skrot MN w6


Metody numeryczne
skrót wykładu
dr inż. Anna Barcz
Zakład Matematyki Stosowanej
kontakt: pokój 28
abarcz@wi.ps.pl
konsultacje: środa 12.15 - 14.00
1
Zagadnienia
Zagadnienia początkowe i brzegowe.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania.
Klasyfikacja metod rozwiązywania równań różniczkowych.
Metody Eulera (zwykła, ulepszona, zmodyfikowana).
Metody Rungego-Kutty.
Metody wielokrokowe.
Różniczkowanie numeryczne.
Całkowanie numeryczne.
2
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązywanie zagadnień początkowych,
Ź= f śąx , yźą , y śąx0źą= y0
Rozwiązywanie zagadnień brzegowych:
równanie przewodnictwa cieplnego,
równanie drgań struny,
równanie Poissona, itd.
"u "2 u
L u= - = f śąx , tźą
"t
" x2
3
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie  istnienie rozwiązania
Jeśli dla pewnych ą,  > 0 funkcja f jest ciągła w prostokącie
R:= śąx , yźą:#"x-x0#"ąąą ,#"y- y0#"ąąą
{ }
to zagadnienie początkowe ma rozwiązanie x(t) dla
ą
#"x-x0#"ąąmin ą ,
{ }
M
gdzie
M :=maxR#" f śą x , yźą#"
4
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie  jednoznaczność rozwiązania
" f
Jeśli funkcje i są ciągłe w prostokącie
f
" x
R:= śąx , yźą:#"x-x0#"ąąą ,#"y- y0#"ąąą
{ }
to dla
ą
#"x-x0#""ąmin ą ,
{ }
M
zagadnienie początkowe ma jednoznaczne rozwiązanie.
5
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie  istnienie i jednoznaczność rozwiązania w przedziale
aąąxąąb , -""ą y"ą"
Jeśli funkcja f jest ciągła dla
i jeśli istnieje stała L taka, że jest tam
#" f śą x , y1źą- f śą x , y2źą#"ąąL#"y1- y2#",
to zagadnienie początkowe
Ź= f śąx , yźą , y śąaźą=ą
ma w przedziale jednoznaczne rozwiązanie.
* warunek Lipschitza
6
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję
y=y(x) spełniającą to równanie w pewnym przedziale. Każde
rozwiązanie, które zawiera n dowolnych stałych c1, c2, ... , cn, tak że
możemy na nie nałożyć n dodatkowych warunków początkowych,
nazywamy rozwiązaniem ogólnym. Jeśli ustalimy wartości tych
stałych to otrzymamy rozwiązanie szczególne.
7
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Zastosowanie wzoru Taylora
założenie: funkcja jest różniczkowalna i pewne jej pochodne istnieją
1 1
y śąxąhźąH" y śąxźąąh Ź śą xźąą h2 śą xźąą yśą xźąąą
ą
2! 3!
1. określamy liczbę członów we wzorze,
2. przyjmujemy x=x0,
3. obliczamy wartość w kolejnych punktach x+h, x+2h, ...
4. potęga ostatniego członu określa rząd metody.
8
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rodzina metod Eulera
metody rzędu pierwszego,
nie trzeba różniczkować funkcji,
bardzo małe h
y śąxąhźąH" y śąxźąąhąśą x , yźą
9
Rozwiązywanie równań różniczkowych
yną1= yną f śą xn , yn
Metoda Eulera
ąźą"h , y śąx0źą= y0
ą
rozwiązanie dokładne
y
y1= y0ąą y1
ą y1
y2
= f śą x0, y0źą
"y2
ą x1
y1
"y1
y0 y1= y0ą f śą x0, y0źąą x1
h="x1 h="x2
ą x1=h
x0 x1 x2
x
y1= y0ą f śą x0, y0źąh
10
)
y
1
,
x
1
(
f
=
y
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Zmodyfikowana metoda Eulera
yną1= yną f śą xnąh/2 yną f śą xn , ynźą"h/2
ą,ąźą"h
xn" yn"
ą
ą
rozwiązanie dokładne
y
y1
y1*
y0
h/2 h/2
x0 x0+h/2 x1
x
11
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Udoskonalona metoda Eulera
xn" yn"
f śą xn , ynźąą f śąą,ąźą
xnąh yną f śą xn , ynźą"h
yną1= yną "h
2
ą
ą
rozwiązanie dokładne
y
y1
y1*
y0
h
x0 x1
x
12
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rodzina metod Rungego-Kutty
s
yną1= yną wi K
"
i
i=1
K1=h f śąxn , ynźą
i-1
Ki=h f xnąai h , yną bij K , ią1
"
j
śą źą
j=1
wi , ai ,bij - stałe
13
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metoda Rungego-Kutty II rzędu (s=2)*
yną1= yną1 śąK1ąK2źą
2
K1= f śą xn , ynźą"h
K = f śąxnąh , ynąK1źą"h
2
Metoda Rungego-Kutty dla s=1
zmodyfikowana metoda Eulera
(dla jakich ?)
wi , ai ,bij
* znana jako metoda Heuna
14
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metoda Rungego-Kutty IV rzędu (s=4)
yną1= yną1 śąK1ą2K2ą2K3ąK źą
4
6
K1= f śą xn , ynźą"h
K = f śąxnąh/2, yną1/ 2"K1źą"h
2
K3= f śą xnąh/ 2, yną1/2"K źą"h
2
K = f śąxnąh , ynąK3źą"h
4
15
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody jednokrokowe
przechodząc od punktu x do x+h musimy znać tylko jedną
wartość rozwiązania - y(x)
Metody wielokrokowe
wartość funkcji w nowym punkcie wyrażamy przez jej wartości w
kilku punktach
16
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe
Szukamy rozwiązania zagadnienia początkowego w punktach
x1, x2, ..., niekoniecznie równoodległych
Ź= f śąx , yźą , y śąx0źą= y0
całkujemy obie strony równania różniczkowego
xną1
y śąxną1źą= yśą xnźąą f śą x , y śąxźąźądx
+"
xn
17
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe  wzór ogólny
k k
yną1= ai yną1-iąh bi f śą xną1-i , yną1-iźą , nąk -1
" "
i
i=1 i=0
h  krok całkowania
#"ak#"ą#"bk#"`"0
ai, bi  liczby rzeczywiste, zakładamy że
jeżeli b0=0 to metodę nazywamy jawną (ekstrapolacyjną),
jeżeli b0`"0 to metodę nazywamy niejawną (uwikłaną/interpolacyjną)
18
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe  zbieżność
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym zbieżności metody wielokrokowej jest aby
k
A0=1- ai=0
"
i=1
k k
A1=k- śąk-iźąai- bi=0
" "
i=1 i=0
19
Różniczkowanie numeryczne
f śąxkąą xźą- f śą xkźą
f ' śąxkźą= lim
ą x
ą x Śą0
na osi x wyznaczamy punkty rozłożone równomiernie w odległości
h=xką1-xk
f - f
ką1 k
f 'k=
h
wzór dwupunktowy (pochodna prawostronna)
20
Różniczkowanie numeryczne
wzór trójpunktowy (pochodna centralna)
f - f
f - f
ką1 k -1
ką1 k -1
f 'k=
f 'k=
2 h
2 h
wzór pięciopunktowy
1
f 'k= śą f -8 f ą8 f - f źą
k-2 k-1 k ą1 ką2
12 h
21
Różniczkowanie numeryczne
wzór trójpunktowy
f -2 f ą f
ką1 k k-1
f ' 'k=
h2
wzór pięciopunktowy
1
f ' 'k= śą- f ą16 f -30 f ą16 f - f źą
k-2 k-1 k ką1 k ą2
12 h2
22
Całkowanie numeryczne
b
f śąxźądx
+"
a
dzielimy przedział całkowania [a,b] na n równych części o długości
b-a
h=
n
wyznaczamy w ten sposób punkty x1, x2, ..., xn-1
obliczamy wartości funkcji podcałkowej w wyznaczonych punktach
i na krańcach przedziału
y0= f śąaźą , y1= f śąx1źą ,ą, yn-1= f śą xn-1źą , yn= f śąbźą
23
Całkowanie numeryczne
Metoda prostokątów
n-1
I =h yi
"
i=0
Metoda trapezów
y0ą yn n-1
I =h ą yi
"
śą źą
2
i=1
Metoda parabol (Simpsona)
n-1 n-2
I =h y0ą yną4 y2 i-1ą2 y2 i
" "
śą źą
3
i=1 i=1
24


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
skrot MN w3
skrot MN w4
skrot MN w1
skrot MN w5
skrot MN w2
W6
Mac Dre All?mn?y
skrot prospektu arka bz wbk akcji
The Leader And The?mned
C w6 zmienne dynamiczne wskazniki funkcji
MN w1 Minimum funkcji
w6 paleoklimat
Skrót ustawy z 13 czerwca 2013 r o gospodarce opakowaniami i odpadami opakowaniowymi
w6
MSI AiR w6 2004
RMZ zał 9 (karm p MN)
W6

więcej podobnych podstron