
ZADANIE 1: Niech B={0, 1, 2, 3}
1. Udowodnij, że przestrzeÅ„  ‚" C(B) speÅ‚nia warunek Haara. [5 pkt]
 ‚"‚"
  ‚"
1
2. Znajdz
element optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej w przestrzeni C(B) dla

funkcji f(x) = x+sin( x ) względem przestrzeni  . [10 pkt]

 
1
2
3. Ile wynosi błąd aproksymacji? Czy element optymalny dla f jest wyznaczony
jednoznacznie. [5 pkt]
2
ZADANIE 2: Dany jest wielomian w(x) = x(x +ln ), oraz funkcja
e
ln(x + 1) dlax e" 0,
Å„Å‚
f (x) =
òÅ‚- e- x +1
dlax d" 0
ół
1. Czy wielomian w interpoluje funkcję f w podwójnym węz
le 0? [5 pkt]
2. W ilu pojedynczych węzłach wielomian w interpoluje funkcję f? [5 pkt]
3. Czy wielomian w jest pierwszym lub drugim wielomianem optymalnym dla funkcji f w
przestrzeni C(B), gdzie B={-1,0,1}? [5 pkt]
4. Podaj współczynniki wielomianu w w bazie Lagrange a zdefiniowanej węzłami
 1, 0, 1 . [5 pkt]
5. Czy wielomian jest splajnem pierwszego lub drugiego, lub trzeciego rzędu dla siatki
węzłów (podstawowych) x =-1, x =0, x =1? [5 pkt]
0 1 2
6. Czy wielomian w jest B-splajnem pierwszego lub drugiego lub trzeciego rzędu
przy jakimkolwiek wyborze węzłów? [5 pkt]
7. Opisz sytuacje, w których obliczenie wartości w(x) (zgodnie z podanym wzorem),
może prowadzić do nadmiaru. [5 pkt]
ZADANIE 3: Współczynniki wielomianu w bazie Newtona zdefiniowanej węzłami
 2, -1, 1, 2 wynoszÄ… 7, 11, 13, 17, 19.
1. Zapisz ten wielomian. [5 pkt]
2. Zaprogramuj metodę regula falsi do rozwiązania równania w(x)=0. Obliczenia należy
przerwać, jeÅ›li uzyskane przybliżenie xk rozwiÄ…zania speÅ‚nia warunek |w(xk)|d"µ ,
d"
d"d"
µ
lub wykonane zostanie więcej niż N iteracji. Liczby , N oraz punkty startowe są
podawane przez użytkownika. Algorytm powinien być możliwe tani. [15 pkt]