E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
WYKA
AD 5
ANALIZA STANÓW W UKA
ADACH Z ELEMENTEM
POJEMNOÅšCIOWYM
Celem analizy jest ustalenie wpływu elementu pojemnościowego na wydajność
układu urządzeń.
Zmiennymi decyzyjnymi w analizie sÄ…:
żð pojemność elementu,
żð poÅ‚ożenie elementu pojemnoÅ›ciowego w strukturze urzÄ…dzeÅ„.
Q DO
dZ
DO
= QDO - QOD
dt
część dostarczająca DO
Z
element pojemnościowy
DO
Q OD
OD
OD
część odbierająca OD
Rys. 1. Schemat układu z elementem pojemnościowym
1. Analiza możliwych stanów urządzeń
Dla celów analizy wpływu parametrów bufora na sprawność układu przyjęto, że część
dostarczająca i część odbierająca mogą znalez
ć się w następujących stanach:
S  pracuje;
A  uszkodzony;
P  element w postoju wymuszonym.
Z kolei trzecia część  bufor może przyjąć jeden z trzech poniższych stanów:
1  pusty;
2  częściowo zapełniony;
3  pełny.
1
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
S2S
A2S
A1P
A2A
S2A S2S
S3A
P3A
Rys.2. Przykładowe stany i przejścia między nimi
Uogólnienie powyższych założeń dla potrzeb całego układu pozwala stwierdzić, że
liczba stanów w jakich może znalez
ć się układ wynosi:
3n 33 27
.
Przykładowy opis stanu:
P3A - oznacza, że nie ma przepływu materiału w układzie, gdyż:
a). część odbierająca  OD znajduje się w stanie awarii  A ;
b). bufor jest pełny;
c). część dostarczająca  DO znajduje się w postoju wymuszonym  P .
Przyjęcie założeń upraszczających pozwoliło na redukcję liczby możliwych stanów do ośmiu,
które zebrano w tabeli1 wraz z możliwymi między nimi przejściami, które dodatkowo
ilustruje graf przejść (rys. 3).
Tab.1. Tabela możliwych stanów
Stan poprzedni Lp. Stan aktualny Stan następny
4 1 S1S 4,6
5,6 2 S2S 5,6
8 3 S3S 5,8
1,5 4 A1P 1
2,3,7 5 A2S 2,7,4
1,2,7 6 S2A 7,2,8
5,6 7 A2A 6,5
3,6 8 P3A 3
2
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
S  sprawny (pracuje);
A  uszkodzenie (awaria); P  postój wymuszony
1, 2, 3  stany zasobnika (pusty,
P3A częściowo zap., pełny) A1P
S1S
S2S
S3S
S2A A2S
A2A
Rys. 3. Graf stanów i przejść
2. Algorytm obliczeń przepływu materiału w systemach
z elementem pojemnościowym (buforem)
W obliczeniach część dostarczającą i część odbierającą scharakteryzowana jest czasem
trwania naprawy i czasem pracy do uszkodzenia. Analizie poddane jest osiem podstawowych
stanów układu.
Zarówno czas pracy jak i czas naprawy są zmiennymi losowymi opisanymi rozkładem
eksploatacyjnym  wykładniczym.
Za dane wejściowe przyjęto poniższe parametry:
Wskaz
nik uszkodzeń każdego pojedynczego urządzenia:
;i 1,2...n ;
I
Pojemność zasobnika:
V = {V1, V2, & Vi, & Vk}
Średni czas pracy każdego urządzenia: B(I), B(II);
Średni czas naprawy każdego urządzenia: E(I), E(II);
E(I) = B(I) ºI ; E(II) = B(II) ºII ;
3
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
Rzeczywiste czasy trwania stanu (praca, naprawa) sÄ… wyliczane z funkcji
gęstości rozkładu wykładniczego:
t
f ( t ) e stÄ…d: t ln C;
gdzie:
- wartość średnia B(IS), E(IS);
C (0, 1) - zmienna losowa;
STAN S1S
MOMENT KOC
CA STANU  TK :
TK = min (TU (I), TU (II) )
Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II (czas pracy):
TU(I) = - B(I) * ln C
TU(II) = - B(II) * ln C
Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX
Produkcja P:
P = P + W * CRS
Generowanie czasu naprawy urzÄ…dzenia I lub II (urzÄ…dzenia IS):
CN (IS) = - E(IS) * ln C
Moment końca naprawy:
TN (IS) = TK + CN (IS)
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TU (II)
A1P S2A
STAN S2S
MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min ( TU (I), TU (II))
Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX
4
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
Produkcja P:
P = P + CRS * W
Generowanie czasu naprawy urzÄ…dzenia IS:
CN(IS) = - E(IS) * ln C
Moment zakończenia naprawy IS:
TN (IS) = TK + CN (IS)
Początek następnego stanu :
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TU (II)
A2S S2A
STAN S3S
MOMENT ZAKOC
CZENIA STANU:
TK = min ( TU(I), TU(II) )
Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX
Produkcja P:
P = P + W * CRS
Generowanie czasu naprawy urządzenia, dla którego TK = TU (IS):
CN (IS) = - E (IS) * ln C
Moment końca naprawy urządzenia IS:
TN (IS) = TK + CN (IS)
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TU (II)
A2S P3A
5
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
STAN A1P
MOMENT KOC
CA STANU  A1P :
TK = TN (I)
Generowanie czasu pracy urzÄ…dzenia I:
CR (I) = - B(I) * ln C
Czas trwania stanu A1P:
CP = TK - TU (I) = CN (I)
Poprawa momentów uszkodzeń:
TU (I) = TK + CR (I)
TU (II) = TU (II) + CP
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TN (I)
S1S
STAN A2S
Czas do opróżnienia zasobnika CV:
CV = Q / W
Moment zakończenia stanu:
TK = min ( TN(I), TU(II), TX + CV )
Czas trwania stanu:
CP = TK - TX
Produkcja P:
P = P + CP * W
Stan zasobnika Q:
Q = Q - W * CP
Generowanie czasu:
- pracy, jeżeli TK = TN (I)
CR (I) = - B (I) * ln C
- naprawy, jeżeli TK = TU (II):
CN (II) = - E (II) * ln C
6
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TN (I) TK = TU (II) TK = TX + CV
TU (I) = TK + CR (I) TN (II) = TK + CN (II)
S2S A2A A1P
STAN S2A
Czas do zapełnienia zasobnika CV:
CV = ( V - Q ) / W
MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
Czas trwania stanu:
CP = TK - TX
Zapełnienie zasobnika Q:
Q = Q + W * CP
Generowanie czasu:
- naprawy, jeżeli TK = TU (I)
CN (I) = - E (I) * ln C
- moment zakończenia naprawy:
TN (I) = TU (I) + CN (I)
- pracy, jeżeli TK = TN (II)
CR (II) = - B (II) * ln C
- moment zakończenia pracy:
TU (II) = TK + CR (II)
PoczÄ…tek nowego stanu :
TX = TK
Przejście do następnego stanu
TK = TU (I) TK = TN (II) TK = TX + CV
A2A S2S P3A
7
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
3. PRZYKA
AD
Dane:
W = 1,
= 0,02
B(I) = B(2) = 30; średni czas pracy do uszkodzenia,
i = 5 - położenie zasobnika,
E(I) = E(II) = (0,02*5)*30 = 3; średni czas naprawy,
V = 2 - pojemność zasobnika,
C - wygenerowana liczba losowa z przedziału (0, 1).
OBLICZENIA
1. Warunki początkowe: TX=0 - czas, P=O - produkcja, Q=0 - zasób.
S1S
MOMENT KOC
CA STANU  TK :
TK = min (TU (I) )
Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II:
TU(I) = - B(I) * ln C = - 30 * ln 0.8737 = 4.05
TU(II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.7615 = 8.17
Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX = 4.05 - 0 = 4.05
Produkcja P:
P = P + W * CRS = 0 + 1 * 4.05 = 4.05
Generowanie czasu naprawy urzÄ…dzenia I:
CN (I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.6701 = 1.2
Początek następnego stanu: A1P (bo zasobnik pusty - 1)
TX = TK = 4.05
2.
A1P
MOMENT KOC
CA STANU  A1P :
TK = TX + CN(I) = 4.05 + 1.2 = 5.25
Generowanie czasu pracy urzÄ…dzenia I:
CR (I) = - B(I) * ln C= - 30 * ln 0,0856 = 73.7
Czas trwania stanu A1P:
CP = CN (I) = 1.2
Poprawa momentów uszkodzeń:
TU (I) = TK + CR (I) = 5.25 + 73.7 = 78.95
TU (II) = TU (II) + CP = 8.17 + 1.2 = 9.37
Początek następnego stanu: S1S
TX = TK = 5.25
8
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
3.
S1S
MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min ( TU ) = TU (II) = 9.37 --> S2A
Generowanie czasu naprawy urzÄ…dzenia II:
CN (II) = - E (II) * ln C = - 3 * ln 0.5329 = 1.89
Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX = 9.37 - 5.25 = 4.12
Produkcja P:
P = P + W * CRS = 4.05 + 1*4.12 = 8.17
Początek następnego stanu: S2A
TX = TK = 9.37
4.
S2A
Czas do zapełnienia zasobnika CV:
CV = ( V - Q ) / W = 2/1 = 2
MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
TU (I) = 78.95
TN (II) = TX + CN (II) = 9.37 + 1.89 = 11.26 ==> TK = TN (II) = 11.26
TX + CV = 9.37 + 2 = 11.37
Czas trwania stanu:
CP = TK - TX = 11.26 - 9.37 = 1.89
Zapełnienie zasobnika Q:
Q = Q + W * CP = 0 + 1 * 1.89 = 1.89
Generowanie czasu pracy urzÄ…dzenia II:
CR (II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.09876 = 69.45
Moment zakończenia pracy urządzenia II:
TU (II) = TK + CR (II) = 11.26 + 69.45 = 80.71
PoczÄ…tek nowego stanu S2S:
TX = TK = 11.26
5.
S2S
MOMENT KOC
CA STANU:
TK = min ( TU(I), TU(II) ) = TU (I) = 78.95
Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX = 78.95 - 11.26 = 67.69
Produkcja P:
P = P + CRS * W = 8.17 + 67.69 = 75.86
Generowanie czasu naprawy urzÄ…dzenia I:
CN(I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.2368 = 4.32
Moment zakończenia naprawy I:
TN (I) = TK + CN (I) = 78.95 + 4.32 = 83.27
Początek następnego stanu A2S:
TX = TK = 78.95
9
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
& & & & & & & & .
OBLICZENIA KOC
COWE
(dla 100 godzin)
Czas symulacji
Produkcja
Czas pracy urzÄ…dzenia I
Czas pracy urzÄ…dzenia II
Czas uszkodzeń urządzenia I
Czas uszkodzeń urządzenia II
Wskaz
niki uszkodzeń urządzeń I i II
Sprawność działania systemu
Czas symulacji:
TSYM = 105
Produkcja:
P = 98.34
Czas pracy urzÄ…dzenia I:
TP (I) = 101.26
Czas pracy urzÄ…dzenia II:
TP (II) = 99.61
Czas uszkodzeń urządzenia I:
TU (I) = 5.52
Czas uszkodzeń urządzenia II:
TU (II) = 6.34
Wskaz
niki uszkodzeń urządzeń I i II:
= 5.52 / 101.26 = 0.054 = 6.34 / 99.61 = 0.064
I II
Sprawność działania systemu:
= P / TSYM = 0.936
10