WYZNACZANIE LINII UGI
CIA W BELKACH
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Dotychczas analizowano przypadki statycznie wyznaczalne  tzn. liczba
niewiadomych odpowiadała liczbie równań. W takim przypadku oprócz równań
statyki nale\
y wykorzystać warunki wynikające z odkształceń.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych określa się metodą Clebscha.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych metodÄ… superpozycji z wykorzystaniem tablic
wytrzymałościowych.
Przykład. Belka statycznie niewyznaczalna obcią\
ona jest jak na rysunku. Oblicz
reakcje podpór. Wykonać wykresy siły tnącej i momentu gnącego.
Dane: E=2.1*105 MPa, I=1.3*10-8 m4, M=1 kNm, q=1 kN/m, a=1 m
q
M
B
C
A
a
a
1
q
M
B
C
A
RC
RA
RB
a
a
Równania równowagi
= RA + RB + RC - qa = 0
1.
"Piy
a2
= - RBa - 2RCa + q - M = 0
2. "MiA
2
Warunki brzegowe
gdy x = 0 Ò! y = 0
WB1.
gdy x = a Ò! y = 0
WB2.
gdy x = 2a Ò! y = 0
WB3.
2
Metoda sił i momentów określona w poszczególnych przedziałach
2
d y Mg(x)
=
równanie osi ugiętej
dx2 EJ
Nale\
y dodać i odjąć obcią\
enie ciągłe tak aby była zgodność w przedziałach.
q
M
B
C
A
RC
RA
RB
a
a
Równanie momentu gnącego
Dla 0 d" x d" a
x2
Mg(x)= RAx - q
2
Dla a d" x d" 2a
x2 (x - a)2
Mg(x)= RAx - q - M + RB (x - a) + q
2 2
Metoda Clebscha
q
M
B
C
A
RC
RA
RB
a
a
x2 (x - a)2
Mg(x)= RAx - q - M (x - a)0 + RB (x - a) + q
3.
2 2
1 2
dy x2 x3 (x - a)2 (x - a)3
EJ = C + RA - q - M (x - a) + RB + q
4.
dx 2 6 2 6
1 2
3
x3 x4 (x - a)2 (x - a)3 (x - a)4
EJy = D + Cx + RA - q - M + RB + q
5.
6 24 2 6 24
1 2
Z WB1 i R5 otrzymamy
03 04
0 = D + C0 + RA - q Ò! D = 0
6 24
1
Z WB2 i R5 otrzymamy
a3 a4 a3 a2
0 = D + Ca + RA - q Ò! C = q - RA
6 24 24 6
1
Z WB3 i R5 otrzymamy R6
ëÅ‚ öÅ‚
a3 a2 ÷Å‚ 8a3 16a4 a2 a3 a4
ìÅ‚ - RA ÷Å‚2a + RA - q
0 = - M + RB + q
ìÅ‚q 24
6 6 24 2 6 24
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1
2a4 2a3 8a3 16a4 a2 a3 a4
0 = q - RA + RA - q + M + RB + q
24 6 6 24 2 6 24
1 1 13
0 = M + RAa + RBa - qa2
6.
2 6 24
Z R1, R2 i R6 otrzymamy
RA = -0.063 kN
RB = 0.625 kN
RC = 0437 kN
4
Metoda superpozycji
q
M
B
C
A
RB
a
a
Ugięcie belki w punkcie B wynosi yB=0.
Przemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym punkcie od sił q,
M, i RB co zapisujemy następująco:
yB = yB + yB + yB
M RB q
Przyjmujemy siłę (reakcję) hiperstatyczną przyło\
onÄ… w miejscu podpory B.
B
C
RB
A
a
a
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 4
ëÅ‚ öÅ‚
Pl3 ìÅ‚ 3 x2 ÷Å‚
yx=l / 2 = - wykorzystujÄ…c tÄ™ zale\
ność
ìÅ‚
24EI 4 l2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: P = RB, l = 2a, x = l ze znakiem  - ze względu na kierunek obciązenia
ëÅ‚ öÅ‚
RB8a3 3 a2 RBa3
yx=a = - ìÅ‚ - ÷Å‚ -
=
ìÅ‚
24EI 4 4a2 ÷Å‚ 6EI
íÅ‚ Å‚Å‚
5
Przyjmujemy obciÄ…\
enie od momentu M przyło\
onego w miejscu podpory B.
M
B
C
A
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 6 kolumna yC - ugięcia
ëÅ‚ öÅ‚
Kla a 2 a2 1
ìÅ‚ - - ÷Å‚
yx=l / 2 =
ìÅ‚ ÷Å‚
EI l 3 l2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: K = M , a = a, l = 2a
ëÅ‚ öÅ‚
M 2a2 ìÅ‚ a 2 a2 1 M 2a2 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
yx=l / 2 = - - ÷Å‚
= = 0
ìÅ‚ - - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 2a 3 4a2 3 EI 2 6 3
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przyjmujemy obciÄ…\
enie od sił q przyło\
onego w miejscu podpory B.
q
B
C
A
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 5 kolumna yC - ugięcia
ëÅ‚ öÅ‚
qb3l 7 b 3 b2 ÷Å‚
ìÅ‚ - +
yx=l / 2 =
ìÅ‚2
12EI 2 l 2 l2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: b = a, l = 2a
ëÅ‚ öÅ‚
q2a4 ìÅ‚ 7 a 3 a2 ÷Å‚ q2a4 7 3 q2a4 5 5 a4
ëÅ‚2 - + öÅ‚
yx=l / 2 = = = Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚2 - +
12EI 2 2a 2 4a2 ÷Å‚ 12EI 4 8 12EI 8 48 EI
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przypomnijmy, \
e przemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym
punkcie od sił q, M, i RB co zapisujemy następująco:
yB = yB + yB + yB
M RB q
1 RBa3
5 qa4
yB = -
yB =
yB = 0
, ,
RB
q
M 6 EJ
48 EJ
więc
1 RBa3 5 qa4
yB = 0 - + = 0
6 EJ 48 EJ
6
stÄ…d
5 qa4 6 EJ 5
RB = = qa = 0.625 kN
48 EJ 1 a3 8
7
8
9
10
11