Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
Przykład 7 Ściskanie - duży mimośród
Zwymiarować słup ramy monolitycznej o węzłach przesuwnych wg danych jak na
rysunku.
ULS (SGN) SLS (SGU)
MEd2=525 kNm = M0Ed2 MEd2=357 kNm = M0Ep,q2
MEd1=273 kNm = M0Ed1 MEd1=145 kNm= M0Ep,q1
NEd=600 kN NEd=400 kN
leff=10.0 m - rygiel, l = 7.0 m  słup
1. Dane i założenia wstępne:
N6. Tab. E.1N
Wskazana (minimalna) klasa betonu dla klasy ekspozycji XC1 C20/25
N6 Tab. 3.1.
przyjęto beton klasy C20/25 f =20 MPa,
ck
fck 20
fcd = = f =13.33 MPa,
cd
Å‚ 1.5
c
f =2.2 MPa, f =1.5 MPa,
ctm ctk
fctk 1.5
fctd = = f =1.0 MPa,
ctd
Å‚c 1.5
o
µ =3.5 =0.0035
cu2
oo
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 1/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
Stal:
N6 Tab. C1, str. 187
stal klasy C (gatunek B500SP)  patrz przykład 1:
f =420 MPa, f =500 MPa, f =575 MPa, i na podstawie danych
yd yk tk
producenta
µcu2
¾eff ,lim = 0,8 Å" ;
µcu2 + µ
yd
fyd
420
µyd = , µ = =0,0021
yd
Es 200000
0.0035
¾eff ,lim = 0,8 Å" ; ¾ = 0.5
eff,lim
0.0035 + 0.0021
2. Ustalenie kategorii projektowej użytkowania: N1. Tab. 2.1.
Przyjęto kategorię 4, co odpowiada klasie konstrukcji S4 N6. Tab. 4.4N
3. Efektywny współczynnik pełzania:
wpływ pełzania można pominąć, jeśli spełnione są trzy poniższe warunki: N6. 5.8.4.(4) str.63
" Õ(",to ) d" 2,
"  d"75,
M0Ed
" e" h
NEd
M0Eq,p
Õef = Õ(",to ) Å" ;
M0Ed
M - max. na długości słupa moment zginający pierwszego rzędu wywołany prawie stałą
0Eq,p
kombinacją obciążeń (SLS),
M0Eq,p2 = MEd2 = 357kNm (dlaSGU a" SLS) ;
M - max. na długości słupa moment zginający pierwszego rzędu wywołany obliczeniową
0Ed
kombinacją obciążeń (ULS),
Õ(",to) - koÅ„cowy współczynnik peÅ‚zania
M0Ed = MEd 2 = 525kNm (dlaSGN a" ULS)
2 Å" Ac
ho =
u
h  miarodajny wymiar przekroju poprzecznego
o
u  obwód części przekroju wystawionej na wysychanie
2 Å" 300 Å" 600
ho = = 200 mm
2 Å"(300 + 600)
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 2/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
N6. rys. 3.1. PN-EN
Õ(",to ) dla Å›rodowiska
Wyznaczenie końcowego współczynnika pełzania
wewnętrznego, RH=50%:
rys. 3.1. PN-EN, (str.
28.)
Õ(",to)H" 3.0 >2.0, zatem wpÅ‚yw peÅ‚zania należy uwzglÄ™dnić
357
Õef = 3,0 H" 2.0
525
4. Smukłość graniczna
N6. 5.13N
20 Å" A Å"B Å"C
lim =
n
A = 0.7; B = 1.1;
ostatni akapitem pkt.
C = 1.7
5.8.3.1(1)
n  względna siła normalna:
NEd
n =
Ac Å"fcd
600000
n = = 0.25
300Å"600Å"13.3
20 Å" 0.7 Å"1.1Å"1.7
lim = = 52.36
0.25
5. Długość efektywna i rzeczywista smukłość słupa:
N6. 5.16, str. 61
Å„Å‚
öÅ‚
k1 Å"k2 ëÅ‚ k1 öÅ‚ ëÅ‚ k2 üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
lo = l Å"maxòÅ‚ 1+ 10 ; ìÅ‚1+ Å"
k1 + k2 íÅ‚ 1+ k1 ÷Å‚ ìÅ‚1+ 1+ k2 ÷Å‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ół þÅ‚
Åš EJ
k1, k2 k = Å"
M l
; EJ = ?
k , k  względne podatności podpór ograniczające obroty w węzłach
1 2
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 3/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
EJs ls
k2 =
4Å" EJb leff
k1=0
EJs ls
k2 =
3Å" EJb leff
k ="
1
Uwaga: Wartość k=0 jest teoretyczną granicą podatności węzła przy sztywnym
zamocowaniu, a k=" przedstawia graniczną wartość przy podparciu przegubowym.
Zaleca się przyjmować minimalne wartości k i k równe 0.1, gdyż w pełni sztywne
1 2
podpory rzadko występują w praktyce.
Przyjęto k1 = 0.1,
EJsłupa / lsłupa
k2 =
4 Å" EJrygla / lleff rygla
300 Å" 6003
Jsłupa = Jrygla = = 5 400 000 000 mm4
12
5400000000 / 7000
k2 = = 0.36
4 Å" 5400000000 /10000
Efektywna długość słupa:
Å„Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
k1 Å" k2 k1 k2 üÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
lo = l Å" maxòÅ‚ 1+10 ; ìÅ‚1+ Å"
k1 + k2 íÅ‚ 1+ k1 ÷Å‚ ìÅ‚1+ 1+ k2 ÷Å‚ żł
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ół þÅ‚
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 4/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
Å„Å‚ üÅ‚
0.1Å" 0.36
1+10 = 1.33
ôÅ‚ ôÅ‚
0.1+ 0.36 ôÅ‚
lo = l Å" maxôÅ‚ = 7.0 Å"1.38 = 9.65m
òÅ‚ żł
ôÅ‚ëÅ‚1+ 0.1 öÅ‚ Å"ëÅ‚1+ 0.36 öÅ‚ = 1.38ôÅ‚
÷Å‚
ôÅ‚ìÅ‚ 1+ 0.1Å‚Å‚ ìÅ‚ 1+ 0.36 ÷Å‚ ôÅ‚
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ół þÅ‚
Rzeczywista smukłość słupa:
lo
 =
i
i  promień bezwładności niezarysowanego przekroju żelbetowego,
Jc
i =
Ac
Ac = b Å" h = 300 Å" 600 = 180000mm2
5400000000
i = = 173.2 mm
180000
9870
 = = 55.69 > lim = 52.35Ò!należy uwzglÄ™dnić wpÅ‚yw efektów drugiego rzÄ™du.
173.2
6. Efekty drugiego rzędu:
kryterium uproszczone - metoda nominalnej sztywności
N6. 5.21
EJ = Kc Å" Ecd Å" Jc + KS Å" ES Å" JS
Ecd - obliczeniowa wartość modułu sprężystości betonu
Ecm
N6. 5.20
Ecd =
Å‚
CE
30000
Å‚CE =1.2; Ecd = = 25000MPa
1.2
As
dla Á = e" 0,002 można przyjmować nastÄ™pujÄ…ce współczynniki:
Ac
KS - współczynnik zależny od udziału zbrojenia:
KS = 1,0;
KC - współczynnik zależny od wpływów zarysowania, pełzania, itd.:
k1 Å" k2
KC =
1+Õef
k - współczynnik zależny od klasy betonu:
1
fck 20
k1 = = = 1.0 ;
20 20
N6. 5.23 str. 64
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 5/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
k - współczynnik zależny od wpływu siły podłużnej i smukłości:
2

k2 = n d" 0,20
170
n=0.25, (obliczona w pkt. 4.)
= 55.69 (obliczona w pkt. 5.)
55.69
k2 = 0.25 Å" = 0.082 < 0,20
170
1.0 Å" 0.082
Kc = = 0.027,
1+ 2.0
2
h
JS = Á Å"b Å" d Å"ëÅ‚ - aöÅ‚ , w pierwszym kroku iteracji zaÅ‚ożono Á=0.025=2.5%
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
J  moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju
S
betonu
2
600
ëÅ‚
Js = 0.025 Å" 300 Å" 550 Å" - 50öÅ‚ = 257 812 500 mm4
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
EJ = 0.027 Å" 25000 Å" 5 400 000 000 +1.0 Å" 200 000 Å" 257 812 500 =
3.645 Å"1012 + 5.156 Å"1013 = 5.52 Å"1013 [N Å" mm2]
7. Imperfekcje geometryczne
a) jako dodatkowy mimośród
N6. 5.2, str. 50
ei = 0,5Å"Åši Å"l0
kąt pochylenia pręta:
Åši = Åš0 Å" Ä…h Å" Ä…m ; (5.1 PN-EN, str.49)
1
Ś0 = - wartość bazowa kąta pochylenia
200
Ä…h
 wsp. redukcyjny długości, lub wysokości:
2
Ä…h =  l w [m]
l
2
d" Ä…h d"1.0
3
2 2
Ä…h = = 0,76 < Ä…h = 0,76 < 1,
3
7
ąm  wsp. redukcyjny ze względu na liczbę elementów pionowych wpływających na
rozpatrywany efekt:
1
öÅ‚,
Ä…m = 0.5Å"ëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 6/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
m  liczba elementów pionowych wpływających na cały rozpatrywany efekt
m = 1
Ä…m =1, 0
1
Åši = Å" 0,76 Å"1 = 3,78 Å"10-3
200
ei = 0.5 Å"3.78 Å"10-3 Å"9650 = 18.2mm
lub:
b) jako dodatkowa siła:
w elementach nieusztywnionych:
Hi = Åši Å"NEd (5.3a PN-EN, str. 50)
Hi = 3,78 Å"10-3 Å" 600 = 2.27 kN
"M H" 0,125Å" Hi Å"l = 0,125Å" 2.27 Å" 7.0 = 1,98 kNm
M '02 = M + "M = 525 +1,98 H" 527 kNm
02
M '01 = M01 + "M = -273 +1,98 H" -271 kNm
8. Współczynnik powiększenia momentu
Całkowity moment obliczeniowy zawierający moment drugiego rzędu można przedstawić
jako powiększony moment zginający wynikający z analizy pierwszego rzędu, stosując
wzór:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
N6. 5.28, str.65
ìÅ‚1+ ² ÷Å‚
M = M
Ed 0Ed
ìÅ‚ NB ÷Å‚
-1÷Å‚
ìÅ‚
NEd Å‚Å‚
íÅ‚
czyli:
²
MEd = M0Ed Å"pM pM = 1+ ;
NÅ‚
-1
NEd
2
Ä„
² =
N6. 5.29, str.65
c0
² - współczynnik zależny od rozkÅ‚adu momentów 1-go i 2-go rzÄ™du,
N  obliczeniowa wartość siły podłużnej,
Ed
N  siła krytyczna ze względu na wyboczenie, obliczona przy założeniu, że sztywność jest
B
równa nominalnej
Ä„2
² = H" 1.23
8
Ponieważ jest to układ o węzłach przesuwnych  do obliczeń należy przyjąć maksymalny
moment zginający na długości elementu,
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 7/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
zatem do dalszych obliczeń przyjęto: M =527 kNm
0Ed
2 2
Ä„ EJ Ä„
Eul.
NB = Nkr (EJ ) = = 5.52Å"1013 = 5 851 177N = 5 851 kN
2
lo 96502
1.23
pM = 1+ = 1.14
5 851
-1
600
M = 1.14 Å"527 = 601 kNm
Ed
9. Wymiarowanie zbrojenia słupa (obliczenia metodą uproszczoną)
MEd 601
e = = = 1.00m = 1000 mm
NEd 600
a) założenie dużego mimośrodu i pełnego wykorzystania strefy ściskanej:
¾eff = ¾eff ,lim ; xeff = xeff ,lim = ¾eff ,lim Å" d = 0.5 Å" 550 = 275 mm
As1 `" As2
Mimośród konstrukcyjny:
b) obliczenie pola powierzchni zbrojenia ściskanego (założono x = x z wzoru:
eff eff,lim)
= 0 Ò!
Ò!
Ò!
Ò!
"M As1
NEd Å"es1 - fyd Å" As2(d - a2)- fcd Å"b Å" xeff ,lim(d - 0.5Å" xeff ,lim)= 0
NEd Å"es1 - fcd Å"b Å" xeff ,lim(d - 0.5Å" xeff ,lim)
As2 =
fyd(d - a2)
600000 Å"1250 -13.3Å" 300 Å" 275 Å"(550 - 0.5 Å" 275)
As2 = = 1416 mm2
420 Å"(550 - 50)
> 0
Å„Å‚
As2 = 1416 mm2 òÅ‚> , zatem zaÅ‚ożenie xeff = xeff ,lim byÅ‚o poprawne
As2,min
ół
A obliczono jako połowę zbrojenia minimalnego dla przekroju ściskanego
s2,min
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 8/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
N6. wg pkt 9.5
NEd
Å„Å‚0.5Å" 0.1
ôÅ‚
fyd
As2,min e"
òÅ‚
ôÅ‚0.5Å" 0.002 Å" Ac N6. 9.12N, str. 149
ół
600000
Å„Å‚0.5 Å" 0.1Å"
= 71 mm2
ôÅ‚
As2,min e" 420
òÅ‚
ôÅ‚0.5 Å" 0.002 Å" 300 Å" 600 = 180 mm2
ół
c) obliczenie powierzchni zbrojenia rozciÄ…ganego:
z = 0 Ò! NEd + fyd Å" As1 - fyd Å" As2 - fcd Å"bÅ" xeff = 0
"Fx
fyd Å" As2 + fcd Å"b Å" xeff - NEd
As1 =
fyd
UWAGA:
do powyższego wzoru należy podstawić wyliczoną (a nie przyjętą) powierzchnię
zbrojenia A
s2
420Å"1416 +13.3Å"300Å" 275 - 600 000
As1 = = 2 600 mm2
420
Á zaÅ‚ożone 0.025=2.5%
1416 + 2600
Á obliczone = 0.0243 =2.43%
300Å"550
"Á = 0.025 - 0.0243 = 0.0007
"Á 0.0007
= = 0.026 < 0.1 Ò! wstÄ™pnie prawidÅ‚owo zaÅ‚ożono
ÁzaÅ‚. 0.025
stopień zbrojenia słupa
Przyjęto:
w strefie rozciÄ…ganej: 6#25 o A =2946 mm2,
s1
w strefie ściskanej: 5#20 o A = 1570 mm2.
s2
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 9/10
 Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 7
10. Sprawdzenie smukłości granicznej N6. wzory ze str. 60
N6. 5.13N
20 Å" AÅ" B Å"C
lim =
n
1 1
A = ; A = = 0,71
1+ 0.2Å"Õef 1+ 0.2Å" 2.0
B = 1+ 2Å"É
As Å" fyd
É = ;
Ac Å" fcd
PrzyjÄ™to Á =2.5%; As = ÁL Å" b Å" d = 0.025 Å" 300 Å" 550 = 4125mm2
L
Ac = b Å" h = 300 Å" 600 = 180 000mm2
4125 Å" 420
É = = 0.72
180 000 Å"13.3
B = 1+ 2 Å" 0.72 = 1.31
C = 1.7
n  względna siła normalna:
NEd
n =
Ac Å" fcd
600000
n = = 0.25
300 Å" 600 Å"13.3
20Å" 0.71Å"1.31Å"1.7
lim = = 63.36 > = 55.69
0.25
zatem stosując powyższe wzory nie ma potrzeby uwzględniania wpływu efektów drugiego
rzędu.
2014-05-07 dr inż. Krystyna WRÓBEL 10/10