Metody numeryczne
skrót wykładu
dr inż. Anna Barcz
Zakład Matematyki Stosowanej
kontakt: pokój 28
abarcz@wi.ps.pl
konsultacje: środa 12.15 - 14.00
1
Zagadnienia
Zagadnienia początkowe i brzegowe.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania.
Klasyfikacja metod rozwiązywania równań różniczkowych.
Metody Eulera (zwykła, ulepszona, zmodyfikowana).
Metody Rungego-Kutty.
Metody wielokrokowe.
Różniczkowanie numeryczne.
Całkowanie numeryczne.
2
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązywanie zagadnień początkowych,
Ź= f śąx , yźą , y śąx0źą= y0
Rozwiązywanie zagadnień brzegowych:
równanie przewodnictwa cieplnego,
równanie drgań struny,
równanie Poissona, itd.
"u "2 u
L u= - = f śąx , tźą
"t
" x2
3
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie istnienie rozwiązania
Jeśli dla pewnych ą, > 0 funkcja f jest ciągła w prostokącie
R:= śąx , yźą:#"x-x0#"ąąą ,#"y- y0#"ąąą
{ }
to zagadnienie początkowe ma rozwiązanie x(t) dla
ą
#"x-x0#"ąąmin ą ,
{ }
M
gdzie
M :=maxR#" f śą x , yźą#"
4
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie jednoznaczność rozwiązania
" f
Jeśli funkcje i są ciągłe w prostokącie
f
" x
R:= śąx , yźą:#"x-x0#"ąąą ,#"y- y0#"ąąą
{ }
to dla
ą
#"x-x0#""ąmin ą ,
{ }
M
zagadnienie początkowe ma jednoznaczne rozwiązanie.
5
Zagadnienie początkowe
Twierdzenie istnienie i jednoznaczność rozwiązania w przedziale
aąąxąąb , -""ą y"ą"
Jeśli funkcja f jest ciągła dla
i jeśli istnieje stała L taka, że jest tam
#" f śą x , y1źą- f śą x , y2źą#"ąąL#"y1- y2#",
to zagadnienie początkowe
Ź= f śąx , yźą , y śąaźą=ą
ma w przedziale jednoznaczne rozwiązanie.
* warunek Lipschitza
6
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję
y=y(x) spełniającą to równanie w pewnym przedziale. Każde
rozwiązanie, które zawiera n dowolnych stałych c1, c2, ... , cn, tak że
możemy na nie nałożyć n dodatkowych warunków początkowych,
nazywamy rozwiązaniem ogólnym. Jeśli ustalimy wartości tych
stałych to otrzymamy rozwiązanie szczególne.
7
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Zastosowanie wzoru Taylora
założenie: funkcja jest różniczkowalna i pewne jej pochodne istnieją
1 1
y śąxąhźąH" y śąxźąąh Ź śą xźąą h2 śą xźąą yśą xźąąą
ą
2! 3!
1. określamy liczbę członów we wzorze,
2. przyjmujemy x=x0,
3. obliczamy wartość w kolejnych punktach x+h, x+2h, ...
4. potęga ostatniego członu określa rząd metody.
8
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rodzina metod Eulera
metody rzędu pierwszego,
nie trzeba różniczkować funkcji,
bardzo małe h
y śąxąhźąH" y śąxźąąhąśą x , yźą
9
Rozwiązywanie równań różniczkowych
yną1= yną f śą xn , yn
Metoda Eulera
ąźą"h , y śąx0źą= y0
ą
rozwiązanie dokładne
y
y1= y0ąą y1
ą y1
y2
= f śą x0, y0źą
"y2
ą x1
y1
"y1
y0 y1= y0ą f śą x0, y0źąą x1
h="x1 h="x2
ą x1=h
x0 x1 x2
x
y1= y0ą f śą x0, y0źąh
10
)
y
1
,
x
1
(
f
=
y
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Zmodyfikowana metoda Eulera
yną1= yną f śą xnąh/2 yną f śą xn , ynźą"h/2
ą,ąźą"h
xn" yn"
ą
ą
rozwiązanie dokładne
y
y1
y1*
y0
h/2 h/2
x0 x0+h/2 x1
x
11
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Udoskonalona metoda Eulera
xn" yn"
f śą xn , ynźąą f śąą,ąźą
xnąh yną f śą xn , ynźą"h
yną1= yną "h
2
ą
ą
rozwiązanie dokładne
y
y1
y1*
y0
h
x0 x1
x
12
)
y
,
0
x
(
0
f
=
y
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rodzina metod Rungego-Kutty
s
yną1= yną wi K
"
i
i=1
K1=h f śąxn , ynźą
i-1
Ki=h f xnąai h , yną bij K , ią1
"
j
śą źą
j=1
wi , ai ,bij - stałe
13
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metoda Rungego-Kutty II rzędu (s=2)*
yną1= yną1 śąK1ąK2źą
2
K1= f śą xn , ynźą"h
K = f śąxnąh , ynąK1źą"h
2
Metoda Rungego-Kutty dla s=1
zmodyfikowana metoda Eulera
(dla jakich ?)
wi , ai ,bij
* znana jako metoda Heuna
14
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metoda Rungego-Kutty IV rzędu (s=4)
yną1= yną1 śąK1ą2K2ą2K3ąK źą
4
6
K1= f śą xn , ynźą"h
K = f śąxnąh/2, yną1/ 2"K1źą"h
2
K3= f śą xnąh/ 2, yną1/2"K źą"h
2
K = f śąxnąh , ynąK3źą"h
4
15
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody jednokrokowe
przechodząc od punktu x do x+h musimy znać tylko jedną
wartość rozwiązania - y(x)
Metody wielokrokowe
wartość funkcji w nowym punkcie wyrażamy przez jej wartości w
kilku punktach
16
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe
Szukamy rozwiązania zagadnienia początkowego w punktach
x1, x2, ..., niekoniecznie równoodległych
Ź= f śąx , yźą , y śąx0źą= y0
całkujemy obie strony równania różniczkowego
xną1
y śąxną1źą= yśą xnźąą f śą x , y śąxźąźądx
+"
xn
17
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe wzór ogólny
k k
yną1= ai yną1-iąh bi f śą xną1-i , yną1-iźą , nąk -1
" "
i
i=1 i=0
h krok całkowania
#"ak#"ą#"bk#"`"0
ai, bi liczby rzeczywiste, zakładamy że
jeżeli b0=0 to metodę nazywamy jawną (ekstrapolacyjną),
jeżeli b0`"0 to metodę nazywamy niejawną (uwikłaną/interpolacyjną)
18
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody wielokrokowe zbieżność
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym zbieżności metody wielokrokowej jest aby
k
A0=1- ai=0
"
i=1
k k
A1=k- śąk-iźąai- bi=0
" "
i=1 i=0
19
Różniczkowanie numeryczne
f śąxkąą xźą- f śą xkźą
f ' śąxkźą= lim
ą x
ą x Śą0
na osi x wyznaczamy punkty rozłożone równomiernie w odległości
h=xką1-xk
f - f
ką1 k
f 'k=
h
wzór dwupunktowy (pochodna prawostronna)
20
Różniczkowanie numeryczne
wzór trójpunktowy (pochodna centralna)
f - f
f - f
ką1 k -1
ką1 k -1
f 'k=
f 'k=
2 h
2 h
wzór pięciopunktowy
1
f 'k= śą f -8 f ą8 f - f źą
k-2 k-1 k ą1 ką2
12 h
21
Różniczkowanie numeryczne
wzór trójpunktowy
f -2 f ą f
ką1 k k-1
f ' 'k=
h2
wzór pięciopunktowy
1
f ' 'k= śą- f ą16 f -30 f ą16 f - f źą
k-2 k-1 k ką1 k ą2
12 h2
22
Całkowanie numeryczne
b
f śąxźądx
+"
a
dzielimy przedział całkowania [a,b] na n równych części o długości
b-a
h=
n
wyznaczamy w ten sposób punkty x1, x2, ..., xn-1
obliczamy wartości funkcji podcałkowej w wyznaczonych punktach
i na krańcach przedziału
y0= f śąaźą , y1= f śąx1źą ,ą, yn-1= f śą xn-1źą , yn= f śąbźą
23
Całkowanie numeryczne
Metoda prostokątów
n-1
I =h yi
"
i=0
Metoda trapezów
y0ą yn n-1
I =h ą yi
"
śą źą
2
i=1
Metoda parabol (Simpsona)
n-1 n-2
I =h y0ą yną4 y2 i-1ą2 y2 i
" "
śą źą
3
i=1 i=1
24
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
skrot MN w3skrot MN w4skrot MN w1skrot MN w5skrot MN w2W6Mac Dre All?mn?yskrot prospektu arka bz wbk akcjiThe Leader And The?mnedC w6 zmienne dynamiczne wskazniki funkcjiMN w1 Minimum funkcjiw6 paleoklimatSkrót ustawy z 13 czerwca 2013 r o gospodarce opakowaniami i odpadami opakowaniowymiw6MSI AiR w6 2004RMZ zał 9 (karm p MN)W6więcej podobnych podstron