Definicja AI
Sztuczna inteligencja to dziedzina
informatyki która zajmuje się
studiowaniem i budowaniem systemów
komputerowych mających zdolność
komputerowych mających zdolność
przyswajania, analizowania, przetwarzania
oraz wykorzystywania faktów i wiedzy
rozumianej jako informacji przydatnej do
pozyskiwania nowych faktów
Fuzzy logic
Logika rozmyta
Logika rozmyta
Teoria zbiorów rozmytych
" Zadeh, L. A.: Fuzzy Sets. Information and Control, 8, s. 338-353, 1965.
" Zadeh, L. A.: Fuzzy Algorithms. Information and Control, 12, s.94-102,
1968.
" Zadeh, L. A.: Towards a theory of fuzzy systems. W: Kalman, R.E.,
DeClaris, R.N., Aspects of Network and System Theory. Holt, Rinehart and
Winston, New York, s. 469-490, 1971.
" Zadeh, L. A.: Outline of a New Approach to the Analysis of Complex
Systems and Decision Processes. IEEE Trans. Systems, Man and
Cybernetics, 3 (1), s. 28-44, 1973.
" Zadeh, L. A.: The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 1, Inf. Science, 8, s. 199-249, 1975.
" Zadeh, L. A., The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 2, Inf. Science, 8, 301-357, 1975.
" Zadeh, L. A., The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 3, Inf. Science, 9, 43-80, 1975.
Wybrane pozycje literaturowe
Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M.:
Wprowadzenie do sterowania rozmytego. WNT ,Warszawa1996.
Rutkowska D.:
Inteligentne systemy obliczeniowe. Algorytmy genetyczne i sieci
neuronowe w systemach rozmytych.
neuronowe w systemach rozmytych.
Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1997.
Yager R., Filev D.:
Podstawy modelowania i sterowania rozmytego.
WNT, Warszawa 1995.
Logika rozmyta
logika klasyczna logika rozmyta
Tradycyjna logika dwuwartościowa: (0 lub 1, prawda lub fałsz), gdzie granice
zbioru są określone ściśle.
Logika rozmyta jest rozwinięciem logiki wielowartościowej i jest oparta na
koncepcji nieostrych granic pomiędzy zbiorami elementów, których stopień
przynależności do zbioru jest wartością z przedziału [0, 1].
Zbiór rozmyty
Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X
zmiennej x nazywamy zbiór par:
A = {x, µA(x); x " X}
gdzie µ (x) jest funkcjÄ… przynależnoÅ›ci (ang. membership funcion)
gdzie µA(x) jest funkcjÄ… przynależnoÅ›ci (ang. membership funcion)
x " X
zbioru A, która określa stopień przynależności każdemu elementowi
do zbioru rozmytego A:
µA(x) : X [0,1]
µA(x) > 0
Zbiór elementów przestrzeni X, dla których
jest nazywany nośnikiem zbioru A (ang. support):
s
u
p
p
(A) = {x " X ; µA(x) > 0}
Funkcje przynależności
trójkątna funkcja przynależności
Å„Å‚
A
ôÅ‚
0, c d" x d" a
ôÅ‚
x
ôÅ‚ - a
µA(x) = , a < x d" b
òÅ‚
ôÅ‚b - a
ôÅ‚c - x
ôÅ‚c - b , b < x < c
ół
ëÅ‚ öÅ‚
x - a c - x
öÅ‚,0 ÷Å‚
ìÅ‚
µ (x) = maxìÅ‚minëÅ‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚
A
÷Å‚
b - a c - b
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Matlab s syntax: trimf(x,[a, b, c])
A
>> x=0:1:10;
>> y=trimf(x,[2 5 8]);
>> plot(x,y);grid;
x=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y=[0, 0, 0, 0.33, 0.66, 1, 0.66, 0.33, 0, 0, 0]
Funkcje przynależności
the crossover point
>>trimf(5,[1, 3, 6])
>>0.3333
>>trimf(5,[3, 6, 9])
>>0.6667
Funkcje przynależności
funkcja Gaussa (krzywa dzwonowa)
A
(x-c)2
-
2
2Ã
µ (x) = e
A
where:
c and à are the centre point
c and à are the centre point
and width of the gausian curve
X
Matlab s syntax: gaussmf(x,[Ã
Ã, c])
Ã
Ã
Funkcje przynależności
trapezoidal MF S-shaped MF Z-shaped MF
a b a b
a b c d
zmf(x,[a, b])
zmf(x,[a, b])
trapmf(x,[a, b, c, d]) smf(x,[a, b])
trapmf(x,[a, b, c, d]) smf(x,[a, b])
0, d d" x d" a
1, x d" a
Å„Å‚ 0, x d" a Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2
2
x - a
x
ôÅ‚1- 2ëÅ‚ - a a + b
öÅ‚
x
ôÅ‚ ëÅ‚ - a a + b
öÅ‚
ôÅ‚
, a < x < b
, a < x d"
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚2ìÅ‚ b - a ÷Å‚ , a < x d" 2
ôÅ‚ - a b - a 2
b
ôÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
µ(x) =
µ(x) =
òÅ‚1,
òÅ‚
µ(x) =
òÅ‚
2
b d" x d" c
2
ôÅ‚ - x a + b
b
ôÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚
b - x a + b
öÅ‚
ôÅ‚2ìÅ‚ b - a ÷Å‚ , 2 < x < b
ìÅ‚
ôÅ‚d - x ôÅ‚1- 2ëÅ‚ b - a ÷Å‚ , 2 < x < b
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
, c < x < d
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚0,
x e" b
d
ół - c
ôÅ‚1, ół
x e" b
ół
ëÅ‚ x - a d - x öÅ‚
öÅ‚,0 ÷Å‚
ìÅ‚
µ(x) = maxìÅ‚minëÅ‚ ,1,
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
b - a d - c
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Operacje arytmetyczne na zbiorach rozmytych
Operacje koniunkcji (AND) i disjunkcji (OR) realizowane sÄ… z zastosowaniem
norm trójkątnych (T-norma i T-conorma) w celu wyznaczenia części wspólnej
(przecięcie zbiorów rozmytych) lub sumy zbiorów rozmytych (agregacja zbiorów
rozmytych).
T- norma  iloczyn zbiorów rozmytych.
T- conorma (S-norma)  suma zbiorów rozmytych.
Iloczyn dwóch zbiorów rozmytych:
T
µ (x) = T(µ (x), µB (x))= µA(x) * µB (x)
A)"B A
T-normy spełniają prawa:
przemienność:
T(a,b)= T(b, a)
łączność:
T(a,T(b,c))= T(T (a,b),c)
monotoniczność:
T(a,b)d" T(c, d), for a d" c,b d" d
tożsamość jedynki: T(a,1)= a
T-norma  iloczyn (przecięcie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
T-norma Zadeha: minimum
T(µ (x), µB (x))= min(µA(x), µB (x))
A
1 0.75 0.5 0.25 0
Å„Å‚ üÅ‚
A = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
3 4 5 6þÅ‚
ół2
ół2
0 0.25 0.5 0.75 1
Å„Å‚ üÅ‚
B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
0 0.25 0.5 0.25 0
Å„Å‚ üÅ‚
A )" B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
T-norma  iloczyn (przecięcie) zbiorów rozmyty,
operacje koniunkcji (AND)
T-norma: iloczyn algebraiczny (algebraic product)
T(µ (x), µB (x))= µ (x) Å" µB (x)
A A
A B
1 0.75 0.5 0.25 0
Å„Å‚ üÅ‚
A = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
3 4 5 6þÅ‚
ół2
ół2
0 0.25 0.5 0.75 1
Å„Å‚ üÅ‚
B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
0 0.1875 0.25 0.1875 0
Å„Å‚ üÅ‚
A)" B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
T-norma  iloczyn (przecięcie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
T-norm: iloczyn ograniczony (bounded product)
T(µA(x),µB (x))= max(0, µA(x) + µB (x) -1)
A B
1 0.66 0.33 0
1 0.66 0.33 0
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
A = , , ,
A = , , ,
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
4 5 6þÅ‚
ół3
0.25 0.5 0.75 1
Å„Å‚ üÅ‚
B = , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół
0.25 0.16 0.08 0
Å„Å‚ üÅ‚
A)" B = , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół
T-normy
- minimum (zwana normą trójkątną Zadeha)
T(µA(x),µB (x))= min(µA(x),µB (x))
- iloczyn algebraiczny
T(µ (x), µB (x))= µ (x) Å" µB (x)
A A
- ograniczona różnica
T(µ (x), µ (x))= max(0, µ (x) + µ (x) -1)
T(µA(x), µB (x))= max(0, µA(x) + µB (x) -1)
- norma Einsteina
µA(x) Å" µB (x)
T(µA(x),µB (x))=
2 - (µA(x) + µB (x) - µA(x) Å" µB (x))
- norma Hamachera
µA(x) Å" µB (x)
T(µA(x),µB (x))=
µA(x) + µB (x) - µA(x) Å" µB (x)
T-conormy (S-normy: suma zbiorów rozmytych)
S
µ (x) = S(µA(x), µB (x))= µ (x) + µB (x)
A*"B A
T-conormy (S-normy) spełniają prawa:
przemienność:
przemienność:
S(a,b)= S(b, a)
S(a,b)= S(b, a)
łączność:
S(a, S(b,c))= S(S(a,b),c)
monotoniczność:
S(a,b)d" S(c, d), for a d" c,b d" d
tożsamość jedynki:
S(a,1)=1
S-norma (T-conorma)  suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
S-norma Zadeha: maximum
µ (x) = max(µ (x), µB (x))
A*"B A
1 0.75 0.5 0.25 0
1 0.75 0.5 0.25 0
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
A = , , , ,
A = , , , ,
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
0 0.25 0.5 0.75 1
Å„Å‚ üÅ‚
B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
1 0.75 0.5 0.75 1
Å„Å‚ üÅ‚
A)" B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
S-norma (T-conorma)  suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
S-norma: suma algebraiczna
µA*"B(x) = µA(x) + µB(x) - µA(x)Å"µB(x)
A
B
1 0.75 0.5 0.25 0
1 0.75 0.5 0.25 0
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
A = , , , ,
A = , , , ,
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
0 0.25 0.5 0.75 1
Å„Å‚ üÅ‚
B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
1 0.8125 0.75 0.8125 1
Å„Å‚ üÅ‚
A)" B = , , , ,
òÅ‚ żł
3 4 5 6þÅ‚
ół2
S-norma (T-conorma)  suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
S-norma: suma ograniczona (bounded sum)
µA*"B(x) = min(µA(x) + µB(x),1)
B
B
A
A
S-normy
- maksimum (zwana normą trójkątną Zadeha)
S(µA(x),µB (x))= max(µA(x),µB (x))
- suma algebraiczny
S(µA(x),µB (x))= µA(x) + µB (x) - µA(x) Å" µB (x)
- ograniczona suma
S(µ (x),µ (x))= min(1, µ (x) + µ (x))
S(µA(x),µB (x))= min(1, µA(x) + µB (x))
- norma Einsteina
µA(x) + µB (x)
S(µA(x), µB (x))=
1+ µA(x) Å" µB (x)
- norma Hamachera
µA(x) + µB (x) - 2 Å" µA(x) Å" µB (x)
S(µA(x),µB (x))=
1- µA(x) Å" µB (x)
System wnioskowania rozmytego (FRBS) - MISO
IF x1 is Aj1(x1) and/or x2 is Aj2(x2) and/or & and/or xn is Ajn(xn) THEN y is Bj(y)
Wnioskowanie rozmyte oparte na bazie reguł
(modelu lingwistycznym)
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
mały wysoki bardzo duży mały duży szybko
zmienna wyjściowa: napięcie,
zmienna wejściowa: prędkość,
siła, moc
siła, moc
przyśpieszenie, temperatura,
przyśpieszenie, temperatura,
pozycja
Rozmyta reguła warunkowa:
JEŻELI temperatura jest wysoka TO moc grzejnika jest mała
przesłanka konkluzja
Implikacja rozmyta
Rozmyta relacja: JEŻELI x jest A TO y jest B
µAB(x, y)= T (µA(x),µB (y))
Fuzzy T-norm implication:
µAB(x, y)= S(µA(x),µB (y))
Fuzzy S-norm implication:
Najbardziej popularne implikacje oparte na T-normach:
Mamdani s implication: Larsen s implication:
Mamdani s implication: Larsen s implication:
µB'( y) = µ (x) Å" µB ( y)
µB'( y) = min(µ (x), µB ( y)) A
A
Implikacje rozmyte z koniunkcyjną przesłanką
Jeżeli x1 jest A1 i x2 jest B1 TO y jest C1
µC1'(y) = TI (T)"(µ (x1), µB1 (x2 )), µC1( y))
(A1 )" B1) C1 :
A1
Implikacja Mamdaniego:
µC'( y) = min{min(µ (x1), µB (x2 )), µC ( y)}
A
µC'( y) = min(µ (x1), µB (x2 ))Å" µC (y)
Implikacja Larsena:
A
Implikacje rozmyte z dysjunkcyjną przesłanką
IF x1 is A1 or x2 is B1 THEN y is C1
µC1'( y) = TI (S)"(µ (x1), µB1 (x2 )), µC1( y))
(A1 *" B1) C1 :
A1
The Mamdani s implication:
µC'( y) = min{max(µ (x1), µB (x2 )), µC ( y)}
A
µC'( y) = max(µ (x1), µB (x2 ))Å" µC ( y)
The Larsen s implication:
A
Implikacje rozmyte
Implikacja Mamdaniego:
µAB(x, y)= min(µA(x),µB (y))
Implikacja Larsena:
µAB(x, y)= µA(x) Å" µB ( y)
Implikacja A
ukasiewicza:
µAB(x, y)= min(1,1- µA(x) + µB ( y))
µAB(x, y)= min(1,1- µA(x) + µB ( y))
Implikacja Yagera:
B
µAB(x, y)= (µA(x))µ ( y)
Implikacja Goguena:
ëÅ‚ öÅ‚
µB ( y)
ìÅ‚ ÷Å‚
µAB(x, y)= minìÅ‚ ,1÷Å‚
µA(x)
íÅ‚ Å‚Å‚
Agregacja wyników implikacji
1. odpalenie n reguł warunkowych, których wynikiem są zbiory
rozmyte B i :
Ri: IF x is Ai THEN y is Bi gdzie: i = 1, 2, & , n
B i = Ai Bi
2. agregacja wyników wszystkich reguł:
B =agg(B , B 2, & , B ) = S(B 1, B , & , B n)
B =agg(B 1, B , & , B n) = S(B , B 2, & , B )
W celu otrzymania wyników wszystkich implikacji i zsumowania ich stosuje
siÄ™ kompozycje T-norm i S-norm:
n
B'=
i
UA o Bi
i=1
gdzie  o jest operatorem kompozycji.
Kompozycja typu max-min
Implikacja:T-norma minimum.
Agregacja: S-norma maksimum.
T
0.4 0 0.3 0.5 1 0.5 0.3 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
n=3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
B'=
i
UA o Bi = ïÅ‚0.2śł o ïÅ‚0 0 0.1 0.6 1 0.5 0.1 0 0 0śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
i=1
ïÅ‚0.5śł ïÅ‚0 0 0 0.2 0.6 1 0.7 0.4 0.1 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0.3 0.4 0.4 0.4 0.3 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
= 0 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0
= 0 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 0 0.2 0.5 0.5 0.5 0.4 0.1 0ûÅ‚
śł
ðÅ‚
= [0 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.4 0.1 0]
Kompozycja typu max-min
µ( y) = max{min(T)"(µ (x1), µB (x2 )), µC (y))}
A
y"Y
Kompozycja typu max-product
µ( y) = max{min(µ (x1), µB (x2 ))Å" µC ( y)}
A
y"Y
Wyostrzanie - defuzzification
 centroid  center of gravity,
 bisector  bisector vertical line divides the region into two equal areas,
 lom  largest of maximum,
 mom  middle of maximum,
 som  smallest of maximum.
Rozmyte singletony
IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y is C1
T-norma - minimum
Rozmyte singletony
IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y is C1
T-norma : iloczyn algebraiczny
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
" Takagi T., Sugeno M.: Fuzzy Identification of Systems and its Application to
Modeling and Control. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics 15(1), s. 116-
132, 1985.
" Sugeno M., Kang T.: Structure Identification of Fuzzy Model. Fuzzy Sets and
Systems 28, s. 15-33, 1988.
IF x1 is A11 and/or x2 is A21 and/or & and/or xn is An1
IF x1 is A11 and/or x2 is A21 and/or & and/or xn is An1
THEN yk=fk(x1, x2, & , xn)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
IF x1 is A11 and/or x2 is A21 and/or & and/or xn is An1
THEN yk=fk(x1, x2, & , xn)
- stopień aktywacji reguły (waga reguły, poziom odpalenia reguły,
ang. firing strength):
wk = T(µA11 (x1), µA21 (x2 ),..., µAn1 (xn ))
wk = S(µA11 (x1), µA21 (x2 ),..., µAn1 (xn ))
k A11 1 A21 2 An1 n
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
realizowane jest zazwyczaj jako średnia arytmetyczna ważona wszystkich
wyników implikacji (reguł warunkowych):
N
k
"w Å" yk
k=1
y =
N
k
"w
k=1
Wnioskowanie TSK - przykład
R1: IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y1=2*x1+3*x2+4
R2: IF x1 is A2 and x2 is B2 THEN y2=5*x1+4*x2+4
wk = µA(x1) Å" µB (x2)
R1: w1=0.5*0.8=0.4; y1 = 20
R2: w2=0.5* 0.2=0.1; y2 = 30
Wnioskowanie TSK - przykład
R1: IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y1=2*x1+3*x2+4
R2: IF x1 is A2 and x2 is B2 THEN y2=5*x1+4*x2+4
wk = µA(x1) Å" µB (x2)
R1: w1=0.5*0.8=0.4; y1 = 20
R : w =0.5*0.2=0.1; y = 30
R2: w2=0.5*0.2=0.1; y2 = 30
N =2
k
"w Å" yk 0.4 Å" 20 + 0.1Å"30 8 + 3
k =1
y = = = = 22
N =2
0.4 + 0.1 0.5
k
"w
k=1
Wnioskowanie TSK - przykład
R1: IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y1=2*x1+3*x2+4
R2: IF x1 is A2 and x2 is B2 THEN y2=5*x1+4*x2+4
wk = µA(x1) Å" µB (x2 )
Wnioskowanie TSK - przykład
R1: IF x1 is A1 or x2 is B1 THEN y1=2*x1+3*x2+4
R2: IF x1 is A2 or x2 is B2 THEN y2=5*x1+4*x2+4
wk = max(µA(x1),µB (x2))
R1: w1=max(0.5, 0.8)=0.8; y1 = 20
R2: w2=max(0.5, 0.2)=0.5; y2 = 30
Wnioskowanie TSK - przykład
R1: IF x1 is A1 or x2 is B1 THEN y1=2*x1+3*x2+4
R2: IF x1 is A2 or x2 is B2 THEN y2=5*x1+4*x2+4
R1: w1=max(0.5, 0.8)=0.8; y1 = 20
R2: w2=max(0.5, 0.2)=0.5; y2 = 30
N =2
k
"w Å" yk 0.8Å" 20 + 0.5Å"30 16 +15
k =1
y = = = = 23.85
N =2
0.8 + 0.5 1.3
k
"w
k =1
Zmienna lingwistyczna
Zmienna lingwistyczna jest zmienną, której wartości wyrażone
są językiem naturalnym lub sztucznym. Temperatura jest zmienną
lingwistyczną, jeżeli jej wartość wyrażona jest terminami
lingwistycznymi: wysoka, bardzo wysoka, ciepło, chłodno, raczej
chłodno. Zamiast: 100, 140, 190 , 320 &
Rozmyta reguła warunkowa:
JEŻELI temperatura jest wysoka TO moc grzejnika jest mała
JEŻELI temperatura jest wysoka TO moc grzejnika jest mała
przesłanka konkluzja
rada
reakcja
decyzja
prognoza
Rozmyte singletony
IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y is C1
T-norma: minimum Implikacja: minimum (Mamdaniego)
Rozmyte singletony
IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN y is C1
T-norma: minimum Implikacja: product (Larsena)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
" Takagi T., Sugeno M.: Fuzzy Identification of Systems and its Application to
Modeling and Control. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics 15(1), s. 116-
132, 1985.
" Sugeno M., Kang T.: Structure Identification of Fuzzy Model. Fuzzy Sets and
Systems 28, s. 15-33, 1988.
IF x1 is A11 and x2 is A21 and & and xn is An1
IF x1 is A11 and x2 is A21 and & and xn is An1
THEN yk=fk(x1, x2, & , xn)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
IF x1 is A11 and x2 is A21 and & and xn is An1 THEN yk=fk(x1, x2, & , xn)
- stopień aktywacji reguły (waga reguły, poziom odpalenia reguły: firing
strength):
wk = T(µA11 (x1), µA21 (x2 ),..., µAn1 (xn ))
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
realizowane jest zazwyczaj jako średnia arytmetyczna ważona wszystkich
wyników implikacji (reguł warunkowych):
N
k
"w Å" yk
k=1
y =
N
k
"w
k=1
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
IF x1 is A1 and x2 is B1 THEN yk=2*x1+3*x2+4
wk*yk=wk*(2*x1+3*x2+4) = 8
Identyfikacja parametrów
modelu rozmytego
z zastosowaniem algorytmów
z zastosowaniem algorytmów
grupowania rozmytego
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-średnich)
Fuzzy c-means (FCM)
Dane zarejestrowane w procesie pomiarowym:
X = {x1, x2,..., xn}
Środki rozmytych podprzestrzeni zmiennych wejściowych
nazywanych rozmytymi klastrami (w postaci elipsoid):
C = {c1,c2,...,cN }
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-średnich)
Fuzzy c-means (FCM)
X = {x1, x2,..., xn} C = {c1,c2,...,cN }
Celem algorytmu c-średnich jest minimalizacja funkcji celu
wyrażonej jako suma odległości punktów xj od ci w przestrzeni
euklidesowskiej:
n N
2
m
J =
ij j
""µ Å" x - ci
j=1 i=1
j=1 i=1
µij - stopieÅ„ przynależnoÅ›ci wektora xj zmiennych wejÅ›ciowych
(danych uczących) do klastra, którego środkiem jest ci .
- przyjmowana wartość wykładnika stopnia przynależności,
m "[1,")
zazwyczaj m=2.
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-średnich)
Fuzzy c-means (FCM)
n
m
1
m
ij j
"µ Å" x µij =
2
j=1
ci =
N
ëÅ‚
x - ci ÷Å‚
x - ci öÅ‚ m-1
n
n
j
j
m
"ìÅ‚
"ìÅ‚ x - ck ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ij
"
"µ ìÅ‚ ÷Å‚
j
k=1
íÅ‚ Å‚Å‚
j=1
Algorytm grupowania różnicowego danych
(subtractive clustering)
X = {x1, x2,..., xn}
Krok 1
Potencjalnymi środkami klastrów są wszystkie próbki uczące xj , dla
których wyznaczane są potencjały:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2
x - ci
ìÅ‚ ÷Å‚
j
P(x ) = expìÅ‚-
÷Å‚
j
ìÅ‚ ra 2 ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ra  współczynnik określający wielkość sąsiedztwa.
Algorytm grupowania różnicowego danych
(subtractive clustering)
Krok 2
Pierwszym środkiem c1 rozmytego klastra wybierany jest wektor xj
o największej wartości potencjału P(xj).
Następnie aktualizowane są wartości potencjałów wszystkich
wektorów wartości zmiennych wejściowych:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2
x - ci ÷Å‚
-
ìÅ‚
j
P(x ) = P(x ) - P(c1) Å"expìÅ‚-
÷Å‚, rb e" ra
j j
ìÅ‚ rb 2 ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
rb = 1.5ra
zazwyczaj:
Prowadzi to zredukowania potencjałów próbek, znajdujących się
blisko środka klastra c1.
Algorytm c-średnich i grupowania różnicowego danych
Przykład Matlab:
>> findcluster( clusterdemo.dat )